【板子】二分答案（最大最小？）

一、什么题目要用「二分答案」？

当你看到题目问的是**"最大的最小"** 、"最小的最大" ，或者**"满足条件的最小值/最大值"**时，优先考虑二分答案。

典型关键词：

最大值最小化（如：最小距离的最大值）
最小值最大化（如：最大装载量的最小值）
第 k 大的值最小是多少？
能否在 x 时间内完成？
答案具有单调性（这是核心！）

经典例题：

POJ 2456 / AcWing 102：Aggressive cows（奶牛放牛栏，最近距离最大）
POJ 1064：Cable master（切绳子，最长长度）
洛谷 P2678：跳石头（移走最少石头，最短跳跃距离最大）
洛谷 P1182：数列分段 Section II（最多分成 m 段，最大段和最小）
各种"最小值最大"、"最大值最小"的贪心+验证题

二、核心思想

不直接求最优解，而是"猜"一个答案 mid，判断这个答案是否可行（check(mid)）。

如果可行，说明答案可以更大（或更小），往一侧继续二分。

三、整数二分答案板子

模板 1：求「最小值最大」（最大化最小值）

常见：最近距离最大、最少时间最少、最大承载量最小等

复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
vector<int> a;

// check函数：判断答案 mid 是否可行
bool check(int mid) {
    // 根据题意写贪心/DP验证逻辑
    // 返回 true 表示 mid 可行，可以尝试更大的
    // 返回 false 表示 mid 太大，需要缩小
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    // 读入数据...

    int l = 0, r = 1e9; // 根据题目确定上下界
    while (l < r) {
        int mid = l + (r - l + 1) / 2; // 右中点（防死循环）
        if (check(mid)) {
            l = mid;   // mid 可行，尝试更大的
        } else {
            r = mid - 1; // mid 不可行，缩小
        }
    }

    cout << l << "\n";
    return 0;
}

模板 2：求「最大值最小」（最小化最大值）

常见：最大段和最小、最少分组数最多等

复制代码

int l = 0, r = 1e9;
while (l < r) {
    int mid = l + (r - l) / 2; // 左中点
    if (check(mid)) {
        r = mid;     // mid 可行，尝试更小的
    } else {
        l = mid + 1; // mid 太小，需要增大
    }
}
cout << l << "\n";

四、浮点数二分答案板子

用于精度要求高的题目（如长度、重量、时间）。

复制代码

double l = 0.0, r = 1e9;
const double eps = 1e-6; // 根据题目要求调整，通常 1e-6 ~ 1e-8

while (r - l > eps) {
    double mid = (l + r) / 2.0;
    if (check(mid)) {
        l = mid;   // 或 r = mid，看题意
    } else {
        r = mid;
    }
}
printf("%.6f\n", l);

浮点二分不用纠结边界，直接 l=mid / r=mid 即可

五、check 函数怎么写？（最关键）

**check(mid)** 的本质：

给定一个"候选答案"，问：能不能在这个限制下完成任务？

常见套路：

贪心：能选就选，不能选就跳过
计数：统计满足条件的组数、段数、操作次数
模拟：模拟整个过程，判断是否合法

示例：数列分段（最大段和最小）

题意：把 n 个数分成 m 段，每段和尽量小，求最大段和的最小值。

复制代码

bool check(int mid) {
    int cnt = 1;      // 当前段数
    int sum = 0;      // 当前段的和
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (sum + a[i] <= mid) {
            sum += a[i];
        } else {
            cnt++;
            sum = a[i];
        }
    }
    return cnt <= m; // 能否在 m 段内完成
}

六、用法思路总结

读题，找关键词
- "最小的最大"、"最大的最小"
确认答案具有单调性
- 若答案变大，可行性只会变差或不变
确定二分区间 $l, r$
写出 check(mid)
- 贪心 / 模拟 / DP
套用对应模板
调试边界（整数二分最容易错）

ps

当然面向奇怪的数据可以进行枚举答案（doge）

当题目要求是找到综合多维的值：比如，正常情况，给多段绳子，可以砍一定刀，求最大长度最短是标准的二分答案，但是如果题目是要求：段越小价值指数下降，求所有绳子代价最小的切法，这时候用二分答案确实可以找到最长段最短，但是达到这个节点依旧可能剩余刀数，求代价最小应该切完所有刀。。。此时只能用代价优先队列dp

：代价优先队列dp也能直接解二分答案大部分题目

优先队列贪心dp-CSDN博客