三门两羊问题 - 蒙提霍尔问题

你可能在社交媒体或者数学爱好者的讨论中听说过"三门问题"，个人觉得应该简单一点理解这个问题，不用看过多的公式。

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什么是"三门问题"？

"三门问题"源自美国电视游戏节目《Let's Make a Deal》。问题描述如下：

你面前有三扇门，其中一扇门后面有一辆汽车，另外两扇门后面是山羊。
你先选择一扇门（假设你选了门 A）。
主持人（知道门后隐藏的内容）会打开另一扇门（假设是门 B），露出一只山羊。
此时，主持人问你：你要保持原来的选择（门 A）吗？还是换到剩下的门（门 C）？

问题来了：换门和不换门哪个更有可能赢？

直觉 vs. 数学

直觉上，很多人认为剩下两扇门各有 50% 的概率，换不换都样。但概率论告诉我们，这种直觉是错的。

如果不换门

如果不换门，主持人的变动不会影响选中汽车的概率，即 1/3，即1/总门数。

如果换门

关键在于将测算拆分为两个步骤：

1️⃣ 主持人打开门以前

初始选择汽车的概率：1/3
初始选择山羊的概率：2/3

2️⃣ 主持人打开门以后

相当于主持人会帮你排除一个错误答案，现在就只有两个答案

如果你最初选中汽车（1/3 概率），那不管主持人排除哪个答案，只要换门，都只会选中🐑，不会选中汽车，那选中汽车的概率就是0。
如果你最初选中山羊（2/3 概率），主持人会打开另一扇山羊门，只要换门，必定选中🚗，此时选中汽车的概率就是1

所以换门以后测算的概率应

P(换门获胜)=P(初始选山羊)×P(换门获胜∣初始选山羊)+P(初始选汽车)×P(换门获胜∣初始选汽车)P(\text{换门获胜}) = P(\text{初始选山羊}) \times P(\text{换门获胜} \mid \text{初始选山羊}) + P(\text{初始选汽车}) \times P(\text{换门获胜} \mid \text{初始选汽车})P(换门获胜)=P(初始选山羊)×P(换门获胜∣初始选山羊)+P(初始选汽车)×P(换门获胜∣初始选汽车)

代入数值：
P(换门获胜)=23×1+13×0=23 P(\text{换门获胜}) = \frac{2}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times 0 = \frac{2}{3} P(换门获胜)=32×1+31×0=32

所以：

策略	赢的概率
不换门	1/3
换门	2/3

为什么直觉会错？

直觉认为"剩两扇门，各 50%"是错的，因为忽略了主持人的信息偏向性：

主持人总是选择一扇有山羊的门打开，这并不是随机事件
初始选择中未中汽车的概率较大（2/3），主持人的操作实际上增加了剩下那扇门的价值

所以换门策略选中的概率计算公式为：
P(换门获胜)=23×1+13×0=23 P(\text{换门获胜}) = \frac{2}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times 0 = \frac{2}{3} P(换门获胜)=32×1+31×0=32

同样如果，门数为doordoordoor，公式也可以拓展为：
P(换门获胜)=door−1door×1door−2+1door×0 P(\text{换门获胜}) = \frac{door - 1}{door} \times \frac{1}{door -2} + \frac{1}{door} \times 0 P(换门获胜)=doordoor−1×door−21+door1×0

附python代码测算，含循环测试和公式直接输出结果的代码

python 复制代码

import random


def fun(switch: bool, door: int, times=1000000, log=False):
    """
    switch: boolean, 是否需要更换门
    door: 门的个数
    times: 测试次数
    log: 是否打印每一轮的日志
    """
    correct, wrong = 0, 0
    for i in range(times):
        answer = random.randint(0, door - 1)
        options = set(range(door))
        guess = random.randint(0, door - 1)

        info = f'\t[info_{i}] 答案是{answer}，猜的是{guess}。'
        if switch:
            val = random.choice(list(options.difference({guess, answer})))
            guess = random.choice(list(options.difference({val, guess})))
            info += f'主持人打开{val}, 猜测修改为{guess}。'

        if answer == guess:
            correct += 1
            info += '猜测正确'
        else:
            wrong += 1
            info += '猜测错误'
        if log:
            print(info)
    print(f"共{door}门, {'' if switch else '不'}换门, 统计正确率为{(correct / (correct + wrong)):.4%}", )


if __name__ == '__main__':
    door = 3

    # 先测一个转换的
    fun(False, door=door)
    # 再测一个不转换的
    fun(True, door=door)
    # 使用统计概率直接计算
    print(f"\n直接使用统计概率计算：\n"
          f"\t不转换的计算公式: 1 / {door} = {1 / door :.4%}\n"
          f"\t需转换的计算公式: (1 / {door}) * 0  + ({door - 1} / {door}) * (1 / {door - 2}) = {((door - 1) / door) * (1 / (door - 2)) :.4%}")

实际启示

概率和直觉常常相反：遇到概率问题时，不要单靠感觉，要分析整个事件过程
信息的来源与偏向：主持人的行为提供了额外信息，这是经典条件概率案例
生活中的换门策略：遇到类似"选择与信息更新"的情境，换门或调整决策往往是更优解

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总结

"三门问题"不仅是一个有趣的概率谜题，它还教会我们如何用逻辑和数学分析复杂决策。拆分测算步骤、结合信息更新的思路，是理解概率和理性决策的关键。