第十七 位运算

目录

• [Rust 位运算详解](#Rust 位运算详解)
• • 一、与（AND）运算
  • • [1.1 Brian Kernighan 算法（布赖恩·克尼根算法）](#1.1 Brian Kernighan 算法（布赖恩·克尼根算法）)
  • 二、或（OR）运算
  • 三、非（NOT）运算
  • 四、异或（XOR）运算
  • • [4.1 运算规则](#4.1 运算规则)
    • [4.2 运算法则](#4.2 运算法则)
  • [五、左移（SHL，Shift Left）运算](#五、左移（SHL，Shift Left）运算)
  • [六、右移（SHR，Shift Right）运算](#六、右移（SHR，Shift Right）运算)
  • [七、Rust 中的位运算 Trait](#七、Rust 中的位运算 Trait)
  • [八、LeetCode 实战练习](#八、LeetCode 实战练习)
  • 总结

Rust 位运算详解

与十进制的算数运算一样，二进制的位运算也有其独特的运算规律。

参考资料：位运算 - 百度百科

一、与（AND）运算

运算符： &

1.1 Brian Kernighan 算法（布赖恩·克尼根算法）

利用与运算的一个经典技巧：n & (n - 1) 可以将 n 的二进制最右边的 1 置为 0。

应用：统计二进制数中 1 的个数

fn count_ones(n: u64) -> u64 {
    // n 为正整数，其二进制表示中 1 的个数
    let mut n = n;
    let mut count = 0;
    while n != 0 {
        n = n & (n - 1);
        count += 1;
    }
    count
}

fn main() {
    println!("{}", count_ones(15)); // 输出：4
}

算法解析： 每次执行 n = n & (n - 1) 都会消去最低位的 1，循环次数即为 1 的个数，时间复杂度为 O(k)（k 为 1 的个数）。

二、或（OR）运算

运算符： |

或运算规则：只要有一个操作数为 1，结果就为 1；两者都为 0 时，结果才为 0。

A	B	结果
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

三、非（NOT）运算

运算符： ~ 或 !

非运算对每一位取反：0 变 1，1 变 0。

四、异或（XOR）运算

运算符： ^

参考资料：

• 异或运算（XOR）- 百度百科
• 异或运算 XOR 教程 - 阮一峰

4.1 运算规则

A	B	结果
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

4.2 运算法则

法则	表达式	说明
归零律	a ⊕ a = 0	任何数异或其本身都等于 0
恒等律	a ⊕ 0 = a	任何数异或 0 都等于其本身
交换律	a ⊕ b = b ⊕ a	交换操作数不影响结果
结合律	a ⊕ b ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)	运算顺序不影响结果
自反性	a ⊕ b ⊕ a = b	与同一个数异或两次等于原数
可推导性	d = a ⊕ b ⊕ c ⇒ a = d ⊕ b ⊕ c	---

示例：

• 若 x = 0101（二进制），y = 1011（二进制），则 x ⊕ y = 1110
• 对任意整数 i，有 4i ⊕ (4i+1) ⊕ (4i+2) ⊕ (4i+3) = 0

五、左移（SHL，Shift Left）运算

运算符： <<

用途： 快速乘 2，比算术乘法（*）速度更快。

fn main() {
    let x = 5;
    let y = x << 1; // 相当于 x * 2
    println!("{}", y); // 输出：10
}

原理： 二进制数左移一位，末位补 0，相当于乘以 2。

六、右移（SHR，Shift Right）运算

运算符： >>

用途： 快速除 2，比算术除法（/）速度更快。

fn main() {
    // 偶数右移
    let mut x = 1024;
    let mut y = x >> 1;
    println!("{}", y); // 输出：512

    // 奇数右移（小数部分截断）
    x = 11;
    y = x >> 1;
    println!("{}", y); // 输出：5
}

注意： 奇数右移会丢弃最低位（小数部分截断），例如 11 >> 1 = 5（而非 5.5）。

七、Rust 中的位运算 Trait

Rust 标准库为位运算提供了对应的 trait，可用于自定义类型的运算符重载：

Trait	运算符	说明
std::ops::BitAnd	&	按位与运算符
std::ops::BitAndAssign	&=	按位与赋值运算符
std::ops::BitOr	`	`
std::ops::BitOrAssign	`	=`
std::ops::BitXor	^	按位异或运算符
std::ops::Not	!	按位非运算符

参考文档：BitAnd · BitAndAssign · BitOr · BitOrAssign · BitXor · Not

八、LeetCode 实战练习

位运算在算法题中有广泛应用，以下是推荐的练习题：

题目	主要考点
136. 只出现一次的数字	异或消除重复数
137. 只出现一次的数字 II	位统计
191. 位 1 的个数	Brian Kernighan 算法
201. 数字范围按位与	公共前缀
231. 2 的幂	n & (n-1) == 0
260. 只出现一次的数字 III	分组异或（同剑指 Offer 56-I）
338. 比特位计数	动态规划 + 位运算
461. 汉明距离	异或 + 1 的个数

总结

运算	符号	典型用途
与 AND	&	清除位、掩码、判断奇偶
或 OR	`	`
非 NOT	! / ~	取反
异或 XOR	^	消除重复、交换两数、校验
左移 SHL	<<	快速乘 2 的幂次
右移 SHR	>>	快速除 2 的幂次

提示： 位运算直接操作底层二进制，执行效率极高，在性能敏感场景和算法竞赛中被广泛使用。

本文为《Rust 编程》系列教程第十七章，持续更新中。