csp信奥赛C++高频考点专项训练之前缀和&差分 --【一维差分】：[NOIP 2018 提高组] 铺设道路

csp信奥赛C++高频考点专项训练之前缀和&差分 --【一维差分】： $NOIP 2018 提高组$ 铺设道路

题目描述

春春是一名道路工程师，负责铺设一条长度为 n n n 的道路。

铺设道路的主要工作是填平下陷的地表。整段道路可以看作是 n n n 块连续的区域，一开始，第 i i i 块区域下陷的深度为 d i d_i di 。

春春每天可以选择一段连续区间 $L , R$ $L,R$ $L,R$ ，填充这段区间中的每块区域，让其下陷深度减少 1 1 1。在选择区间时，需要保证，区间内的每块区域在填充前下陷深度均不为 0 0 0 。

春春希望你能帮他设计一种方案，可以在最短的时间内将整段道路的下陷深度都变为 0 0 0 。

输入格式

输入文件包含两行，第一行包含一个整数 n n n，表示道路的长度。第二行包含 n n n 个整数，相邻两数间用一个空格隔开，第 i i i 个整数为 d i d_i di 。

输出格式

输出文件仅包含一个整数，即最少需要多少天才能完成任务。

输入输出样例 1

输入 1

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6   
4 3 2 5 3 5

输出 1

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说明/提示

【样例解释】

一种可行的最佳方案是，依次选择：

$1 , 6$ $1,6$ $1,6$ 、 $1 , 6$ $1,6$ $1,6$ 、 $1 , 2$ $1,2$ $1,2$ 、 $1 , 1$ $1,1$ $1,1$ 、 $4 , 6$ $4,6$ $4,6$ 、 $4 , 4$ $4,4$ $4,4$ 、 $4 , 4$ $4,4$ $4,4$ 、 $6 , 6$ $6,6$ $6,6$ 、 $6 , 6$ $6,6$ $6,6$ 。

【数据规模与约定】

对于 30 % 30\% 30% 的数据， 1 ≤ n ≤ 10 1 ≤ n ≤ 10 1≤n≤10 ；

对于 70 % 70\% 70% 的数据， 1 ≤ n ≤ 1000 1 ≤ n ≤ 1000 1≤n≤1000 ；

对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ n ≤ 100000 , 0 ≤ d i ≤ 10000 1 ≤ n ≤ 100000 , 0 ≤ d_i ≤ 10000 1≤n≤100000,0≤di≤10000 。

思路分析

这个问题等价于：给定一个正整数序列，每次操作可以将一个连续子区间内的所有数减1（区间内所有数必须大于0），问最少操作次数。

经典解法：考虑差分思想。设初始数组为d $1...n$ ，补一个d $0$ =0。从左到右扫描，如果当前深度d $i$ > d $i-1$ ，则说明需要额外进行(d $i$ - d $i-1$ )次操作来覆盖这段"凸起"，因为这些操作无法被前一个位置的区间覆盖。总操作数即为所有正差值的累加和。

例如样例：4 3 2 5 3 5，计算差值：4-0=4，3-4=-1，2-3=-1，5-2=3，3-5=-2，5-3=2，累加正数部分：4+3+2=9，与答案一致。

代码实现

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n, a, b = 0, ans = 0; // b记录上一个深度，初始0
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a; // 当前深度
        if (a > b) ans += a - b; // 正差值累加
        b = a;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

功能分析

时间复杂度：O(n)，只需一次线性扫描。
空间复杂度：O(1)，仅使用几个整型变量。
正确性：基于贪心思想，每次操作尽可能向右延伸，统计新增的"台阶"高度。

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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	cout<<"#############  冲刺信奥赛拿奖!  #############";
	cout<<"######  课程购买后永久学习，不受限制!   ######";
	return 0;
}

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· 文末祝福 ·

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
	cout<<"    成就更好的自己！       ";
	cout<<"  csp信奥赛一等奖属于你!   ";
	return 0;
}

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