1. （行列式的定义）克莱姆法则 - 求解变量和方程数目相等的线性方程组
1. 应用场景(背景)
克莱姆法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的基本定理 ，适用于求解变量和方程数目相等的线性方程组 。它的意义主要在于它给出了方程组解与系数的明显关系。
2. 概念
在引入克莱姆法则之前，先引入有关n元线性方程组和有关矩阵、行列式的概念。含有n个未知数的线性方程组称为n元线性方程组。
当其右端的常数项b1,b2,...,bn不全为零时，线性方程组⑴称为非齐次线性方程组。
令
，其中A是线性方程组的系数矩阵，X是由未知数组成的列向量，
是由常数项组成的列向量。线性方程组⑴的矩阵形式为
。
当常数项全为零时，线性方程组⑵称为齐次线性方程组，即：
线性方程组(2)的矩阵形式为
系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即
3. 定理
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为
记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解为
其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。
记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。
4. 证明
充分性：
设A可逆，那么显然
是
的一个解。又设X1是
其他不为X0的解，即
。两边同时左乘A-1得
上面两式矛盾，因为不存在其他不为X0的解，故
是唯一解。
**必要性：**设
的唯一解X0。如A不可逆，齐次线性组AX=O就有非零解Y0，
X0+Y0也是
的一个解，矛盾，故可逆，证毕。
5. 推论
n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵的行列式不为零，其矩阵可逆。
6. 法则总结
- 克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。
2.应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:
（1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
（2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零；
（3）克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。
3.克莱姆法则的局限性：
（1）当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。
（2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。
7. 技术应用
克莱姆法则在解决微分几何方面十分有用。
先考虑两条等式
和
。因为u和v都是没相关的变数，可定义
和
。
找出一条等式适合
是克莱姆法则的简单应用。
首先要计算F、G、x和y的导数：
将dx和dy代入dF和dG，可得出：
因为u和v都没有关系，所以du和dv的系数都要等于0 。所以等式中的系数可以被写成：
用克莱姆法则就可得到：
用两个雅可比矩阵来表示的方程：
b
用类似的方法就可以找到
、
以及
。