线性代数保研面试复习

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1. 余子式与代数余子式

余子式定义

在nnn阶行列式中，去掉元素aija_{ij}aij所在的第iii行和第jjj列后，剩余(n−1)(n-1)(n−1)阶子矩阵对应的行列式，称为元素aija_{ij}aij的余子式 ，记作MijM_{ij}Mij。

代数余子式定义

在余子式基础上乘以符号因子(−1)i+j(-1)^{i+j}(−1)i+j，得到代数余子式 ：

Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}Aij=(−1)i+jMij

用途：行列式展开、求解逆矩阵。

2. 行列式的含义

1. 本质：是一种函数，将n×nn\times nn×n方阵映射为一个实数。
2. 几何意义：代表线性变换对有向体积的缩放倍数；绝对值为体积缩放比例，正负表示空间方向是否翻转。
3. 代数意义：等于矩阵所有特征值的乘积，也等于行/列向量张成的平行多面体的有向体积。
4. 推论：行列式∣A∣=0|A|=0∣A∣=0   ⟺  \iff⟺ 空间体积坍缩为零维，矩阵不可逆，行/列向量线性相关。

3. 矩阵相关知识

伴随矩阵

由行列式∣A∣|A|∣A∣中所有元素的代数余子式AijA_{ij}Aij构成的矩阵，记作A∗A^*A∗。

逆矩阵

• 判定：∣A∣=0|A|=0∣A∣=0，矩阵无逆矩阵；∣A∣≠0|A|\neq0∣A∣=0，矩阵存在逆矩阵。
• 求解方法：
  1. 公式法：A−1=A∗∣A∣A^{-1}=\displaystyle\frac{A^*}{|A|}A−1=∣A∣A∗
  2. 初等行变换法：(A,E)→初等行变换(E,A−1)(A,E) \xrightarrow{\text{初等行变换}} (E,A^{-1})(A,E)初等行变换 (E,A−1)

4. 矩阵的秩（Rank）

基本概念

矩阵的秩：矩阵中最高阶非零子式的阶数；行阶梯形矩阵的秩 = 非零行的数量。

与向量组的关系

1. 矩阵的秩 = 列向量组的秩 = 行向量组的秩。
2. 向量组的秩：该向量组的极大线性无关组所含向量的个数。

物理意义

线性变换后矩阵保留的维度数量，决定线性方程组解的类型。

重要等价关系（AAA为nnn阶方阵）

A 可逆  ⟺  ∣A∣≠0  ⟺  R(A)=nA\text{ 可逆} \iff |A|\neq0 \iff R(A)=nA 可逆⟺∣A∣=0⟺R(A)=n

求秩方法

将矩阵化为行阶梯形，非零行的行数即为矩阵的秩。

5. 线性方程组解的情况

设m×nm\times nm×n矩阵AAA，nnn元线性方程组 AX=bA\boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}AX=b，增广矩阵为A‾=(A∣b)\overline{A}=(A|\boldsymbol{b})A=(A∣b)。

非齐次线性方程组 AX=bA\boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}AX=b

1. 无解：R(A)<R(A‾)R(A)<R(\overline{A})R(A)<R(A)
2. 有唯一解：R(A)=R(A‾)=nR(A)=R(\overline{A})=nR(A)=R(A)=n
3. 有无穷多解：R(A)=R(A‾)<nR(A)=R(\overline{A})<nR(A)=R(A)<n

补充（AAA为nnn阶方阵）：

• 唯一解   ⟺  ∣A∣≠0\iff |A|\neq0⟺∣A∣=0
• 无解/无穷多解   ⟺  ∣A∣=0\iff |A|=0⟺∣A∣=0

齐次线性方程组 AX=0A\boldsymbol{X}=\boldsymbol{0}AX=0

1. 只有零解：R(A)=nR(A)=nR(A)=n
2. 有非零解：R(A)<nR(A)<nR(A)<n

方程组求解方法

1. ∣A∣≠0|A|\neq0∣A∣=0：克拉默法则
2. 矩阵方程AX=BA\boldsymbol{X}=BAX=B：X=A−1B\boldsymbol{X}=A^{-1}BX=A−1B
3. 通用方法：初等行变换

6. 线性相关与线性无关

定义

• 线性无关：向量组中任意一个向量，都不能由其余向量线性表示。
• 线性相关：几何意义为向量组张成的有向体积为000。

判定方法（mmm维向量组，共nnn个向量）

1. 行列式法（向量个数=维度，构成方阵AAA）
   ∣A∣≠0  ⟺  |A|\neq0 \iff∣A∣=0⟺ 线性无关；∣A∣=0  ⟺  |A|=0 \iff∣A∣=0⟺ 线性相关。
2. 秩方法（向量构矩阵AAA）
   R(A)=R(A)=R(A)=向量个数   ⟺  \iff⟺ 线性无关；R(A)<R(A)<R(A)<向量个数   ⟺  \iff⟺ 线性相关。
3. 齐次方程法
   方程组Ac=0A\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}Ac=0只有零解   ⟺  \iff⟺ 线性无关。

等价关系（nnn阶方阵）

列/行向量线性无关  ⟺  ∣A∣≠0  ⟺  矩阵可逆  ⟺  满秩 R(A)=n\text{列/行向量线性无关} \iff |A|\neq0 \iff \text{矩阵可逆} \iff \text{满秩 }R(A)=n列/行向量线性无关⟺∣A∣=0⟺矩阵可逆⟺满秩 R(A)=n

7. 向量组的秩

1. 定义：向量组极大线性无关组所含向量的个数。
2. 核心结论：矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩。
3. 极大线性无关组：从向量组中选出数量最多的一组线性无关向量。
4. 求解：向量组构成矩阵，化为行阶梯/行最简形，每个阶梯各取一个向量，构成极大线性无关组。

8. 线性空间（向量空间）

集合对加法 和数乘 运算封闭（运算结果仍属于该集合）。

子空间要求：包含零元素，且对加法、数乘运算封闭。

9. 向量空间的基与维数

• 基：一组线性无关、且能张满整个空间的向量。
• 维数：基所含向量的个数，代表空间的自由度。

10. 矩阵的范数/长度/模

作用：度量矩阵的"大小"与"长度"。

满足四大性质：

1. 正定性 ：∥A∥=0  ⟺  A\Vert A\Vert = 0 \iff A∥A∥=0⟺A 为零矩阵；
2. 齐次性 ：∥λA∥=∣λ∣⋅∥A∥\Vert \lambda A\Vert = |\lambda|\cdot\Vert A\Vert∥λA∥=∣λ∣⋅∥A∥；
3. 三角不等式 ：∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert + \Vert B\Vert∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥；
4. 乘积次乘性 ：∥AB∥≤∥A∥⋅∥B∥\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert∥AB∥≤∥A∥⋅∥B∥（部分范数满足）。

11. 标准正交化

两步流程：

1. 正交化：施密特正交化
2. 单位化

12. 正交矩阵

定义

AAA为方阵，且满足 ATA=EA^TA=EATA=E，则AAA为正交矩阵。

性质

1. AAA为正交阵   ⟺  \iff⟺ AAA的行/列向量两两正交，且均为单位向量；
2. 若AAA是正交阵，则AT、−A、A−1、A∗A^T、-A、A^{-1}、A^*AT、−A、A−1、A∗ 也为正交阵；
3. 正交矩阵的行列式：∣A∣=1|A|=1∣A∣=1 或 ∣A∣=−1|A|=-1∣A∣=−1。

13. 方阵的迹

nnn阶方阵AAA主对角线元素之和 称为方阵的迹，记作trA\mathrm{tr}AtrA：

trA=∑i=1naii\mathrm{tr}A=\sum_{i=1}^n a_{ii}trA=i=1∑naii

14. 特征值与特征向量

定义

设AAA为nnn阶方阵，若存在非零向量v\boldsymbol{v}v和数λ\lambdaλ，使得 Av=λvA\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v}Av=λv，则称λ\lambdaλ为AAA的特征值 ，v\boldsymbol{v}v为对应λ\lambdaλ的特征向量。

基本性质

1. 方阵的迹 = 所有特征值之和：trA=λ1+λ2+⋯+λn\mathrm{tr}A=\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_ntrA=λ1+λ2+⋯+λn
2. 方阵行列式 = 所有特征值之积：∣A∣=λ1λ2...λn|A|=\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n∣A∣=λ1λ2...λn
3. nnn阶方阵共有nnn个特征值；
4. 不同特征值对应的特征向量线性无关。

求解步骤

1. 解特征方程 ∣λE−A∣=0|\lambda E - A|=0∣λE−A∣=0，求出全部特征值λ\lambdaλ；
2. 对每个λ\lambdaλ，解齐次方程组 (λE−A)x=0(\lambda E - A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}(λE−A)x=0，得到对应特征向量。

15. 相似矩阵

定义

设A,BA,BA,B为nnn阶方阵，若存在可逆矩阵PPP，使得 B=P−1APB=P^{-1}APB=P−1AP，则称AAA与BBB相似 ，记作A∼BA\sim BA∼B。

性质

相似矩阵满足：

1. 特征多项式相同：∣λE−A∣=∣λE−B∣|\lambda E - A|=|\lambda E - B|∣λE−A∣=∣λE−B∣；
2. 特征值完全相同；
3. 行列式、迹、秩全部相等。

16. 矩阵的相似对角化

定义

若方阵AAA相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵PPP，使得：

P−1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)P^{-1}AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)P−1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)

则称AAA可相似对角化；PPP的列向量为AAA的线性无关特征向量。

判定条件

1. 充要条件 ：AAA有nnn个线性无关的特征向量；
2. 充分条件 ：AAA有nnn个互不相等的特征值   ⟹  A\implies A⟹A 可对角化。

验证方法

1. 由∣λE−A∣=0|\lambda E - A|=0∣λE−A∣=0求特征值；
2. 将λE−A\lambda E - AλE−A化为行阶梯形，判断是否存在nnn个线性无关的特征向量。

17. 对称矩阵（实对称矩阵）

定义

元素均为实数，且满足 AT=AA^T=AAT=A，称AAA为实对称矩阵。

性质

1. 实对称矩阵一定可以相似对角化，特征值全为实数；
2. 不同特征值对应的特征向量相互正交；
3. 存在正交矩阵PPP，使得 PTAP=ΛP^TAP=\LambdaPTAP=Λ（Λ\LambdaΛ为对角阵）。

正交矩阵求解步骤

1. 解∣λE−A∣=0|\lambda E - A|=0∣λE−A∣=0，求出所有特征值；
2. 求解(λE−A)x=0(\lambda E - A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}(λE−A)x=0，得到对应特征向量；
3. 对特征向量做正交化、单位化 ，最后拼接得到正交矩阵PPP。