第十章：行列式
10.1 行列式定义
二阶：
∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} a11a21a12a22 =a11a22−a12a21
三阶（对角线法则）：
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} a11a21a31a12a22a32a13a23a33 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32
n 阶（按行展开）：
D=∑j=1naijAijD = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij}D=j=1∑naijAij
其中 Aij=(−1)i+jMijA_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}Aij=(−1)i+jMij 是代数余子式，MijM_{ij}Mij 是余子式
10.2 行列式性质
- 转置不变：∣AT∣=∣A∣|A^T| = |A|∣AT∣=∣A∣
- 交换两行（列）变号
- 某行（列）乘 kkk，行列式乘 kkk
- 某行（列）加上另一行（列）的 kkk 倍，行列式不变
- 两行（列）相同，行列式为 0
- 两行（列）成比例，行列式为 0
10.3 特殊行列式
对角行列式：
∣A∣=∏i=1naii|A| = \prod_{i=1}^{n} a_{ii}∣A∣=i=1∏naii
上（下）三角行列式：
∣A∣=∏i=1naii|A| = \prod_{i=1}^{n} a_{ii}∣A∣=i=1∏naii
范德蒙行列式：
Vn=∣11⋯1x1x2⋯xnx12x22⋯xn2⋮⋮⋮x1n−1x2n−1⋯xnn−1∣=∏1≤i<j≤n(xj−xi)V_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)Vn= 1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋯1xnxn2⋮xnn−1 =1≤i<j≤n∏(xj−xi)
10.4 行列式计算方法
- 按行（列）展开
- 化为上三角
- 递推法
- 加边法
- 拆分法
- 利用性质
第十一章：矩阵
11.1 矩阵运算
加法 ：(A+B)ij=aij+bij(A+B){ij} = a{ij} + b_{ij}(A+B)ij=aij+bij
数乘 ：(kA)ij=k⋅aij(kA){ij} = k \cdot a{ij}(kA)ij=k⋅aij
乘法 ：(AB)ij=∑k=1naikbkj(AB){ij} = \sum{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}(AB)ij=∑k=1naikbkj
转置 ：(AT)ij=aji(A^T){ij} = a{ji}(AT)ij=aji
运算律：
- A+B=B+AA + B = B + AA+B=B+A
- (A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C = A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)
- (AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC)(AB)C=A(BC)
- A(B+C)=AB+ACA(B+C) = AB + ACA(B+C)=AB+AC
- (A+B)C=AC+BC(A+B)C = AC + BC(A+B)C=AC+BC
- (kA)T=kAT(kA)^T = kA^T(kA)T=kAT
- (A+B)T=AT+BT(A+B)^T = A^T + B^T(A+B)T=AT+BT
- (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T(AB)T=BTAT
注意 ：AB≠BAAB \neq BAAB=BA（矩阵乘法不满足交换律）
11.2 逆矩阵
定义 ：若 AB=BA=EAB = BA = EAB=BA=E，则 B=A−1B = A^{-1}B=A−1
二阶矩阵逆矩阵：
A=(abcd) ⟹ A−1=1ad−bc(d−b−ca)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \implies A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}A=(acbd)⟹A−1=ad−bc1(d−c−ba)
伴随矩阵法：
A−1=1∣A∣A∗A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*A−1=∣A∣1A∗
其中 A∗A^*A∗ 是 AAA 的伴随矩阵（代数余子式的转置）
性质：
- (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A(A−1)−1=A
- (kA)−1=1kA−1(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}(kA)−1=k1A−1
- (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1
- (AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T(AT)−1=(A−1)T
- ∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}∣A−1∣=∣A∣1
11.3 初等变换与初等矩阵
初等行变换：
- 交换两行
- 某行乘非零常数
- 某行加上另一行的 kkk 倍
初等矩阵：对单位矩阵做一次初等变换得到的矩阵
A 可逆 ⟺ A 可以表示为有限个初等矩阵的乘积A \text{ 可逆} \iff A \text{ 可以表示为有限个初等矩阵的乘积}A 可逆⟺A 可以表示为有限个初等矩阵的乘积
11.4 矩阵的秩
定义：矩阵中不为零的子式的最高阶数
性质：
- 0≤rank(A)≤min(m,n)0 \leq \text{rank}(A) \leq \min(m, n)0≤rank(A)≤min(m,n)
- rank(A)=rank(AT)\text{rank}(A) = \text{rank}(A^T)rank(A)=rank(AT)
- rank(AB)≤min(rank(A),rank(B))\text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B))rank(AB)≤min(rank(A),rank(B))
- rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)\text{rank}(A+B) \leq \text{rank}(A) + \text{rank}(B)rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)
- 若 P,QP, QP,Q 可逆，则 rank(PAQ)=rank(A)\text{rank}(PAQ) = \text{rank}(A)rank(PAQ)=rank(A)
第十二章：向量
12.1 线性相关性
线性表示 ：β=k1α1+k2α2+⋯+knαn\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_nβ=k1α1+k2α2+⋯+knαn
线性相关 ：存在不全为零的 k1,...,knk_1, \dots, k_nk1,...,kn 使得 k1α1+⋯+knαn=0k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n = 0k1α1+⋯+knαn=0
线性无关 ：只有当 k1=⋯=kn=0k_1 = \cdots = k_n = 0k1=⋯=kn=0 时才有 k1α1+⋯+knαn=0k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n = 0k1α1+⋯+knαn=0
判定：
- nnn 个 nnn 维向量线性相关 ⟺ \iff⟺ ∣α1,...,αn∣=0|\alpha_1, \dots, \alpha_n| = 0∣α1,...,αn∣=0
- 含零向量的向量组线性相关
- 部分相关 ⇒\Rightarrow⇒ 整体相关
- 整体无关 ⇒\Rightarrow⇒ 部分无关
12.2 向量组的秩
极大线性无关组：向量组中线性无关的部分组，且再加一个向量就线性相关
向量组的秩：极大线性无关组中向量的个数
性质：
- 等价的向量组秩相等
- 秩相等的向量组不一定等价
- 若向量组 I 可由向量组 II 线性表示，则 rank(I)≤rank(II)\text{rank}(I) \leq \text{rank}(II)rank(I)≤rank(II)
12.3 向量空间
子空间：对加法和数乘封闭的非空集合
基与维数：向量空间中极大线性无关组称为基，基中向量个数称为维数
坐标：向量在基下的表示
第十三章：线性方程组
13.1 齐次方程组 Ax=0Ax = 0Ax=0
解的性质：
- 解的线性组合仍是解
- 基础解系：解空间的基
- 解空间维数：n−rank(A)n - \text{rank}(A)n−rank(A)
有非零解的条件 ：rank(A)<n\text{rank}(A) < nrank(A)<n
13.2 非齐次方程组 Ax=bAx = bAx=b
有解的条件 ：rank(A)=rank(Aˉ)\text{rank}(A) = \text{rank}(\bar{A})rank(A)=rank(Aˉ)（Aˉ\bar{A}Aˉ 是增广矩阵）
解的结构：
x=特解+齐次通解x = \text{特解} + \text{齐次通解}x=特解+齐次通解
x=x∗+k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−rx = x^* + k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}x=x∗+k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r
唯一解 ：rank(A)=rank(Aˉ)=n\text{rank}(A) = \text{rank}(\bar{A}) = nrank(A)=rank(Aˉ)=n
无穷多解 ：rank(A)=rank(Aˉ)<n\text{rank}(A) = \text{rank}(\bar{A}) < nrank(A)=rank(Aˉ)<n
无解 ：rank(A)≠rank(Aˉ)\text{rank}(A) \neq \text{rank}(\bar{A})rank(A)=rank(Aˉ)
第十四章：特征值与特征向量
14.1 定义
Ax=λx,x≠0Ax = \lambda x, \quad x \neq 0Ax=λx,x=0
λ\lambdaλ 是特征值，xxx 是对应特征向量
特征方程 ：∣λE−A∣=0|\lambda E - A| = 0∣λE−A∣=0
14.2 求法
- 解特征方程 ∣λE−A∣=0|\lambda E - A| = 0∣λE−A∣=0，得特征值 λ1,...,λn\lambda_1, \dots, \lambda_nλ1,...,λn
- 对每个 λi\lambda_iλi，解 (λiE−A)x=0(\lambda_i E - A)x = 0(λiE−A)x=0，得特征向量
14.3 性质
- ∑λi=tr(A)=∑aii\sum \lambda_i = \text{tr}(A) = \sum a_{ii}∑λi=tr(A)=∑aii
- ∏λi=∣A∣\prod \lambda_i = |A|∏λi=∣A∣
- 不同特征值对应的特征向量线性无关
- kkk 重特征值至多有 kkk 个线性无关的特征向量
- 实对称矩阵的特征值都是实数
- 实对称矩阵不同特征值的特征向量正交
14.4 相似矩阵
若 P−1AP=ΛP^{-1}AP = \LambdaP−1AP=Λ，则 AAA 相似于 Λ\LambdaΛ
性质：
- 相似矩阵有相同的特征值
- 相似矩阵有相同的行列式
- 相似矩阵有相同的迹
- 相似矩阵有相同的秩
14.5 对角化
AAA 可对角化 ⟺ \iff⟺ AAA 有 nnn 个线性无关的特征向量
P−1AP=Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)P^{-1}AP = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)P−1AP=Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)
实对称矩阵必可正交对角化：
QTAQ=ΛQ^T A Q = \LambdaQTAQ=Λ
其中 QQQ 是正交矩阵
第十五章：二次型
15.1 二次型定义
f=xTAx=∑i=1n∑j=1naijxixjf = x^T A x = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_jf=xTAx=i=1∑nj=1∑naijxixj
其中 AAA 是实对称矩阵
15.2 标准形
通过正交变换 x=Qyx = Qyx=Qy，将二次型化为标准形：
f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2
其中 λ1,...,λn\lambda_1, \dots, \lambda_nλ1,...,λn 是 AAA 的特征值
15.3 正定性
正定 ：f>0f > 0f>0（x≠0x \neq 0x=0） ⟺ \iff⟺ 所有特征值 >0> 0>0 ⟺ \iff⟺ 所有顺序主子式 >0> 0>0
负定 ：f<0f < 0f<0（x≠0x \neq 0x=0） ⟺ \iff⟺ 所有特征值 <0< 0<0
半正定 ：f≥0f \geq 0f≥0 ⟺ \iff⟺ 所有特征值 ≥0\geq 0≥0
不定：特征值有正有负