信奥赛C++提高组csp-s之搜索进阶（记忆化搜索核心思想）

记忆化搜索原理详解

一、什么是记忆化搜索

记忆化搜索（Memoization Search）是一种通过记录已经遍历过的状态信息，从而避免对同一状态重复遍历的搜索算法。可以把它理解为带有"备忘录"的递归------递归每次返回的时候，将结果放到备忘录里；每次进入递归的时候，先看看备忘录里有没有当前状态，如果有就直接返回，不用再重复计算。
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没有
开始递归调用
备忘录中有

当前状态吗?
直接返回备忘录中的值
进行递归/状态转移计算
将计算结果存入备忘录
返回计算结果
结束

二、核心原理

记忆化搜索能优化的问题必须满足两个条件：

重叠子问题：不同的递归路径会重复计算同一个子问题（如斐波那契数列中，f(5)需要f(4)和f(3)，f(4)又需要f(3)和f(2)，f(3)被重复计算多次）
最优子结构：一个问题的最优解可以由其子问题的最优解推导而来

记忆化搜索的本质是用空间换时间：第一次计算子问题时，将结果存入缓存；后续遇到相同子问题时，直接从缓存读取结果，无需重复递归。

三、记忆化搜索 vs 传统DP

维度	记忆化搜索（DFS+缓存）	传统DP（迭代）
实现方式	递归，代码简洁，符合直觉	迭代，需手动规划状态转移顺序
适用场景	状态转移复杂（如区间DP、树形DP）	状态转移简单（如线性DP）
空间开销	额外递归栈开销	无递归栈开销
计算方式	按需计算（只算需要的子问题）	按顺序计算（可能算无用子问题）

记忆化搜索算法上依然是搜索的流程，但搜索到的一些解用动态规划的思想和模式作保存。一般来说，动态规划需要遍历所有状态，而搜索可以排除一些无效状态。

四、实现框架

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 1. 定义备忘录数组（大小根据问题状态空间确定）
int f[N][M];  // f数组存储已经计算过的状态结果

// 2. DFS递归函数
int dfs(int i, int j) {
    // 边界条件：递归终止条件
    if (边界条件) return 边界值;
    
    // 3. 查备忘录：如果当前状态已经计算过，直接返回
    if (f[i][j] != -1) return f[i][j];
    
    // 4. 状态转移：搜索所有可能的选择
    int ans = 初始值;
    for (所有可能的选择) {
        ans = max(ans / min(ans) / ans + 子问题的结果);
    }
    
    // 5. 存备忘录：将结果存入备忘录后返回
    return f[i][j] = ans;
}

int main() {
    // 初始化备忘录为-1（表示未计算过）
    memset(f, -1, sizeof(f));
    // 调用DFS得到答案
    cout << dfs(起始状态) << endl;
    return 0;
}

实现记忆化搜索的关键是：按照"可变参数→返回值"的格式创建备忘录，可变参数通常对应DP中的状态维度，返回值对应答案。

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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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