Python 算法竞赛：数学核心知识点全总结

本文整理了Python竞赛中最常用的数学相关内置函数、运算符、位运算技巧，直接复制可用，无冗余知识点，纯实战向！

一、幂运算

Python 中有三种幂运算写法，竞赛场景有严格区分，千万不要混用！

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# 1. 普通幂运算：** 运算符
print(2 ** 10)   # 1024，无优化，大指数会卡顿

# 2. 内置函数 pow（推荐）
# 双参数：和 ** 效果完全一致
print(pow(2, 10))  # 1024
# 三参数：竞赛神技！快速幂取模，底层优化，大指数秒算
# pow(底数, 指数, 模数) = (底数^指数) % 模数，唯一的快速幂实现
print(pow(2, 1000000, 1000))  

# 3. math.pow（竞赛禁用）
# 永远返回浮点数，无快速幂，大数丢失精度
import math
print(math.pow(2, 10))  # 1024.0

二、向上/向下取整

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import math
# math.ceil：向上取整（取大于等于当前数的最小整数）
print(math.ceil(5.4))   # 6
print(math.ceil(-5.4))  # -5

# math.floor：向下取整（取小于等于当前数的最大整数）
print(math.floor(5.4))  # 5
print(math.floor(-5.4)) # -6

三、最大公约数 GCD & 最小公倍数 LCM

核心原理

math.gcd 底层采用欧几里得算法（辗转相除法） 实现

核心公式：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)，不断取余迭代，直到余数为0，此时的被除数就是最大公约数。

Python内置函数为C语言优化版，速度极快，竞赛直接调用，无需手写。

1. 两数计算

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import math
# 最大公约数 gcd
print(math.gcd(20, 25))  # 5

# 最小公倍数 lcm（公式计算）
# lcm(a,b) = a*b // gcd(a,b)
print(20 * 25 // math.gcd(20, 25))  # 100

2. 多数/列表计算

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from functools import reduce
import math

lst = [12, 18, 24]
# 迭代计算列表所有数的最大公约数
res = reduce(math.gcd, lst)
print(res)  # 6

四、除法与取余

区分普通除法、整除、内置取余函数，竞赛计算商和余数必备：

python 复制代码

# / ：普通除法，返回浮点数
print(20/5)   # 4.0

# // ：整除（向下取整），返回整数
print(20//5)  # 4

# divmod：内置函数，一次性返回 (商, 余数)
print(divmod(25, 20))  # (1, 5)

五、常用数学计算

开方、阶乘、对数，竞赛高频工具函数：

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import math
# 开平方 sqrt
print(math.sqrt(4))  # 2.0

# 阶乘 factorial（仅支持非负整数）
print(math.factorial(3))  # 6

# 对数（竞赛常用：计算数字位数）
print(math.log2(8))   # 3.0  以2为底
print(math.log10(10)) # 1.0 以10为底

六、位运算小技巧

一行代码判断2的幂次，竞赛极简写法：

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# 判断一个数是2的幂次：x & (x-1) == 0
print(4 & 3 == 0)   # True
print(8 & 7 == 0)   # True
print(5 & 4 == 0)   # False

七、进制转换（二进制高频）

竞赛中二进制转换、统计1的个数、进制互转必备：

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# 1. 十进制转二进制字符串（[2:] 去掉前缀 0b）
x = bin(10)[2:]   # '1010'
print(x)

# 2. 统计二进制中1的个数
print(x.count('1'))  # 2

# 3. 二进制字符串转回十进制
print(int("1010", 2))  # 10

总结

快速幂 ：只有三参数 pow(a,b,mod) 是快速幂，其余写法无优化
GCD ：底层=辗转相除法，3.8.6仅支持两数，多数必须用 reduce(math.gcd, 列表)
取整：ceil 向上、floor 向下，无四舍五入
进制：bin(x)[2:] 转纯二进制，int(字符串, 进制) 转回十进制
禁用：math.pow 浮点数精度差，竞赛不使用