【动态规划算法】专题二——路径问题

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一、下降路径最小和
二、地下城游戏

一、下降路径最小和

给你一个 n x n 的方形整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径的最小和。

下降路径可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

示例：

解题思路

使用"寻找递归子问题"的方法可以很好地找出dp问题的解题思路，类似于上个专题，在本题中可以发现从某一（最佳）起点到(i,j)位置的最小路径和=min( 到(i-1,j)位置的最小路径和，到(i-1,j-1)位置的最小路径和，到(i-1,j+1)位置的最小路径和) + (i,j)位置的值，这就是状态转移方程。那么状态表示：dp[i][j]表示从某一（最佳）起点到(i-1,j-1)位置的最小路径和（因为要进行dp表的扩展）
那么就只剩下关键的：初始化dp表--->解决边界情况了，本题非常具有代表性，我们发现要初始化的包括了：第0行、第0列、最后一列，而且对于这些边界位置我们无法手动进行初始化（无法提前计算），所以只能采取"扩展dp表来规避边界问题"的方法解决
由于dp[i][j]的计算需要其正上方、左上角、右上角这三个位置值的参与，所以我们要对dp表进行左、右两列+上面一行的扩展：
这时候就需要判断这些新扩展出来的位置是否需要手动赋值，而本题则再次强调了这些位置的赋值绝不是想当然的，而是分析出来的，那么经分析：第0行需要全部赋值为0（因为第1行的那些位置会受到它们的影响），而左、右两行则需要赋值为+∞，也就是Integer.MAX_VALUE（因为其临近的那一列会受到它们的影响）

代码实现及解析

java 复制代码

class Solution {
    public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        int m=matrix.length,n=matrix[0].length;
        int[][] dp=new int[m+1][n+2];//扩展dp表，以便处理边界位置
        //状态表示：dp[i][j]表示从某一（最佳）起点到(i-1,j-1)位置的最小路径和
        //初始化边界位置（第0行初始化为0，不用再处理了）：
        for(int i=1;i<m+1;i++){
            dp[i][0]=Integer.MAX_VALUE;//第0列初始化为+∞（从第二个元素开始）
            dp[i][n+1]=Integer.MAX_VALUE;//最后一列初始化为+∞（从第二个元素开始）
        }
        //填表：
        for(int i=1;i<m+1;i++){
            for(int j=1;j<n+1;j++){
                dp[i][j]=Math.min(Math.min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]),dp[i-1][j+1])+matrix[i-1][j-1];//状态转移方程
            }
        }
        //找出最后一行中的最小路径和：
        int ret=Integer.MAX_VALUE;
        for(int j=1;j<n+1;j++){
            ret=Math.min(ret,dp[m][j]);
        }
        return ret;
    }
}

总结

复习解题思路

二、地下城游戏

Leetcode链接

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的右下角。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

解题思路

上个专题中我们说了，寻找状态表示有两种方法：

方法一（从固定的起点到变化的终点），也就是：以某位置为起点...
方法二（从变化的起点到固定的终点），也就是：以某位置为终点...

而本题的所用的方法则有所取舍：

错误方法（方法一）：

如果设计dp[i][j]表示从起点开始到(i,j)位置所需的最低起始血量，那么是无法推导出正确的状态转移方程的：
如果想当然的以为dp(30)=min( dp(-10) , dp(10) )-dungeon(30) 的话就错了，你看这个时候减完dungeon(30)，得出的结果是在-5位置的最低血量反而要减小，因为在数学计算上确实走到30位置吃了这个血包之后血量会＞0，但是按游戏逻辑，中间任意时刻血量都不能<=0，而方法一的策略仅仅保证了走到最后不<=0

所以这个时候就要换方法二进行尝试：

方法二

我们设计状态表示为：dp[i][j]表示从(i,j)位置开始到终点所需的最低初始血量值，那么我们可以得出这样的状态转移方程：dp[i][j]=Math.min(dp[i][j+1],dp[i+1][j])-dungeon[i][j] ，这样的话就是往前填表，得出的结果就是正确的。
当然这个方法在往前填表时也会出现遇见一个大血包，然后减去这个血包值之后dp[i][j]突然变为了负数（符合数学计算，但不符合游戏逻辑），此时对于这种情况，我们只需手动将其更改为1（最小的正整数）就行了，这样往后走肯定没问题，我们就是从后面往前填表走来的，往前走去填表依然有这个计算逻辑撑腰
初始化问题照常去判断

代码实现及解析

java 复制代码

class Solution {
    public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {
        int m=dungeon.length,n=dungeon[0].length;
        int[][] dp=new int[m+1][n+1];
        //状态表示：dp[i][j]表示从(i,j)位置开始到终点所需的最低初始血量值（因为这次是在dp表的下方进行扩展，所以下标的一一映射不用改变）
        //dp表的初始化：
        for(int i=0;i<m-1;i++) dp[i][n]=Integer.MAX_VALUE;
        for(int j=0;j<n-1;j++) dp[m][j]=Integer.MAX_VALUE;
        dp[m-1][n]=dp[m][n-1]=1;
        //填表（从后往前）：
        for(int i=m-1;i>=0;i--){
            for(int j=n-1;j>=0;j--){
                int tmp=Math.min(dp[i][j+1],dp[i+1][j])-dungeon[i][j];//状态转移方程
                dp[i][j]=Math.max(tmp,1);//重要细节：如果发现经数学计算，该位置需要的最低血量tmp为负数，但按照游戏逻辑，我们肯定要手动改为正整数的
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

总结

复习解题思路
在使用这两个方法去寻找状态表示的时候，其中一个方法无法由此推导出正确的状态转移方程时，不用怀疑，就是这个状态表示压根就不对，换另一个方法