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前言
**图是一种重要的非线性数据结构，广泛应用于网络路由、社交关系、交通规划、最小生成树（MST）等场景。**在实际算法实现中，如何高效地存储图的顶点与边，直接影响程序的时间和空间性能。最经典的两种存储结构是邻接矩阵和邻接表：前者基于二维数组，以空间换时间，能够常数时间内判断两点是否相邻；后者基于链表或动态数组，以时间换空间，只存储实际存在的边。理解二者的定义、构成、特点及适用场景，是正确选用图算法（如 Prim、Kruskal、Dijkstra）的基础，也是优化图处理效率的关键所在。
一、邻接矩阵
（一）定义
用一个 N × N 的二维数组（矩阵）表示图 ，matrix[i][j] 存储从顶点 i 到顶点 j 的边的权值（无权图可存 1/0）。
（二）构成元素
一个二维数组，大小为 N×N（通常用 vector<vector>）。
有边处存权值，无边处存一个极大值（如 INF 或 0，具体视场景而定）
（三）特点
1.无向图
无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度（边没有权值，只存0/1的情况下，元素和就是度）
2.有向图
有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第i行(列)元素之和就是顶点i 的出(入)度（边没有权值，只存0/1的情况下）
（四）特别说明
1. 带有权值的情况
如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系（1/0）就用权值代替，如果两个顶点不通，可以使用无穷大代替（后面我们实现的时候就要增加一个表示无穷大的模板参数）
2...优缺点
- 用邻接矩阵存储图的优点是能够快速知道两个顶点是否连通，取到权值
- 缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间；所以邻接矩阵比较适合存储稠密图（边比较多的图），不适合存储稀疏图（边比较少的图） 而且要求两个节点之间的路径不好求； 还有求一个顶点相连的顶点有哪些也不好求（O(N)，这个用邻接表结构存储的话就很好求）。
二、邻接表
（一）定义
用一个长度为 N 的数组，每个元素是一个链表或动态数组，存储该顶点的所有邻接点及边权。
（二）组成元素
一个数组（如 vector<vector<pair<int,int>>>），索引代表顶点，每个元素是一个列表 。
列表中每个条目通常是一个 (邻接点, 边权) 的二元组。
（三）分类
1.无向图
-
一个顶点与哪些顶点相连，相连的顶点就存到这个顶点对应的链表中，当然如果带权的话也要存上对应边的权值。 （每个顶点都有一个对应的链表，多条链表用一个指针数组就可以维护起来）
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注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点vi 对应链表集合中结点的数目即可
2.有向图
（四）注意
-
适合存储稀疏图（边比较少的图），因为邻接表的话有多少边链表里面就存几个对应的顶点，不需要额外的空间；而上面邻接矩阵不论边多边少都要开一个N*N的矩阵（二维数组），边少的时候那就大部分位置都存的是0
-
方便查找从一个顶点连接出去的边有哪些，因为它对应的边链表里面存的就是与这个顶点相连的顶点
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但是不方便确定两个顶点是否相连和获取权值（要遍历其中一个顶点的边链表查找O(N)
三、邻接表和邻接矩阵的区别
（一）空间复杂度的对比
| 存储方式 | 空间复杂度 | 备注 |
|---|---|---|
| 邻接矩阵 | O(N²) | 无论实际边数多少，始终占据 N×N 空间 |
| 邻接表 | O(N + M) | 只存储实际存在的边，M 是边数 |
（二）主要操作的效率对比
| 操作 | 邻接矩阵 | 邻接表 |
|---|---|---|
查询 (u,v) 是否直接相连 |
O(1) 直接访问 matrix[u][v] |
O(degree(u)) 需遍历邻居列表找 v |
| 获取某顶点所有邻居 | O(N) 需扫描整行 | O(degree(u)) 直接读取列表 |
| 添加一条边 | O(1) | O(1) 追加到列表末尾 |
| 删除一条边 | O(1) | O(degree(u)) 需查找并删除 |
| 遍历图中所有边 | O(N²) 扫描整个矩阵 | O(N+M) 恰好扫描所有真实边 |
四、在MST中的适用场景
（一）邻接矩阵适合
稠密图（M 接近 N²）
顶点数 N 较小（例如 ≤ 1000）
需要频繁查询任意两点是否相连（如 Floyd-Warshall 算法）
在 MST 中：用于朴素 Prim 算法（O(N²)），当图很稠密时效率极高
（二）邻接表适合
稀疏图（M 远小于 N²，常见 M ≈ N 量级）
顶点数 N 很大（如 10⁵ 级别）
需要频繁遍历邻居的操作（DFS、BFS、Dijkstra、堆优化 Prim 等）
在 MST 中：用于堆优化 Prim 算法（O((N+M) log N)），Kruskal 算法甚至可只存边列表而不依赖完整邻接表
五、总结
邻接矩阵与邻接表各有优劣，不存在绝对"更好"的存储方式，只有"更适合"的场景。邻接矩阵采用 O(N²) 空间，适合顶点数较少（如 N ≤ 1000）且边稠密（M 接近 N²） 的图，其 O(1) 的边查询能力在 Floyd-Warshall 或朴素 Prim 算法中优势明显；但面对稀疏图（M 远小于 N²）时，大量空间被浪费，且遍历所有邻居需要 O(N) 开销。邻接表占用 O(N+M) 空间，更适应顶点数很大（如 10⁵ 级别）或边稀疏（M ≈ N） 的图，能高效遍历邻居（O(degree)）、快速完成 BFS/DFS 和堆优化的 Dijkstra/Prim 算法；但判断两点是否直接相连需 O(degree) 时间。在最小生成树问题中，稠密图倾向采用邻接矩阵的朴素 Prim 算法，稀疏图则适用邻接表的堆优化 Prim 或纯边列表的 Kruskal 算法。实践时应根据图的规模、密度以及核心操作（查边、遍历邻居、增删边）的频率做出合理选择。