上一篇我们确立了算法评价的三个维度：正确性、效率与最优性。但当我们声称"算法A比算法B快"时，这句话究竟是什么意思？同一个算法在笔记本电脑和超级计算机上运行的秒数不同，用秒表衡量算法效率显然毫无意义。我们需要一个独立于硬件性能的尺度，这便是计算模型的任务。
计算模型的核心功能，是将"执行一个操作"抽象为可计量的基本单位。本文介绍两种最主流的模型。
第一种是图灵机模型。它的结构极为朴素：一条无限长的纸带被划分为一个个格子，一个读写头在纸带上左右移动，根据当前状态和读取到的符号决定写入什么、如何移动以及跳到什么状态。听起来笨拙，但Church-Turing论题断言：任何在物理世界中可计算的问题，图灵机都可计算。它的价值在于界定"可计算性"的理论边界，但在日常的算法分析中，用图灵机去描述一个排序过程显然是杀鸡用牛刀。
因此实际分析中更常用的是第二种------RAM模型，即随机存取机器模型。它假设我们有一台理想化计算机：每个简单操作（算术运算、比较、赋值、内存存取等）都花费一个单位时间，每条简单指令顺序执行，没有缓存未命中，没有流水线停顿。虽然真实机器远比这复杂，但RAM模型抓住了计算量的核心趋势，使得跨语言、跨平台的算法效率比较成为可能。
建立在计算模型之上，我们就获得了刻画渐进复杂度的数学语言。下面给出五种渐进记号的严格定义。设n为输入规模，f(n)和g(n)均为非负函数。
O记号（大O，上界）：f(n)=O(g(n))，当且仅当存在正常数c和n₀，使得对所有n≥n₀，有f(n)≤c·g(n)。它描述的是"算法最慢不会慢过多少"，是最常用的上界标记。比如遍历数组耗时2n+3步，我们说它是O(n)的。
Ω记号（大Ω，下界）：f(n)=Ω(g(n))，当且仅当存在正常数c和n₀，使得对所有n≥n₀，有f(n)≥c·g(n)。它回答"算法至少要做多少工作"，比如基于比较的排序算法下界是Ω(n log n)。
Θ记号（大Θ，紧确界）：f(n)=Θ(g(n))，当且仅当同时存在正常数c₁、c₂和n₀，使得对所有n≥n₀，有c₁·g(n)≤f(n)≤c₂·g(n)。它锁定了一个函数的精确增长阶，是我们最希望给出的结论------既不太松也不太紧。
o记号（小o，非紧上界）：f(n)=o(g(n))，当且仅当对任意正常数c，总存在n₀，使得n≥n₀时f(n)<c·g(n)。它比大O更强，表示f(n)的增长严格慢于g(n)，比如n log n=o(n²)。
ω记号（小ω，非紧下界）：f(n)=ω(g(n))，当且仅当对任意正常数c，总存在n₀，使得n≥n₀时f(n)>c·g(n)。与大Ω的界限可以相等不同，小ω要求f(n)的增长严格快于g(n)。
在这套记号的帮助下，我们可以在三个层面描述算法的复杂度。
最好情况复杂度 ，是算法在最优输入下的表现。它往往很漂亮，但没什么实用价值------极少有人会指望输入数据恰好排好序。最坏情况复杂度 ，是算法在最劣输入下的表现，它提供了一个铁定的上限保证：无论输入多么刁钻，算法的运行时间都不会超过这个量级。这是工程中最受重视的指标。而平均情况复杂度，是对所有可能输入按其概率分布加权求期望。它更贴近日常表现，但需要假设输入服从某种分布，分析过程也往往需要复杂的数学技巧。
接下来的学习中你会反复看到：我们讨论复杂度时，绝大多数时候说的都是最坏情况下的渐进上界，也就是最坏情况的大O。这并非因为其他指标不重要，而是因为它给出了最可靠的安全承诺。
从下一篇开始，我们将带着这套分析工具，进入第一个具体的算法设计主题------递归，以及它背后的数学语言：递归方程。