[专题]最大子矩形问题

在一个二维平面中存在多个障碍点我们要找到一个最大的矩形使得这个矩形面积最大并且不能包含任何障碍点这一类问题叫做最大子矩形问题

对于不同的数据范围和图的类型（密集图/稀疏图）我们有不同的算法

先看最基础的：

1.单调栈

对于小数据范围的密集图我们可以对每一行数据进行处理然后对每一行进行单调栈找到最大子矩形

例题：

P4147 玉蟾宫

时间限制: 1.00s 内存限制: 512.00MB

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题目背景

有一天，小猫 rainbow 和 freda 来到了湘西张家界的天门山玉蟾宫，玉蟾宫宫主蓝兔盛情地款待了它们，并赐予它们一片土地。

题目描述

这片土地被分成 N×M 个格子，每个格子里写着 R 或者 F，R 代表这块土地被赐予了 rainbow，F 代表这块土地被赐予了 freda。

现在 freda 要在这里卖萌。。。它要找一块矩形土地，要求这片土地都标着 F 并且面积最大。

但是 rainbow 和 freda 的 OI 水平都弱爆了，找不出这块土地，而蓝兔也想看 freda 卖萌（她显然是不会编程的......），所以它们决定，如果你找到的最大的土地面积为 S，它们每人给你 S 两银子。

输入格式

第一行两个整数 N，M，表示矩形土地有 N 行 M 列。

接下来 N 行，每行 M 个用空格隔开的字符 F 或 R，描述了矩形土地。

输出格式

输出一个整数，表示你能得到多少银子，即 3×S 的值。

输入输出样例

输入 #1复制运行

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5 6 
R F F F F F 
F F F F F F 
R R R F F F 
F F F F F F 
F F F F F F

输出 #1复制运行

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说明/提示

对于 50% 的数据，1≤N,M≤200。

对于 100% 的数据，1≤N,M≤1000。

根据题目我们要选择一个矩形区域使得这一部分全是F 也就是不能有R障碍点并且这一部分的面积最大我们可以预处理每一行数据计算出这一列往上的最大合法高度然后每一行进行单调栈找出最大矩形得出答案

这种算法只能处理小数据的密集图

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005;
char g[N][N];
int s[N][N];
int st[N],p,w[N];
int res,n,m;
int work(int x){
    p=0;s[x][m+1]=0;
    memset(st,0,sizeof st);
    int res=0;
    for(int i=1;i<=m+1;i++){
        if(st[p]<=s[x][i]){
            st[++p]=s[x][i];w[p]=1;
        }else {
            int width=0;
            while(st[p]>s[x][i]){
                width+=w[p];
                res=max(res,width*st[p]);
                p--;
            }
            st[++p]=s[x][i];w[p]=width+1;
        }
    }
    return res;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cin>>g[i][j];
            if(g[i][j]=='F')s[i][j]=s[i-1][j]+1;
            else s[i][j]=0;
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=max(ans,work(i));
    }
    cout<<3*ans<<'\n';
    return 0;
}

2.枚举所有的有效极大矩形

我们要不断优化枚举思路使得所有被枚举的矩形都是极大化矩形也就是没有更大的矩形可以完全包含他只要保证每次枚举都是有效的不是无用功才有可能不会超时

从极大化矩形的特征入手

不难发现：每个极大化矩形的每条边都有一个障碍点或者与矩形的边界重合

为了方便处理我们把矩形的四个顶点也设置为障碍点方便处理边界

思路一：枚举四个边界并且判断枚举的矩形中是否有障碍点很明显是o(n^5)的算法复杂度过高不能实现；

思路二：考虑只枚举左右边界对于已经确定的左右边界我们只需要将这两个边界中间的点从上到下排序相邻两个障碍点之间的举例就是矩形的另一条边权时间复杂度o(n^3)依旧难以实现并且这种枚举不一定能保证所有的矩形都是极大矩形如图：每一个格都代表一个矩形但不一定是极大的所以还有优化的余地

思路三：我们可以先枚举某个点然后以这个点作为左边界从左到右枚举其他点上下边界默认为上界限和下界限当枚举到第二个点的时候这个点就是右边界然后上下界不变当枚举第三个点的时候第三个点为右边界第二个点如果在左边界那个点的下方这个点就更新为下边界同理如果是上方就更新为上边界依次类推

这样并没有枚举出所有矩形我们还要考虑左右为边界的情况

一种是左边界与整个举行的左边界重合，而右边界覆盖了一个障碍点的情况这种明显可以用类似上方的思路实现只不过从右边往左搜索一遍

另一种是左右边界均与整个矩形的左右边界重合的情况，对于这类情况我们可以在预处理中完成：先将所有点按纵坐标排序，然后可以得到以相邻两个点的纵坐标为上下边界，左右边界与整个矩形的左右边界重合的矩形，显然这样的矩形也是极大子矩形，因此也需要被枚举到

加了整个矩形右上角和右下角的两个点，所以不会遗漏右边界与整个矩形的右边重合的极大子矩形。

时间复杂度为o(n^2) 这里的n为障碍点的个数

P1578 [WC2002] 奶牛浴场

时间限制: 1.00s 内存限制: 125.00MB

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题目描述

由于 John 建造了牛场围栏，激起了奶牛的愤怒，奶牛的产奶量急剧减少。为了讨好奶牛，John 决定在牛场中建造一个大型浴场。但是 John 的奶牛有一个奇怪的习惯，每头奶牛都必须在牛场中的一个固定的位置产奶，而奶牛显然不能在浴场中产奶，于是，John 希望所建造的浴场不覆盖这些产奶点。这回，他又要求助于 Clevow 了。你还能帮助 Clevow 吗？

John 的牛场和规划的浴场都是矩形。浴场要完全位于牛场之内，并且浴场的轮廓要与牛场的轮廓平行或者重合。浴场不能覆盖任何产奶点，但是产奶点可以位于浴场的轮廓上。

Clevow 当然希望浴场的面积尽可能大了，所以你的任务就是帮她计算浴场的最大面积。

输入格式

输入文件的第一行包含两个整数 L 和 W，分别表示牛场的长和宽。

文件的第二行包含一个整数 n，表示产奶点的数量。

以下 n 行每行包含两个整数 x 和 y，表示一个产奶点的坐标。

输出格式

输出文件仅一行，包含一个整数 S，表示浴场的最大面积。

输入输出样例

输入 #1复制运行

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输出 #1复制运行

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说明/提示

对于所有数据，0≤n≤5×103，1≤L,W≤3×104。所有产奶点都位于牛场内，即：0≤x≤L，0≤y≤W。

感谢 @凯瑟琳98 提供了 4 组 hack 数据。

按照上述思路实现即可

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e3+5;
int l,w,n;
struct node{
    int x,y;
}a[N];
bool cmp1(node a,node b){
    if(a.y!=b.y)return a.y<b.y;
    return a.x<b.x;
}
bool cmp2(node a,node b){
    if(a.x!=b.x)return a.x<b.x;
    return a.y<b.y;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>l>>w;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i].x>>a[i].y;
    a[++n]={0,0};
    a[++n]={0,w};
    a[++n]={l,0};
    a[++n]={l,w};
    sort(a+1,a+1+n,cmp1);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int up=0,down=l;
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            ans=max(ans,abs(a[j].y-a[i].y)*abs(up-down));
            if(a[j].x<a[i].x)up=max(up,a[j].x);
            else down=min(down,a[j].x);
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        int up=0,down=l;
        for(int j=i-1;j>=1;j--){
            ans=max(ans,abs(a[j].y-a[i].y)*abs(up-down));
            if(a[j].x<a[i].x)up=max(up,a[j].x);
            else down=min(down,a[j].x);
        }
    }
    sort(a+1,a+1+n,cmp2);{
        for(int i=1;i<=n-1;i++){
            ans=max(ans,w*abs(a[i].x-a[i+1].x));
        }
    }
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}

3.悬线法

相比于上一种算法枚举所有极大矩形这种算法并不要求只枚举极大化矩形而是所有极大化矩形都被枚举到当障碍点密集的时候明显上种做法并不占优势这种算法与障碍点无关而是根据边长有关是一种o(nm)的算法

(TO DO LIST)