【力扣100题】42.杨辉三角

题目描述

给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例 1：

输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]

杨辉三角：
    1
   1 1
  1 2 1
 1 3 3 1
1 4 6 4 1

示例 2：

输入: numRows = 1
输出: [[1]]

提示：

• 1 <= numRows <= 30

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解题思路总览

方法	思路	时间复杂度	空间复杂度	适用场景
模拟构造	模拟杨辉三角生成规则，第 i 行有 i 个元素	O(n^2)	O(n^2)	面试首选

核心原理： 杨辉三角的第 i 行第 j 个元素 = 第 i-1 行第 j-1 个元素 + 第 i-1 行第 j 个元素（j 从 1 开始）

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模拟构造（推荐）

思路

根据杨辉三角的性质直接模拟：

1. 第 i 行有 i 个元素（行号从 0 开始）
2. 每行的第一个和最后一个元素都是 1
3. 中间的元素 triangle[i][j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j]

完整代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> generate(int numRows) {
        vector<vector<int>> ans;
        for (int i = 0; i < numRows; i++) {
            vector<int> temp;
            if (i == 0) {
                ans.push_back({1});
                continue;
            }
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (j == 0 || j == i) {
                    temp.push_back(1);  // 首尾元素为 1
                } else {
                    // 中间元素 = 左上方 + 右上方
                    temp.push_back(ans[i-1][j-1] + ans[i-1][j]);
                }
            }
            ans.emplace_back(temp);
        }
        return ans;
    }
};

算法流程图

以 numRows = 5 为例：

构建过程：

i = 0:
  temp = [1]
  ans = [[1]]

i = 1:
  j = 0: j==0 → temp=[1]
  j = 1: j==i → temp=[1,1]
  ans = [[1], [1,1]]

i = 2:
  j = 0: j==0 → temp=[1]
  j = 1: j!=0 && j!=i → temp=[1, 1+1=2]
  j = 2: j==i → temp=[1,2,1]
  ans = [[1], [1,1], [1,2,1]]

i = 3:
  j = 0: → temp=[1]
  j = 1: → temp=[1, 1+2=3]
  j = 2: → temp=[1,3, 2+1=3]
  j = 3: → temp=[1,3,3,1]
  ans = [[1], [1,1], [1,2,1], [1,3,3,1]]

i = 4:
  j = 0: → temp=[1]
  j = 1: → temp=[1, 1+3=4]
  j = 2: → temp=[1,4, 3+3=6]
  j = 3: → temp=[1,4,6, 3+1=4]
  j = 4: → temp=[1,4,6,4,1]
  ans = [[1], [1,1], [1,2,1], [1,3,3,1], [1,4,6,4,1]]

最终返回 ans

逐行解析

vector<vector<int>> ans;

• 二维向量，存储杨辉三角的所有行。

for (int i = 0; i < numRows; i++) {
    vector<int> temp;
    if (i == 0) {
        ans.push_back({1});
        continue;
    }

• 外层循环遍历每一行。
• 第 0 行特殊处理，直接添加 [1]。

    for (int j = 0; j <= i; j++) {
        if (j == 0 || j == i) {
            temp.push_back(1);  // 首尾元素为 1
        } else {
            temp.push_back(ans[i-1][j-1] + ans[i-1][j]);
        }
    }

• 内层循环遍历当前行的每个元素。
• j == 0 || j == i：首尾元素，直接添加 1。
• 否则：ans[i-1][j-1] + ans[i-1][j]，当前元素等于上一行的左上方 + 右上方。

    ans.emplace_back(temp);

• 将当前行添加到结果中。

复杂度分析

复杂度	值	说明
时间	O(n^2)	遍历半个三角，n 行共约 n*(n+1)/2 个元素
空间	O(n^2)	存储所有元素

优点： 思路直接，代码清晰
缺点： 无

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杨辉三角的性质

性质	说明
对称性	第 i 行有 i 个元素，首尾都是 1
组合数	第 i 行第 j 列 = C(i, j)（二项式系数）
求和	第 n 行元素之和 = 2^n
斐波那契	杨辉三角的斜线之和构成斐波那契数列

杨辉三角中的组合数：
C(0,0) = 1
C(1,0)=1, C(1,1)=1
C(2,0)=1, C(2,1)=2, C(2,2)=1
C(3,0)=1, C(3,1)=3, C(3,2)=3, C(3,3)=1
...

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面试追问 FAQ

问题	解答
Q1：为什么 ans[i-1][j-1] + ans[i-1][j] 能得到正确元素？	这是杨辉三角的定义：每个数是它左上方和右上方的数之和。在数组表示中，ans[i-1][j-1] 是左上方，ans[i-1][j] 是右上方。
Q2：为什么内层循环是 j <= i？	因为第 i 行（从 0 开始计数）恰好有 i+1 个元素，所以 j 从 0 到 i，共 i+1 次。
Q3：杨辉三角和二项式系数有什么关系？	杨辉三角的第 n 行第 k 列（从 0 开始）恰好等于 C(n, k)，即二项式展开的系数。这就是二项式定理的可视化表示。
Q4：如果要返回第 numRows 行的第 k 个元素，怎么优化？	直接用组合数公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，不需要生成整个三角。
Q5：能否用更简洁的代码实现？	可以合并一些逻辑，但基本框架不变。核心是 triangle[i][j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j]。

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总结

要点	说明
核心原理	triangle[i][j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j]
首尾元素	每行首尾都是 1
时间复杂度	O(n^2)
空间复杂度	O(n^2)

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