三、模糊关系
1、模糊关系概述
（1）经典关系的定义：
（2）模糊关系的定义：
（3）模糊矩阵：
（4）笛卡尔乘积：
上面介绍了直积的规则，实际上，对于"×"的运算，还有代数积的规则，具体选择哪种规则，需要结合实际情况和需求判断
2、模糊关系的合成
（1）模糊关系的合成定义：
（2）模糊关系合成算子满足的特性：
①一定满足：结合律、包含关系、逆运算（顺序颠倒）。
②不满足：交换律。
③仅部分满足：分配律（仅对并集∨成立，对交集∧不成立）。
（3）模糊变换：
四、模糊逻辑
1、二值逻辑及其基本运算
（1）命题的概念：
①具有真假意义的语句称为命题，真假两者必居其一且只居其一。
②把由一个简单句子构成的命题称简单命题。
③把两个或两个以上的命题用命题联结词联结起来，就称为复合命题，可以表示更复杂的内容。
（2）逻辑联结词：
（3）二值逻辑命题举例：
①假设P表示"坤坤喜欢打篮球"，Q表示"坤坤喜欢跳舞"。
②假设P表示"甲是乙的父亲"，Q表示"乙是甲的儿子"。
③假设P表示"A是等边三角形"，Q表示"A是等角三角形"。
2、模糊逻辑及其基本运算
（1）模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑，而模糊命题是指含有模糊概念或者是带有模糊性的陈述句。
（2）模糊命题的真值不是绝对的"真"或"假"，而是反映其以多大程度隶属于"真"，模糊命题的真值就是隶属（度）函数，所以真值的运算也就是隶属函数的运算。
（3）模糊逻辑的基本运算：
（4）模糊逻辑命题举例：
（5）根据以上模糊逻辑的基本运算定义，可以得出模糊逻辑运算遵循的基本定律有------幂等律、交换律、结合律、吸收律、分配律双否律、德﹒摩根律、常数运算法则。需要注意的是，二值逻辑中的互补律，在模糊逻辑中的互补律是不成立的：
3、模糊语言逻辑
（1）模糊语言逻辑是由模糊语句构成的一种模拟人思维的逻辑，模糊语言可以对自然语言的模糊性进行分析和处理。
（2）几个重要概念：
①模糊数：连续论域（实数域）U中的一个模糊数F是一个U上的正规凸模糊集，比如"大约5"、"10左右"。
②正规集合：隶属度函数的最大值为1的集合。
③凸模糊集：在隶属度函数曲线上任意两点之间曲线上的任一点所表示的隶属度的值都大于或等于两点隶属度值中较小的一个。
④语言值： 在语言系统中那些与数值有直接联系的词，比如"长"、"短"、"多"、"少"、"高"、"低"、"重"、"轻"、"大"、"小"等，或者由它们再加上语言算子（如"很"、"非常"、"较"、"偏"等）而派生出来的词组，如"不太大"、"常高"、"偏重"等都被称为语言值。语言值一般是模糊的，可以用模糊数来表示。
（3）语言变量：
①语言变量是用一个五元素的集合（X、L/T（X）、U、G、M）来表征的，其中
X：语言变量的名称，常见的有"误差"
L/T（X）：语言变量所包含语言值名称的集合（每个语言值都是定义在U上的模糊集）
U：语言变量X 的论域
G：语法规则，产生X的语言值规则
M：指模糊子集的隶属度函数
②举例来说，如下是语言变量"误差"的示意
语言变量X的名称为"误差"
语言值L（X）如下所示，它是由语法规则G产生的
|-----|---------------------------|---------------|
| 缩写 | 全称 | 含义 |
| NVB | Negative Very Big | 负极大误差（远小于设定值） |
| NB | Negative Big | 负大误差 |
| NIB | Negative Intermediate Big | 负中大误差 |
| NM | Negative Medium | 负中误差 |
| NS | Negative Small | 负小误差 |
| Z | Zero | 误差为零 |
| PS | Positive Small | 正小误差 |
| PM | Positive Medium | 正中误差 |
| PIB | Positive Intermediate Big | 正中大误差 |
| PB | Positive Big | 正大误差 |
| PVB | Positive Very Big | 正极大误差（远大于设定值） |
这些词不是"非此即彼"的，而是有重叠的模糊概念，比如误差为- 3，既属于"NM（负中）"，也可能属于"NB（负大）"，只是隶属度不同
图里的菱形线就是每个语言值的隶属度函数M，纵轴0~1代表隶属度（0------完全不属于，1------完全属于），它的作用是把一个精确的数值误差，转换成模糊的语言描述，这是模糊控制的第一步------模糊化
比如误差为0时，Z（零）的隶属度是1，完全属于"误差为零"；再比如误差为2时，PS（正小）的隶属度最高，同时也有一点PM（正中）的隶属度
误差越大，"大误差"的隶属度越高，"小误差"的隶属度越低
论域U是误差的量化范围，这里是- 8到+ 8，是把实际的误差通过量化因子映射到的整数区间，方便模糊控制器处理
（4）语言算子：
①语言算子主要分为三类------语气算子、模糊化算子和判定化算子。
②语气算子：
③模糊化算子：
④判定化算子：
判定化算子的作用是化模糊为趋向于清晰，常见的有"偏向"、"大半是"、"倾向"
