⚔️《二分查找王国大冒险》⚔️
------真正掌握二分，不再靠"改一改试一试"
第一章：勇者小明与"百万藏宝箱"
1、很久很久以前，在"算法大陆"里，有一个叫小明的小勇者。
有一天，国王交给他一个任务：
"这里有 1000000（100万）个宝箱，只有一个箱子里藏着黄金钥匙，你要尽快找到它！"
2、小明第一反应：
"那我一个一个找呀！"
于是：
第1个不是
第2个不是
第999999个还不是......
小明直接累趴。
3、这时候，汉克老师出现了：
"同学们，你们这样找太慢了。"
"你们需要学习一种超级强大的魔法------"
🌟二分查找！
第二章：什么叫"二分"？
1、汉克老师拿来一张按顺序写满数字的纸条：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10现在要找数字 8。
（1）普通方法：
1个个看（2）而二分法：
直接看中间！（3）中间是谁？
5因为：
8 > 5（4）所以：
左边全部不要了！瞬间砍掉一半！
（5）只剩：
6 7 8 9 10（6）再看中间：
8找到了！
2、🌟这就是二分的威力！
（1）每次：
砍掉一半！（2）时间复杂度：
O(log n)（3）100万个数：
只需要查大约20次！
第三章：真正的本质是什么？
1、很多同学以为：
"二分就是不断找中间。"
2、❌ 错！
二分真正的本质是：
🌟寻找"分界线"！
3、比如数组：
1 2 2 2 3现在：
找第一个 >=2 的位置4、我们把每个位置变成"是否满足条件"。
（1）条件：
a[i] >= 2（2）于是得到：
1 2 2 2 3
❌ ✅ ✅ ✅ ✅（3）你发现没有？
这里有一条神奇的边界：
❌ ❌ ❌ | ✅ ✅ ✅（4）而二分查找：
🌟就是寻找这条边界！
第四章：二分最重要的三句话
汉克老师认真地说：
🌟第一句：你到底找什么？
你要找：
第一个满足？
最后一个满足？
还是随便一个？
不同目标：
模板不同！
🌟第二句：mid 是答案吗？
（1）如果：
mid可能是答案（2）那就：
保留mid（3）否则：
丢掉mid🌟第三句：区间有没有变小？
二分最怕：
💀死循环！
原因只有一个：
区间没缩小！第五章：死循环怪兽登场！
1、来看：
l = 2
r = 32、计算：
mid = (2+3)/2 = 23、如果你写：
l = mid;会发生什么？
4、下一轮：
l还是2
r还是3
mid还是2永远不变！
5、于是：
💀进入无限死循环！
第六章：mid 的两种身份
汉克老师在黑板上写下两个点：
1、🌟左中点
mid = (l+r)/2例如：
2 和 3mid：
2偏左。
2、🌟右中点
mid = (l+r+1)/2例如：
2 和 3mid：
3偏右。
3、🌟超级重要规律！
汉克老师讲到：
"谁接mid，mid就不能站谁那边！"
什么意思？
4、如果 mid 是左中点：
mid=(l+r)/2那么：
不能 l=mid因为 mid 可能等于 l！
会卡住！
5、如果 mid 是右中点：
mid=(l+r+1)/2那么：
不能 r=mid因为 mid 可能等于 r！
6、🌟一句口诀
左中点别写 l=mid
右中点别写 r=mid
第七章：五大二分神技
⚔️第一招：找第一个 ≥ x
1、比如：
1 2 2 2 3找：
第一个 >=2答案：
位置12、🌟思考
如果：
a[mid] >= x说明：
mid可能是答案所以：
r=mid保留它！
3、🌟代码
int find(vector<int>& a,int x)
{
int l=0;
int r=a.size();
while(l<r)
{
int mid=l+(r-l)/2;
if(a[mid]>=x)
r=mid;
else
l=mid+1;
}
return l;
}⚔️第二招：找第一个 > x
只需要改一个地方：
if(a[mid]>x)⚔️第三招：找最后一个 ≤ x
这次：
满足条件继续往右找所以：
l=mid+1最后：
答案=l-1⚔️第四招：找最后一个 < x
和上面几乎一样。
⚔️第五招：精确查找
这个大家最熟悉：
while(l<=r)因为：
左右边界都可能是答案！代码：
int find(vector<int>& a,int x)
{
int l=0;
int r=a.size()-1;
while(l<=r)
{
int mid=l+(r-l)/2;
if(a[mid]==x)
return mid;
else if(a[mid]<x)
l=mid+1;
else
r=mid-1;
}
return -1;
}第八章：为什么有时候是 l<r？
1、很多同学最迷糊：
while(l<r)和：
while(l<=r)到底区别是什么？
🌟情况1：寻找边界
（1）例如：
-
第一个 ≥x
-
最后一个 ≤x
（2）这种：
答案一定存在于某个区间（3）我们维护的是：
[l,r)左闭右开区间。
（4）所以：
while(l<r)（5）因为：
当 l==r 时
区间已经空了搜索结束。
🌟情况2：精确找数字
（1）例如：
找有没有等于x（2）此时：
每个点都可能是答案（3）所以：
while(l<=r)必须让最后一个点也检查。
第九章：真正的二分高手怎么思考？
真正厉害的人，
脑子里想的不是：
套哪个模板？而是：
🌟第一步
条件是什么？
例如：
a[i]>=x🌟第二步
哪些是❌？
哪些是✅？
例如：
❌ ❌ ❌ ✅ ✅ ✅🌟第三步
我要找哪条边界？
例如：
第一个✅🌟第四步
mid 要不要保留？
如果：
mid可能是答案就保留！
否则丢掉！
第十章：终极口诀
汉克老师最后送给大家的口诀：
🌟二分查找四大口诀
🌟口诀1
二分不是找数字，
而是找边界！
🌟口诀2
先想分界线：
❌❌❌✅✅✅再写代码！
🌟口诀3
mid包含与不包含：
mid可能是答案：
r=midmid不可能是答案：
l=mid+1🌟口诀4
区间必须缩小！
否则：
💀死循环！
第十一章：课后挑战
1、🌟挑战1
数组：
1 3 3 3 5 7请找：
第一个 >=3答案是多少？
2、🌟挑战2
请找：
最后一个 <=33、🌟挑战3
为什么下面会死循环？
while(l<r)
{
int mid=(l+r)/2;
l=mid;
}第十二章：最终奥义
真正掌握二分的人，
看到一道题时，
第一反应不是：
"我要背哪个模板？"而是：
🌟"这里有没有单调性？"
🌟"我在找哪条边界？"
一旦学会这个思想：
你会发现：
二分答案
二分最大值
二分最小值
二分函数
全部都能打通！
因为：
🌟所有二分，本质都一样。