【数学+MATLAB实验室】第一阶段_函数和图像(一次、二次、指数、对数、正弦、余弦、平移、缩放、叠加)

【数学+MATLAB实验室】MATLAB 可以用来学习数学，而且非常适合把抽象数学具象化。

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函数是什么？图像为什么长这样？参数一变，曲线为什么跟着变？

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第一阶段：函数和图像

一、先建立最基础的数学概念

1. 什么是"变量"？

定义：

变量就是可以变化的量。

例如：

x = 1 , 2 , 3 , 4 , 5... x = 1,2,3,4,5... x=1,2,3,4,5...

这里的 (x) 可以取不同的值，所以 (x) 是变量。

定义解释：

在函数图像里，通常：

• (x)：自变量，也就是你主动改变的量；
• (y)：因变量，也就是随着 (x) 改变而变化的量。

比如：

y = 2 x y = 2x y=2x

当：

x = 1 x = 1 x=1

则：

y = 2 y = 2 y=2

当：

x = 2 x = 2 x=2

则：

y = 4 y = 4 y=4

所以 (y) 是由 (x) 决定的。

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2. 什么是"函数"？

定义：

函数是一种对应关系。对于每一个输入 (x)，按照某种规则，得到一个输出 (y)。

可以写成：

y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)

读作：

y 等于 x 的函数。

定义解释：

函数就像一个"数学机器"。

你把 (x) 放进去，机器按照规则计算，然后吐出 (y)。

例如：

f ( x ) = 2 x + 1 f(x)=2x+1 f(x)=2x+1

当你输入：

x = 3 x=3 x=3

输出就是：

f ( 3 ) = 2 × 3 + 1 = 7 f(3)=2\times3+1=7 f(3)=2×3+1=7

所以函数本质上是：

输入 → 规则计算 → 输出

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3. 什么是"函数图像"？

定义：

函数图像就是把很多组 ((x,y)) 点画在坐标系里，再连接起来形成的曲线。

例如函数：

y = x 2 y = x^2 y=x2

取几个点：

x	y=x²
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4

把这些点画出来，就会得到一条 U 形曲线。

定义解释：

函数图像的作用是：

用一张图直观显示 x 和 y 的变化关系。

这就是 MATLAB 的价值：它可以快速把公式变成图像。

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二、MATLAB 基础操作准备

先新建一个脚本文件，例如：

stage1_functions.m

以后每次实验都可以复制进去运行。

建议每个实验前面都加上这三行：

clear;
clc;
close all;

它们的作用如下：

MATLAB 语句	作用
clear	清除工作区变量
clc	清空命令行窗口
close all	关闭之前打开的图像窗口

这样做的好处是：

每次实验都从一个干净环境开始，避免旧变量影响新实验。

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三、实验 1：认识 x 和 y

1. MATLAB 代码

clear;
clc;
close all;

x = -10:0.01:10;
y = x;

plot(x, y);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('y = x');

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2. 每句代码解释

x = -10:0.01:10;

意思是：

从 -10 开始，到 10 结束，每隔 0.01 取一个点。

也就是：

x = − 10 , − 9.99 , − 9.98 , . . . , 0 , . . . , 9.99 , 10 x=-10,-9.99,-9.98,...,0,...,9.99,10 x=−10,−9.99,−9.98,...,0,...,9.99,10

这不是一个单独的数字，而是一整串数字。

在 MATLAB 里，这叫做向量。

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y = x;

意思是：

每一个 (x) 对应一个相同的 (y)。

也就是：

y = x y=x y=x

当 (x=-5)，(y=-5)；

当 (x=0)，(y=0)；

当 (x=5)，(y=5)。

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plot(x, y);

意思是：

把所有 ((x,y)) 点画出来。

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grid on;

意思是：

打开网格线。

网格线可以帮助你看清楚曲线经过哪些坐标点。

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3. 理论理解

函数：

y = x y=x y=x

是一条直线。

它的特点是：

• 经过原点 ((0,0))；
• 向右上方倾斜；
• (x) 增大，(y) 也增大；
• (x) 和 (y) 增长速度一样。

这就是最简单的线性关系。

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四、一次函数

1. 一次函数的定义

定义：

形如：

y = k x + b y=kx+b y=kx+b

的函数叫做一次函数。

其中：

• (k)：斜率；
• (b)：截距。

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2. 定义解释

斜率 (k)

斜率表示直线的倾斜程度。

k = y 的变化量 x 的变化量 k = \frac{y的变化量}{x的变化量} k=x的变化量y的变化量

如果 (k>0)，直线向右上方倾斜。

如果 (k<0)，直线向右下方倾斜。

如果 (k=0)，直线是水平线。

截距 (b)

截距表示直线和 y 轴的交点。

当：

x = 0 x=0 x=0

有：

y = b y=b y=b

所以 (b) 决定直线整体上下移动。

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3. 实验 2：观察 k 的作用

clear;
clc;
close all;

x = -10:0.01:10;

y1 = 1*x;
y2 = 2*x;
y3 = -1*x;
y4 = 0.5*x;

plot(x, y1, x, y2, x, y3, x, y4);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('一次函数：斜率 k 的影响');
legend('y = x', 'y = 2x', 'y = -x', 'y = 0.5x');

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4. 观察结果

你会看到四条直线：

y = x y=x y=x

y = 2 x y=2x y=2x

y = − x y=-x y=−x

y = 0.5 x y=0.5x y=0.5x

它们的区别：

函数	斜率	图像特点
(y=x)	1	标准向右上升
(y=2x)	2	上升更快，更陡
(y=-x)	-1	向右下降
(y=0.5x)	0.5	上升较慢，更平缓

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5. 工程理解

在工程中，很多关系都是一次函数。

例如 ADC 采样换算：

实际电压 = k × A D C 值 + b 实际电压 = k \times ADC值 + b 实际电压=k×ADC值+b

其中：

• (k)：比例系数；
• (b)：偏置误差。

所以一次函数不是只存在课本里，它在电路采样、传感器标定、控制系统里面非常常见。

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五、二次函数

1. 二次函数的定义

定义：

形如：

y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c

的函数叫做二次函数。

其中 a ≠ 0 a\neq0 a=0。

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2. 定义解释

二次函数最典型的图像是抛物线。

最简单的是：

y = x 2 y=x^2 y=x2

它的特点是：

• 图像是 U 形；
• 关于 y 轴对称；
• 最低点在 ((0,0))；
• (x) 越远离 0，(y) 增长越快。

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3. 实验 3：画出二次函数

clear;
clc;
close all;

x = -10:0.01:10;

y1 = x.^2;
y2 = 2*x.^2;
y3 = 0.5*x.^2;
y4 = -x.^2;

plot(x, y1, x, y2, x, y3, x, y4);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('二次函数：a 的影响');
legend('y = x^2', 'y = 2x^2', 'y = 0.5x^2', 'y = -x^2');

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4. 重点解释：为什么是 x.^2，不是 x^2？

因为 x 是一串数字，不是单个数字。

x.^2 的意思是：

对 x 里面的每一个元素分别平方。

例如：

x = [-2 -1 0 1 2];
y = x.^2;

得到：

y = [4 1 0 1 4]

这个点非常重要。

在 MATLAB 里：

写法	含义
x^2	矩阵乘方
x.^2	每个元素分别平方

学习函数画图时，大多数情况下要用 .^。

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5. 观察结果

函数	图像特点
(y=x^2)	标准 U 形
(y=2x^2)	更窄，更陡
(y=0.5x^2)	更宽，更平
(y=-x^2)	开口向下

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6. 理论理解

对于：

y = a x 2 y=ax^2 y=ax2

参数 (a) 决定两个事情：

第一，开口方向

如果：

a > 0 a>0 a>0

开口向上。

如果：

a < 0 a<0 a<0

开口向下。

第二，开口宽窄

如果：

∣ a ∣ > 1 |a|>1 ∣a∣>1

图像变窄。

如果：

0 < ∣ a ∣ < 1 0<|a|<1 0<∣a∣<1

图像变宽。

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六、指数函数

1. 指数函数的定义

定义：

形如：

y = a x y=a^x y=ax

的函数叫做指数函数。

其中：

a > 0 , a ≠ 1 a>0,\quad a\neq1 a>0,a=1

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2. 定义解释

指数函数的特点是：

自变量 x 在指数位置上。

例如：

y = 2 x y=2^x y=2x

当：

x	y=2^x
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16

你会发现它增长越来越快。

这叫做指数增长。

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3. 实验 4：指数增长和指数衰减

clear;
clc;
close all;

x = -5:0.01:5;

y1 = 2.^x;
y2 = 0.5.^x;
y3 = exp(x);
y4 = exp(-x);

plot(x, y1, x, y2, x, y3, x, y4);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('指数函数');
legend('y = 2^x', 'y = 0.5^x', 'y = e^x', 'y = e^{-x}');

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4. 每个函数解释

y = 2 x y=2^x y=2x

随着 (x) 增大，(y) 快速增大。

这是指数增长。

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y = 0.5 x y=0.5^x y=0.5x

因为：

0.5 = 1 2 0.5=\frac{1}{2} 0.5=21

所以：

0.5 x = ( 1 2 ) x 0.5^x = \left(\frac{1}{2}\right)^x 0.5x=(21)x

随着 (x) 增大，(y) 越来越小。

这是指数衰减。

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y = e x y=e^x y=ex

这里的 e e e 是一个数学常数：

e ≈ 2.71828 e \approx 2.71828 e≈2.71828

MATLAB 中 exp(x) 就表示：

e x e^x ex

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y = e − x y=e^{-x} y=e−x

这是非常重要的指数衰减函数。

在电路里，RC 充放电经常出现：

e − t R C e^{-\frac{t}{RC}} e−RCt

例如电容充电公式：

u c ( t ) = U ( 1 − e − t R C ) u_c(t)=U(1-e^{-\frac{t}{RC}}) uc(t)=U(1−e−RCt)

所以指数函数和电路动态过程关系非常密切。

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七、对数函数

1. 对数函数的定义

定义：

如果：

a y = x a^y=x ay=x

那么：

y = log ⁡ a x y=\log_a x y=logax

叫做以 a a a 为底， x x x 的对数。

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2. 定义解释

对数解决的问题是：

a 的多少次方等于 x？

例如：

2 3 = 8 2^3=8 23=8

所以：

log ⁡ 2 8 = 3 \log_2 8=3 log28=3

意思是：

2 的 3 次方等于 8。

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3. 指数和对数的关系

指数函数：

y = 2 x y=2^x y=2x

对数函数：

y = log ⁡ 2 x y=\log_2 x y=log2x

它们是反过来的关系。

指数问的是：

已知底数和指数，求结果。

对数问的是：

已知底数和结果，求指数。

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4. 实验 5：画出对数函数

clear;
clc;
close all;

x = 0.01:0.01:10;

y1 = log(x);
y2 = log10(x);
y3 = log2(x);

plot(x, y1, x, y2, x, y3);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('对数函数');
legend('ln(x)', 'log10(x)', 'log2(x)');

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5. 代码解释

x = 0.01:0.01:10;

注意这里不能从 0 或负数开始。

因为对数函数：

log ⁡ ( x ) \log(x) log(x)

只对：

x > 0 x>0 x>0

有意义。

也就是说，不能计算：

log ⁡ ( 0 ) \log(0) log(0)

也不能计算：

log ⁡ ( − 1 ) \log(-1) log(−1)

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log(x)

MATLAB 中：

log(x)

表示自然对数：

ln ⁡ ( x ) = log ⁡ e ( x ) \ln(x)=\log_e(x) ln(x)=loge(x)

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log10(x)

表示常用对数：

log ⁡ 10 ( x ) \log_{10}(x) log10(x)

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log2(x)

表示以 2 为底的对数：

log ⁡ 2 ( x ) \log_2(x) log2(x)

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6. 对数函数特点

特点	解释
定义域	(x>0)
经过点	((1,0))
增长速度	越来越慢
和指数函数关系	互为反函数

为什么经过 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)？

因为：

a 0 = 1 a^0=1 a0=1

所以：

log ⁡ a 1 = 0 \log_a 1=0 loga1=0

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八、正弦函数和余弦函数

这是你以后学习交流电、SPWM、逆变器、电机控制最重要的一类函数。

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1. 正弦函数定义

定义：

正弦函数可以写成：

y = sin ⁡ ( x ) y=\sin(x) y=sin(x)

它描述一种周期性变化。

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2. 定义解释

所谓周期性，就是：

经过一段固定的长度后，波形重复出现。

正弦函数的标准周期是：

2 π 2\pi 2π

也就是说：

sin ⁡ ( x + 2 π ) = sin ⁡ ( x ) \sin(x+2\pi)=\sin(x) sin(x+2π)=sin(x)

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3. 角度和弧度

中学里常用角度：

0 ∘ , 30 ∘ , 90 ∘ , 180 ∘ 0^\circ, 30^\circ, 90^\circ, 180^\circ 0∘,30∘,90∘,180∘

MATLAB 的 sin() 默认使用的是弧度，不是角度。

角度和弧度关系：

180 ∘ = π 180^\circ=\pi 180∘=π

所以：

90 ∘ = π 2 90^\circ=\frac{\pi}{2} 90∘=2π

360 ∘ = 2 π 360^\circ=2\pi 360∘=2π

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4. 实验 6：画正弦和余弦

clear;
clc;
close all;

x = 0:0.01:2*pi;

y1 = sin(x);
y2 = cos(x);

plot(x, y1, x, y2);
grid on;
xlabel('x / rad');
ylabel('y');
title('正弦函数和余弦函数');
legend('sin(x)', 'cos(x)');

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5. 观察结果

你会看到：

sin ⁡ ( x ) \sin(x) sin(x)

从 0 开始。

cos ⁡ ( x ) \cos(x) cos(x)

从 1 开始。

几个关键点：

x	sin(x)	cos(x)
0	0	1
π / 2 \pi/2 π/2	1	0
π \pi π	0	-1
3 π / 2 3\pi/2 3π/2	-1	0
2 π 2\pi 2π	0	1

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6. 正弦和余弦的关系

它们其实只是相位不同。

cos ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( x + π 2 ) \cos(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2}) cos(x)=sin(x+2π)

也就是说：

余弦波可以看成正弦波提前了 90°。

这对交流电相位理解非常重要。

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九、函数的平移、缩放、叠加

这是截图里最后一项，也是非常重要的一项。

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1. 标准函数

先设一个基础函数：

y = sin ⁡ ( x ) y=\sin(x) y=sin(x)

它是标准正弦波。

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2. 上下平移

理论定义

如果：

y = f ( x ) + b y=f(x)+b y=f(x)+b

那么函数图像会上下平移。

• (b>0)：向上移动；
• (b<0)：向下移动。

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MATLAB 实验

clear;
clc;
close all;

x = 0:0.01:2*pi;

y1 = sin(x);
y2 = sin(x) + 1;
y3 = sin(x) - 1;

plot(x, y1, x, y2, x, y3);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('函数的上下平移');
legend('sin(x)', 'sin(x)+1', 'sin(x)-1');

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原理解释

sin ⁡ ( x ) \sin(x) sin(x)

的范围是：

-1,1

如果变成：

sin ⁡ ( x ) + 1 \sin(x)+1 sin(x)+1

范围就变成：

0,2

所以整条曲线向上移动 1。

这就像电路里的直流偏置。

例如一个交流信号：

u ( t ) = sin ⁡ ( t ) u(t)=\sin(t) u(t)=sin(t)

如果加上 2.5V 偏置：

u ( t ) = 2.5 + sin ⁡ ( t ) u(t)=2.5+\sin(t) u(t)=2.5+sin(t)

波形整体就会抬高到 2.5V 附近。

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3. 左右平移

理论定义

如果：

y = f ( x − a ) y=f(x-a) y=f(x−a)

图像向右移动 a a a。

如果：

y = f ( x + a ) y=f(x+a) y=f(x+a)

图像向左移动 a a a。

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MATLAB 实验

clear;
clc;
close all;

x = 0:0.01:2*pi;

y1 = sin(x);
y2 = sin(x - pi/2);
y3 = sin(x + pi/2);

plot(x, y1, x, y2, x, y3);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('函数的左右平移：相位变化');
legend('sin(x)', 'sin(x - pi/2)', 'sin(x + pi/2)');

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原理解释

sin ⁡ ( x − π 2 ) \sin(x-\frac{\pi}{2}) sin(x−2π)

表示波形向右移动：

π 2 \frac{\pi}{2} 2π

也就是滞后 90°。

sin ⁡ ( x + π 2 ) \sin(x+\frac{\pi}{2}) sin(x+2π)

表示波形向左移动：

π 2 \frac{\pi}{2} 2π

也就是提前 90°。

在交流电里，这叫做相位变化。

例如电感、电容电路里，经常会说：

• 电感电流滞后电压；
• 电容电流超前电压。

这背后就是正弦函数的左右移动。

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4. 上下缩放

理论定义

如果：

y = A f ( x ) y=A f(x) y=Af(x)

那么 A A A 控制图像在 y 方向上的放大或缩小。

在正弦波里， A A A 叫做幅值。

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MATLAB 实验

clear;
clc;
close all;

x = 0:0.01:2*pi;

y1 = sin(x);
y2 = 2*sin(x);
y3 = 0.5*sin(x);

plot(x, y1, x, y2, x, y3);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('函数的上下缩放：幅值变化');
legend('sin(x)', '2sin(x)', '0.5sin(x)');

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原理解释

标准正弦波：

y = sin ⁡ ( x ) y=\sin(x) y=sin(x)

最大值是 1，最小值是 -1。

如果变成：

y = 2 sin ⁡ ( x ) y=2\sin(x) y=2sin(x)

最大值变成 2，最小值变成 -2。

所以波形变高了。

这就是幅值变大。

在交流电中：

u ( t ) = U m sin ⁡ ( ω t ) u(t)=U_m\sin(\omega t) u(t)=Umsin(ωt)

其中 U m U_m Um 就是峰值。

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5. 左右缩放

理论定义

如果：

y = f ( B x ) y=f(Bx) y=f(Bx)

那么 B B B 控制图像在 x 方向上的压缩或拉伸。

对于正弦函数：

y = sin ⁡ ( B x ) y=\sin(Bx) y=sin(Bx)

周期变为：

T = 2 π B T=\frac{2\pi}{B} T=B2π

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MATLAB 实验

clear;
clc;
close all;

x = 0:0.01:4*pi;

y1 = sin(x);
y2 = sin(2*x);
y3 = sin(0.5*x);

plot(x, y1, x, y2, x, y3);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('函数的左右缩放：周期变化');
legend('sin(x)', 'sin(2x)', 'sin(0.5x)');

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原理解释

sin ⁡ ( x ) \sin(x) sin(x)

周期是：

2 π 2\pi 2π

sin ⁡ ( 2 x ) \sin(2x) sin(2x)

周期变成：

π \pi π

所以波形变密了。

sin ⁡ ( 0.5 x ) \sin(0.5x) sin(0.5x)

周期变成：

4 π 4\pi 4π

所以波形变宽了。

在交流电中，频率越高，波形越密。

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十、回到截图中的 MATLAB 练习

截图中的代码是：

x = -10:0.01:10;

y1 = sin(x);
y2 = 2*sin(x);
y3 = sin(x + pi/2);

plot(x,y1,x,y2,x,y3);
grid on;
legend('sin(x)','2sin(x)','sin(x+pi/2)');

我们现在详细解释。

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1. x = -10:0.01:10;

定义横坐标范围。

从 -10 到 10，每隔 0.01 取一个点。

点越密，曲线越光滑。

如果改成：

x = -10:1:10;

点很少，曲线就会显得粗糙。

你可以实验一下：

clear;
clc;
close all;

x1 = -10:1:10;
y1 = sin(x1);

x2 = -10:0.01:10;
y2 = sin(x2);

plot(x1, y1, 'o-', x2, y2);
grid on;
legend('步长 1', '步长 0.01');
title('步长对曲线光滑程度的影响');

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2. y1 = sin(x);

定义标准正弦波：

y 1 = sin ⁡ ( x ) y_1=\sin(x) y1=sin(x)

它的特点：

• 幅值是 1；
• 周期是 2 π 2\pi 2π；
• 中心线是 y = 0 y=0 y=0。

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3. y2 = 2*sin(x);

定义幅值放大的正弦波：

y 2 = 2 sin ⁡ ( x ) y_2=2\sin(x) y2=2sin(x)

相比 y 1 y_1 y1，它只是高度变成了 2 倍。

最大值：

2 2 2

最小值：

− 2 -2 −2

它的周期没有变，还是：

2 π 2\pi 2π

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4. y3 = sin(x + pi/2);

定义相位提前的正弦波：

y 3 = sin ⁡ ( x + π 2 ) y_3=\sin(x+\frac{\pi}{2}) y3=sin(x+2π)

因为：

sin ⁡ ( x + π 2 ) = cos ⁡ ( x ) \sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos(x) sin(x+2π)=cos(x)

所以这条曲线其实就是余弦波。

它和 y 1 = sin ⁡ ( x ) y_1=\sin(x) y1=sin(x) 的关系是：

波形提前了 90°。

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5. plot(x,y1,x,y2,x,y3);

一次画三条曲线。

相当于告诉 MATLAB：

画：

( x , y 1 ) (x,y_1) (x,y1)

再画：

( x , y 2 ) (x,y_2) (x,y2)

再画：

( x , y 3 ) (x,y_3) (x,y3)

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6. legend(...)

显示图例。

legend('sin(x)','2sin(x)','sin(x+pi/2)');

图例的顺序必须和 plot 里面曲线的顺序一致。

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十一、综合实验：把所有变化放到一起

把下面这段代码复制到 MATLAB 里运行：

clear;
clc;
close all;

x = -2*pi:0.01:2*pi;

y1 = sin(x);
y2 = 2*sin(x);
y3 = sin(x + pi/2);
y4 = sin(2*x);
y5 = sin(x) + 1;

plot(x, y1, x, y2, x, y3, x, y4, x, y5);
grid on;

xlabel('x / rad');
ylabel('y');
title('正弦函数的幅值、相位、周期、偏置变化');

legend( ...
    'sin(x) 标准正弦', ...
    '2sin(x) 幅值变大', ...
    'sin(x+\pi/2) 相位提前', ...
    'sin(2x) 周期变短', ...
    'sin(x)+1 上移' ...
);

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你需要观察什么？

1. 哪条曲线最高？

2 sin ⁡ ( x ) 2\sin(x) 2sin(x)

因为它的幅值是 2。

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2. 哪条曲线整体上移了？

sin ⁡ ( x ) + 1 \sin(x)+1 sin(x)+1

因为它加了一个直流偏置 1。

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3. 哪条曲线左右移动了？

sin ⁡ ( x + π 2 ) \sin(x+\frac{\pi}{2}) sin(x+2π)

因为 x x x 里面加了 π 2 \frac{\pi}{2} 2π。

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4. 哪条曲线变密了？

sin ⁡ ( 2 x ) \sin(2x) sin(2x)

因为 (x) 前面乘了 2，周期变短。

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十二、最终总结：这一阶段你要真正掌握什么

这一阶段你不是只学会几句 MATLAB 代码，而是要建立下面这套理解：

数学概念	MATLAB 表达	图像意义
一次函数	y = k*x + b	直线
二次函数	y = a*x.^2 + b*x + c	抛物线
指数函数	y = a.^x 或 exp(x)	快速增长或衰减
对数函数	y = log(x)	增长越来越慢
正弦函数	y = sin(x)	周期波形
余弦函数	y = cos(x)	相位提前的正弦波
上下平移	y = f(x) + b	整体上移/下移
左右平移	y = f(x ± a)	相位变化
上下缩放	y = A*f(x)	幅值变化
左右缩放	y = f(B*x)	周期变化
叠加	y = y1 + y2	多个函数合成

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十三、课后练习

你可以自己改代码做这几个练习。

练习 1

画出：

y = 3 x + 2 y=3x+2 y=3x+2

观察：

• 斜率是多少？
• y 轴截距是多少？

MATLAB：

x = -10:0.01:10;
y = 3*x + 2;

plot(x, y);
grid on;

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练习 2

画出：

y = x 2 − 4 y=x^2-4 y=x2−4

和：

y = ( x − 2 ) 2 y=(x-2)^2 y=(x−2)2

观察：

• 哪个是上下移动？
• 哪个是左右移动？

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练习 3

画出：

y = sin ⁡ ( x ) y=\sin(x) y=sin(x)

y = 3 sin ⁡ ( x ) y=3\sin(x) y=3sin(x)

y = sin ⁡ ( x ) + 3 y=\sin(x)+3 y=sin(x)+3

观察：

• 哪个是幅值变化？
• 哪个是直流偏置变化？

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练习 4

画出：

y = sin ⁡ ( x ) y=\sin(x) y=sin(x)

y = sin ⁡ ( 2 x ) y=\sin(2x) y=sin(2x)

y = sin ⁡ ( 0.5 x ) y=\sin(0.5x) y=sin(0.5x)

观察：

• 哪个频率更高？
• 哪个周期更长？

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练习 5

画出：

y = e − x y=e^{-x} y=e−x

观察它是不是越来越接近 0。

这对理解 RC 电路、电容放电、系统衰减非常重要。

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