csp信奥赛C++高频考点专项训练之字符串 --【字符串综合】：[NOIP 2015 提高组] 子串
题目描述
有两个仅包含小写英文字母的字符串 A A A 和 B B B。
现在要从字符串 A A A 中取出 k k k 个互不重叠的非空子串，然后把这 k k k 个子串按照其在字符串 A A A 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串。请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B B B 相等？
注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。
输入格式
第一行是三个正整数 n , m , k n,m,k n,m,k，分别表示字符串 A A A 的长度，字符串 B B B 的长度，以及问题描述中所提到的 k k k，每两个整数之间用一个空格隔开。
第二行包含一个长度为 n n n 的字符串，表示字符串 A A A。
第三行包含一个长度为 m m m 的字符串，表示字符串 B B B。
输出格式
一个整数，表示所求方案数。
由于答案可能很大，所以这里要求输出答案对 1000000007 ( 10 9 + 7 ) 1000000007(10^9 + 7) 1000000007(109+7) 取模的结果。
输入输出样例 1
输入 1
6 3 1
aabaab
aab输出 1
2输入输出样例 2
输入 2
6 3 2
aabaab
aab输出 2
7输入输出样例 3
输入 3
6 3 3
aabaab
aab输出 3
7说明/提示
样例解释
所有合法方案如下：（加下划线的部分表示取出的子串）
数据范围
对于第 1 1 1 组数据： 1 ≤ n ≤ 500 , 1 ≤ m ≤ 50 , k = 1 1\le n\le 500,1\le m\le 50,k=1 1≤n≤500,1≤m≤50,k=1;
对于第 2 2 2 组至第 3 3 3 组数据： 1 ≤ n ≤ 500 , 1 ≤ m ≤ 50 , k = 2 1\le n\le 500,1\le m\le 50,k=2 1≤n≤500,1≤m≤50,k=2;
对于第 4 4 4 组至第 5 5 5 组数据： 1 ≤ n ≤ 500 , 1 ≤ m ≤ 50 , k = m 1\le n\le 500,1\le m\le 50,k=m 1≤n≤500,1≤m≤50,k=m;
对于第 1 1 1 组至第 7 7 7 组数据： 1 ≤ n ≤ 500 , 1 ≤ m ≤ 50 , 1 ≤ k ≤ m 1\le n\le 500,1\le m\le 50,1\le k\le m 1≤n≤500,1≤m≤50,1≤k≤m;
对于第 1 1 1 组至第 9 9 9 组数据： 1 ≤ n ≤ 1000 , 1 ≤ m ≤ 100 , 1 ≤ k ≤ m 1\le n\le 1000,1\le m\le 100,1\le k\le m 1≤n≤1000,1≤m≤100,1≤k≤m;
对于所有 10 10 10 组数据： 1 ≤ n ≤ 1000 , 1 ≤ m ≤ 200 , 1 ≤ k ≤ m 1\le n\le 1000,1\le m\le 200,1\le k\le m 1≤n≤1000,1≤m≤200,1≤k≤m。
思路分析
题目要求从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串，按顺序拼接后等于 B，求方案数（位置不同算不同方案）。
数据范围：1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ m ≤ 200，1 ≤ k ≤ m，需要 O(nmk) 的 DP。
状态设计
设 dp[i][j][l][0/1] 表示考虑 A 的前 i 个字符，匹配了 B 的前 j 个字符，已经使用了 l 个子串，并且第 i 个字符 未选 (0) 或 已选 (1) 的方案数。
- 当第 i 个字符未选时，方案数直接继承前 i-1 个字符的所有方案（无论第 i-1 个选没选）：
dp[i][j][l][0] = dp[i-1][j][l][0] + dp[i-1][j][l][1] - 当第 i 个字符被选时，必须满足
A[i] == B[j]且 j ≥ 1：- 若该字符作为一个新子串的开头，则前 i-1 个字符必须恰好匹配到 B 的前 j-1 个，且只用了 l-1 个子串，且第 i-1 个字符未选（避免子串重叠）：
dp[i][j][l][1] += dp[i-1][j-1][l-1][0] - 若该字符延续上一个子串，则前 i-1 个字符匹配到 B 的前 j-1 个，用了 l 个子串，且第 i-1 个字符被选：
dp[i][j][l][1] += dp[i-1][j-1][l][1]
- 若该字符作为一个新子串的开头，则前 i-1 个字符必须恰好匹配到 B 的前 j-1 个，且只用了 l-1 个子串，且第 i-1 个字符未选（避免子串重叠）：
空间优化
第一维 i 只依赖 i-1，因此用滚动数组（两套状态 cur 和 pre）。最终答案为 dp[pre][m][k][0] + dp[pre][m][k][1]（处理完所有 A 字符后的总方案数）。
复杂度
时间复杂度 O(nmk) ≈ 1000×200×200 = 4×10⁷，空间 O(mk) ≈ 4×10⁴。
代码实现
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD=1e9+7;
int n,m,k,dp[2][205][205][2]; // 滚动数组 dp[当前/上一][匹配长度][子串数][是否选]
string a,b; // 字符串 A 和 B
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m>>k>>a>>b; // 读入长度和字符串
a=" "+a; b=" "+b;// 下标从1开始，方便匹配
dp[0][0][0][0]=1;// 初始状态：A前0个，匹配0，0子串，未选
int cur=1,pre=0;// cur当前层，pre上一层
for(int i=1;i<=n;++i){// 枚举A的每个字符
memset(dp[cur],0,sizeof(dp[cur])); // 清空当前层
for(int j=0;j<=m;++j){ // 枚举匹配长度
for(int l=0;l<=k;++l){// 枚举子串个数
// 不选当前字符
dp[cur][j][l][0]=(dp[pre][j][l][0]+dp[pre][j][l][1])%MOD;
// 选当前字符（必须匹配且至少1个子串）
if(j>0 && l>0 && a[i]==b[j]){
// 新开一个子串
dp[cur][j][l][1]=(dp[cur][j][l][1]+dp[pre][j-1][l-1][0])%MOD;
// 延续上一个子串
dp[cur][j][l][1]=(dp[cur][j][l][1]+dp[pre][j-1][l][1])%MOD;
}
}
}
swap(cur,pre);// 滚动：当前层变上一层
}
int ans=(dp[pre][m][k][0]+dp[pre][m][k][1])%MOD;// 最终答案
cout<<ans<<'\n';
return 0;
}功能分析
-
输入处理 ：读入
n, m, k及字符串 A、B，通过前置空格使下标从 1 开始，方便 DP 转移时直接比较a[i]与b[j]。 -
状态转移：
- 不选第 i 个字符：方案数为上一轮所有可能方案的和。
- 选第 i 个字符：仅在字符相等且子串数至少为 1 时发生，分新开子串和延续子串两种情况累加。
-
空间优化 ：使用二维滚动数组（
dp[2][205][205][2]）只保留当前层和上一层，避免高内存开销。 -
时间复杂度：O(n × m × k) ≈ 4×10⁷，在 1 秒左右可运行完成。
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
cout<<"########## 一站式掌握信奥赛知识! ##########";
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cout<<"###### 课程购买后永久学习，不受限制! ######";
return 0;
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cout<<" csp信奥赛一等奖属于你! ";
return 0;
}