【力扣100题】44.完全平方数

题目描述

给定一个整数 n，返回和为 n 的完全平方数的最少数量。

完全平方数是一个整数，其值等于另一个整数的平方。例如 1、4、9、16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例：

• 输入：n = 12 → 输出：3（12 = 4 + 4 + 4）
• 输入：n = 13 → 输出：2（13 = 4 + 9）

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解题思路总览

方法	思路	时间复杂度	空间复杂度
动态规划	dp[i] 表示和为 i 的最少完全平方数个数，状态转移 dp[i] = min(dp[i], dp[i-j*j]+1)	O(n√n)	O(n)
数学公式	勒让德三平方定理，判断是否能表示为 1/2/3/4 个平方数之和	O(1)	O(1)

本题采用动态规划方法。

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完整代码

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
                dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

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算法流程图

输入: n = 12

初始化:
  dp[0] = 0
  dp[1...12] = INT_MAX

i = 1:
  j = 1, j*j = 1 <= 1
    dp[1] = min(INT_MAX, dp[0]+1) = 1
  dp[1] = 1

i = 2:
  j = 1, j*j = 1 <= 2
    dp[2] = min(INT_MAX, dp[1]+1) = 2
  j = 2, j*j = 4 > 2, 退出
  dp[2] = 2

i = 3:
  j = 1, j*j = 1 <= 3
    dp[3] = min(INT_MAX, dp[2]+1) = 3
  j = 2, j*j = 4 > 3, 退出
  dp[3] = 3

i = 4:
  j = 1, j*j = 1 <= 4
    dp[4] = min(INT_MAX, dp[3]+1) = 4
  j = 2, j*j = 4 <= 4
    dp[4] = min(4, dp[0]+1) = 1
  dp[4] = 1

... (继续迭代直到 i = 12)

i = 12:
  j = 1: dp[12] = dp[11]+1 = 4
  j = 2: dp[12] = dp[8]+1 = 3
  j = 3: dp[12] = dp[3]+1 = min(3, 4) = 3
  j = 4: dp[12] = dp[-4]无效, 跳过 (j*j=16>12)

最终 dp[12] = 3
输出: 3

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逐行解析

vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);

含义： 创建大小为 n+1 的数组，dp[i] 表示和为 i 的完全平方数的最少数量。初始化为 INT_MAX 表示尚未计算。

dp[0] = 0;

含义： 基础情况，和为 0 需要 0 个完全平方数。

for (int i = 1; i <= n; i++)

含义： 从 1 到 n 依次计算每个数的最少完全平方数个数。

for (int j = 1; j * j <= i; j++)

含义： 枚举所有可能的完全平方数 j*j，其中 j 从 1 开始，直到 j*j 不超过 i。

dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);

含义： 状态转移方程。如果从 i 中减去一个完全平方数 j*j，那么剩下的 i-j*j 需要 dp[i-j*j] 个平方数，再加上当前的 j*j，总共 dp[i-j*j]+1 个。取较小值更新 dp[i]。

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复杂度分析

复杂度	值	说明
时间复杂度	O(n√n)	外层循环 n 次，内层循环最多 √n 次（因为 j*j ≤ i）
空间复杂度	O(n)	需要大小为 n+1 的 dp 数组

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面试追问 FAQ

问题	答案
为什么 dp[0] = 0？	0 的完全平方数之和只能是 0，需要 0 个数字，这是动态规划的基础情况
能否用 BFS 解决？	可以，将 n 作为起点，每次减去一个完全平方数，层数即为最少数量
如何优化到 O(n)？	使用数学方法：勒让德三平方定理可 O(1) 判断，但实现复杂
完全平方数有哪些性质？	平方数 mod 4 结果为 0 或 1，可用于快速判断某个数是否为完全平方数
为什么内层循环是 j*j <= i？	因为 j*j 作为被减数不能超过 i，否则 i-j*j 为负数

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总结

要点	内容
核心思想	动态规划，枚举所有完全平方数作为最后一个加数
状态定义	dp[i] = 和为 i 的最少完全平方数个数
状态转移	dp[i] = min(dp[i], dp[i-j*j]+1)
边界条件	dp[0] = 0

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