电机控制Bode图（1）- 测试三环带宽与稳定性判据

摘要

本文面向伺服驱动、FOC 电机控制和闭环步进控制等场景，系统说明如何利用 Bode 图测试电流环、速度环和位置环带宽，并与阶跃估算法进行对比分析；同时给出相位裕度、增益裕度的工程判断依据，并结合 Nyquist 判据说明闭环稳定性的本质。文中不仅给出测试原理，还明确说明了每一类测试的输入是什么、输出是什么、注入点在哪里、测量量是什么，并提供适合工程使用的 MATLAB 画图代码、详细整定案例、流程图与示意图。

1. 引言

在电机控制系统中，常见的级联控制结构是：电流环在最内层，速度环在中间层，位置环在最外层。工程上经常会听到类似说法：

电流环带宽做到 800 Hz ~ 2 kHz；
速度环带宽做到 50 Hz ~ 200 Hz；
位置环带宽做到 10 Hz ~ 50 Hz。

但是，如果没有统一的测试定义，这些"带宽数字"往往并不能直接比较。比如：

有的人说的是闭环 -3 dB 带宽；
有的人说的是开环交越频率；
有的人是根据阶跃上升时间估算出来的"等效带宽"；
有的人只看响应速度，没有看稳定裕度。

因此，在正式测试和调试文档中，需要把以下问题讲清楚：

测的是电流环、速度环还是位置环；
测的是闭环传递函数还是开环频率响应；
输入信号注入在什么地方；
输出采集哪个物理量；
如何根据 Bode 图读出带宽；
如何根据相位裕度、增益裕度判断是否稳定；
为什么 Nyquist 图能从本质上解释"稳定还是不稳定"。

本文围绕上述问题展开，既给原理，也给工程上的实测方法，还会给出三类环路的详细案例，包括：

工作点是多少；
叠加扰动函数怎么写；
采样周期是多少；
扫频频点怎么选；
如何得到测试结果表；
如何把 Bode 法和阶跃法进行对比。

1.1 本章小结

本章说明了写这篇文档的目的：把"带宽测试"和"稳定性判断"从经验调参，变成一套可重复、可比较、可写进报告的标准方法。后文将按"结构定义 → 测试原理 → 测试方法 → 稳定性判据 → 详细案例 → MATLAB 代码"的顺序展开。

2. 闭环结构与测试对象定义

伺服系统或 FOC 系统通常采用三级闭环结构：

对这个结构进行测试时，需要明确：

电流环测试对象：电流给定到电流反馈；
速度环测试对象：速度给定到速度反馈；
位置环测试对象：位置给定到位置反馈。

2.1 本章小结

本章的核心是先把"测谁"定义清楚。只有测试对象定义一致，后面的带宽、相位裕度、增益裕度和 Nyquist 结论才有可比性。

3. Bode 图的物理意义

Bode 图由两部分组成：

幅频特性曲线；
相频特性曲线。

如果输入一个正弦信号：

u(t)=Asin⁡(ωt)(3-1) u(t)=A\sin(\omega t) \tag{3-1} u(t)=Asin(ωt)(3-1)

系统稳定后输出为：

y(t)=Bsin⁡(ωt+φ)(3-2) y(t)=B\sin(\omega t+\varphi) \tag{3-2} y(t)=Bsin(ωt+φ)(3-2)

则频率响应写为：

G(jω)=Y(jω)U(jω)(3-3) G(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{U(j\omega)} \tag{3-3} G(jω)=U(jω)Y(jω)(3-3)

其中：

∣G(jω)∣|G(j\omega)|∣G(jω)∣ 反映输入到输出的幅值跟随能力；
∠G(jω)\angle G(j\omega)∠G(jω) 反映输出相对于输入滞后了多少角度。

工程上常用闭环幅值下降到 -3 dB 的频率定义带宽：

20log⁡10∣T(jωbw)∣=−3 dB(3-4) 20\log_{10}|T(j\omega_{bw})|=-3\text{ dB} \tag{3-4} 20log10∣T(jωbw)∣=−3 dB(3-4)

这个频率越高，通常意味着系统响应越快，但并不代表一定更稳定。因为带宽提高的同时，往往会降低相位裕度和增益裕度。

3.1 本章小结

本章说明了 Bode 图不仅能反映"快不快"，还能反映"稳不稳"。带宽只是一部分信息，谐振峰、相位滞后和高频衰减同样重要。

4. 电流环、速度环、位置环的测试输入与输出

4.1 电流环测试

电流环闭环通常定义为：

Ti(s)=iq(s)iq∗(s)(4-1) T_i(s)=\frac{i_q(s)}{i_q^*(s)} \tag{4-1} Ti(s)=iq∗(s)iq(s)(4-1)

测试时：

输入：在 iq∗i_q^*iq∗ 上叠加小扰动；
输出：采样实际反馈电流 iqi_qiq；
其余条件：速度环、位置环关闭或者冻结；
注入点：电流给定入口；
观测量 ：iq∗i_q^*iq∗ 与 iqi_qiq 的同频分量。

示意如下：

4.2 速度环测试

速度环闭环可定义为：

Tω(s)=ω(s)ω∗(s)(4-2) T_\omega(s)=\frac{\omega(s)}{\omega^*(s)} \tag{4-2} Tω(s)=ω∗(s)ω(s)(4-2)

测试时：

输入：在速度指令 ω∗\omega^*ω∗ 上叠加小扰动；
输出：采样反馈速度 ω\omegaω；
其余条件：电流环必须先闭合稳定，位置环关闭；
注入点：速度给定入口；
观测量 ：ω∗\omega^*ω∗ 和 ω\omegaω。

4.3 位置环测试

位置环闭环可定义为：

Tθ(s)=θ(s)θ∗(s)(4-3) T_\theta(s)=\frac{\theta(s)}{\theta^*(s)} \tag{4-3} Tθ(s)=θ∗(s)θ(s)(4-3)

测试时：

输入：在位置指令 θ∗\theta^*θ∗ 上叠加小扰动；
输出：采样反馈位置 θ\thetaθ；
其余条件：电流环和速度环都已稳定闭合；
注入点：位置给定入口；
观测量 ：θ∗\theta^*θ∗ 和 θ\thetaθ。

4.4本章小结

本章明确了三类环路测试时的输入输出关系。电流环测电流给定到电流反馈，速度环测速度给定到速度反馈，位置环测位置给定到位置反馈。测试时必须保证外层或内层环路状态符合定义，否则测试结果会混入其他环路的影响。

5. Bode 图带宽测试方法

5.1 正弦扫频法

正弦扫频法是最标准、最直观的方法。做法是：

设定一个工作点；
在输入上叠加单频正弦扰动；
采样输入和输出；
计算稳态幅值比和相位差；
频率逐点扫描。

优点：

结果最清楚；
容易做数据表；
容易定位某个频率的异常峰值。

缺点：

测试时间长；
每个频点都要等待稳态。

5.2 Chirp 扫频法

Chirp 是连续扫频信号，例如：

u(t)=Asin⁡(2πf(t)t)(5-1) u(t)=A\sin(2\pi f(t)t) \tag{5-1} u(t)=Asin(2πf(t)t)(5-1)

其中 f(t)f(t)f(t) 随时间逐渐变化。优点是快，缺点是后处理更复杂，对采样同步要求更高。

5.3 PRBS 或随机激励法

PRBS 和随机激励常用于系统辨识和自动化测试。优点是频谱覆盖广，适合自动脚本批量测试；缺点是实现复杂，结果解释门槛更高。

5.4 带宽判定方法

对闭环频响：

先确定低频增益，通常接近 0 dB；
找到幅值首次下降到 -3 dB 的频率；
这个频率就是闭环带宽。

对开环频响：

找到幅值 0 dB 交越频率；
该点用来读取相位裕度；
相位 -180° 处用来读取增益裕度。

5.5 本章小结

本章给出了 Bode 测试的三种常见方法，其中工程上最推荐的是正弦逐点扫频。正式测试报告中，闭环带宽通常以 -3 dB 判定，开环稳定性则看 0 dB 交越和 -180° 相位点。

6. 阶跃估算法测试与 Bode 图对比

6.1 阶跃估算法的基本思想

若系统近似为一阶闭环：

T(s)=1τs+1(6-1) T(s)=\frac{1}{\tau s+1} \tag{6-1} T(s)=τs+11(6-1)

则可利用上升时间 trt_rtr 估算带宽：

fbw≈0.35tr(6-2) f_{bw}\approx\frac{0.35}{t_r} \tag{6-2} fbw≈tr0.35(6-2)

6.2 阶跃估算法适用于什么场景

更适合：

电流环；
近似一阶的速度环；
没有明显机械共振、滤波延时较小的系统。

6.3 阶跃估算法的局限

局限主要有：

看不到共振峰；
看不到高频噪声放大；
无法直接给出 PM、GM；
对多环系统和柔性负载的解释能力较弱。

6.4 Bode 法与阶跃法对比

对比项	Bode 图法	阶跃估算法
是否能测闭环带宽	能	近似能
是否能测 PM/GM	能	不能
是否能看到共振峰	能	不直观
测试速度	中等	快
是否适合正式报告	很适合	适合辅助验证

6.5 本章小结

本章的结论是：阶跃估算法适合快速估算，但不能替代完整频域分析。工程上应以 Bode 图为主，以阶跃法做交叉验证。

7. 相位裕度与增益裕度的判断依据

7.1 相位裕度定义

开环传递函数记为：

L(s)=C(s)P(s)(7-1) L(s)=C(s)P(s) \tag{7-1} L(s)=C(s)P(s)(7-1)

当

∣L(jωc)∣=1(7-2) |L(j\omega_c)|=1 \tag{7-2} ∣L(jωc)∣=1(7-2)

时，定义相位裕度：

PM=180∘+∠L(jωc)(7-3) PM=180^\circ+\angle L(j\omega_c) \tag{7-3} PM=180∘+∠L(jωc)(7-3)

7.2 增益裕度定义

当相位达到 -180° 时，频率记为 ω180\omega_{180}ω180，增益裕度定义为：

GM=1∣L(jω180)∣(7-4) GM=\frac{1}{|L(j\omega_{180})|} \tag{7-4} GM=∣L(jω180)∣1(7-4)

换算成 dB：

GMdB=−20log⁡10∣L(jω180)∣(7-5) GM_{dB}=-20\log_{10}|L(j\omega_{180})| \tag{7-5} GMdB=−20log10∣L(jω180)∣(7-5)

7.3 常用工程判断标准

指标	较危险	常用可接受	较稳健
相位裕度 PM	< 30°	45° ~ 60°	> 60°
增益裕度 GM	< 3 dB	6 ~ 10 dB	> 10 dB

7.4 三个环路的常见裕度建议

电流环：PM 建议 50° ~ 70°，GM 建议 6 ~ 12 dB；
速度环：PM 建议 45° ~ 60°，GM 建议 6 ~ 10 dB；
位置环：PM 建议 > 50°，GM 建议 > 8 dB。

7.5 本章小结

本章给出的是工程上的稳定裕度"判断依据"。带宽高不代表系统就好，只有在 PM、GM 仍有足够余量的情况下，这个带宽才真正可用。

8. Nyquist 判据与稳定性本质

8.1 为什么还要看 Nyquist

Bode 图把系统稳定性拆成了"幅值"和"相位"两条曲线，而 Nyquist 图直接在复平面上看开环频响是否逼近临界点 (−1,0)(-1,0)(−1,0)。

8.2 Nyquist 判据的基本表达

闭环特征方程：

1+L(s)=0(8-1) 1+L(s)=0 \tag{8-1} 1+L(s)=0(8-1)

Nyquist 判据指出：

Z=N+P(8-2) Z=N+P \tag{8-2} Z=N+P(8-2)

其中：

ZZZ 为闭环右半平面零点数；
PPP 为开环右半平面极点数；
NNN 为 Nyquist 曲线对 (−1,0)(-1,0)(−1,0) 的环绕数。

8.3 Bode 裕度和 Nyquist 的关系

可以把 PM、GM 理解为系统在接近 (−1,0)(-1,0)(−1,0) 前的"安全余量"：

PM 描述相位方向离临界点还有多远；
GM 描述增益方向离临界点还有多远。

8.4 Nyquist 图示意

8.5 本章小结

本章从 Nyquist 角度解释了为什么 PM、GM 会成为工程上最常用的稳定性指标。Bode 图是便于读取和调参的表现形式，而 Nyquist 图揭示的是闭环稳定性的本质。

9. 三类环路带宽的典型设计关系

常见设计经验：

电流环带宽通常比速度环高 5 倍到 10 倍；
速度环带宽通常比位置环高 3 倍到 5 倍；
外环带宽不能过于逼近内环，否则级联假设失效。

例如：

环路	典型带宽
电流环	800 Hz ~ 1500 Hz
速度环	80 Hz ~ 150 Hz
位置环	15 Hz ~ 40 Hz

9.1 本章小结

本章说明了多环系统的一个基本原则：内环必须足够快，外环才有稳定工作的基础。实际设计时不要只盯单个环路带宽，而要看三者之间的比例关系。

10. 详细测试流程

10.1 总体测试流程

10.2 电流环测试流程

锁定转子或低速稳态；
关闭速度环和位置环；
设置 q 轴工作点；
在 iq∗i_q^*iq∗ 上注入正弦扫频；
采样 iq∗i_q^*iq∗ 和 iqi_qiq；
计算每个频点的幅值比和相位差。

10.3 速度环测试流程

确认电流环已稳定；
关闭位置环；
设置速度工作点；
在 ω∗\omega^*ω∗ 上注入扫频；
采样 ω∗\omega^*ω∗ 和 ω\omegaω；
绘制速度环 Bode 图。

10.4 位置环测试流程

确认速度环、电流环都稳定；
保证负载安装状态与实际工况一致；
设置位置工作点；
在 θ∗\theta^*θ∗ 上注入小幅扫频；
采样 θ∗\theta^*θ∗ 和 θ\thetaθ；
观察是否出现共振峰。

10.5 本章小结

本章把测试步骤固化成流程。工程上建议按"电流环 → 速度环 → 位置环"的顺序逐层测试，并在每层完成后做一次阶跃验证。

11. MATLAB 画图与分析代码

11.1 电流环模型 Bode 图示例

matlab 复制代码

clear; clc; close all;
s = tf('s');
R = 0.35;
L = 1.2e-3;
Kp_i = 2.5;
Ki_i = 800;
Td = 80e-6;

Pi = 1/(L*s + R);
Ci = Kp_i + Ki_i/s;
Delay = pade(exp(-Td*s),1);
Li = Ci * Pi * Delay;
Ti = feedback(Li,1);

figure; bode(Ti); grid on; title('电流环闭环 Bode 图');
figure; margin(Li); grid on; title('电流环开环裕度图');

11.2 速度环模型 Bode 图示例

matlab 复制代码

clear; clc; close all;
s = tf('s');
J = 2.5e-4;
B = 1.2e-3;
Kt = 0.08;
Kp_w = 0.35;
Ki_w = 8;

Pw = Kt/(J*s + B);
Cw = Kp_w + Ki_w/s;
Lw = Cw * Pw;
Tw = feedback(Lw,1);

figure; bode(Tw); grid on; title('速度环闭环 Bode 图');
figure; margin(Lw); grid on; title('速度环开环裕度图');

11.3 位置环模型 Bode 图示例

matlab 复制代码

clear; clc; close all;
s = tf('s');
Kp_pos = 25;
Tw = tf(2*pi*120,[1 2*pi*120]);
Ppos = 1/s;
Lpos = Kp_pos * Tw * Ppos;
Tpos = feedback(Lpos,1);

figure; bode(Tpos); grid on; title('位置环闭环 Bode 图');
figure; margin(Lpos); grid on; title('位置环开环裕度图');

11.4 Nyquist 图绘制代码

matlab 复制代码

clear; clc; close all;
s = tf('s');
L = 10 / (s*(0.01*s + 1)*(0.002*s + 1));
figure; nyquist(L); grid on; title('Nyquist 图示例');

11.5 根据实验数据画 Bode 图

matlab 复制代码

clear; clc; close all;
f = [20 50 100 200 300 500 700 900 1200 1500];
ain  = [0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2];
aout = [0.200 0.199 0.196 0.188 0.180 0.160 0.146 0.140 0.116 0.089];
phase_deg = [-1 -4 -8 -16 -24 -41 -56 -68 -89 -111];

mag_db = 20*log10(aout ./ ain);
subplot(2,1,1); semilogx(f, mag_db,'o-'); grid on; ylabel('Mag(dB)');
subplot(2,1,2); semilogx(f, phase_deg,'s-'); grid on; ylabel('Phase(deg)'); xlabel('Hz');

11.6 用阶跃响应估算带宽的代码

matlab 复制代码

clear; clc; close all;
s = tf('s');
T = 1/(0.00039/0.35*s + 1);
step(T); grid on;
info = stepinfo(T);
tr = info.RiseTime;
fbw_est = 0.35 / tr;
fprintf('RiseTime = %.6f s\n', tr);
fprintf('Estimated Bandwidth = %.2f Hz\n', fbw_est);

11.7 本章小结

本章提供了可直接使用或改写的 MATLAB 代码，包括模型分析、实验数据作图和阶跃估算。正式项目中建议把这些脚本和测试数据一起归档，便于不同参数版本的横向比较。

12. 详细案例 1：电流环带宽测试与阶跃估算对比

12.1 已知条件

被测对象：某 PMSM q 轴电流环。

参数	数值
相电阻 RRR	0.35 Ω\OmegaΩ
相电感 LLL	1.2 mH
额定电流	10 A
电流环控制周期	100 μs\mu sμs
PWM 频率	10 kHz
PI 参数	Kp=2.5K_p=2.5Kp=2.5，Ki=800K_i=800Ki=800
工作点	iq0=2.0i_{q0}=2.0iq0=2.0 A
扰动幅值	Δi=0.2\Delta i=0.2Δi=0.2 A

叠加扰动函数定义为：

iq∗(t)=2.0+0.2sin⁡(2πft) A(12-1) i_q^*(t)=2.0+0.2\sin(2\pi f t)\ \text{A} \tag{12-1} iq∗(t)=2.0+0.2sin(2πft) A(12-1)

这里 2.0 A 是工作点，0.2 A 是扫频扰动幅值，占额定电流的 2%，属于小信号范围。

采样方案：

采样率 10 kHz；
扫频点选 20、50、100、200、300、500、700、900、1200、1500 Hz；
每个频点采样 10 个周期；
舍弃前 3 个周期，只对后 7 个周期做幅值拟合和相位计算。

12.2 Bode 法结果

测试输入为 iq∗i_q^*iq∗ 中的正弦扰动分量，测试输出为反馈电流 iqi_qiq 的同频分量。结果如下：

频率 Hz	输入幅值 A	输出幅值 A	幅值 dB	相位 deg
20	0.20	0.200	0.00	-1
50	0.20	0.199	-0.04	-4
100	0.20	0.196	-0.17	-8
200	0.20	0.188	-0.54	-16
300	0.20	0.180	-0.92	-24
500	0.20	0.160	-1.94	-41
700	0.20	0.146	-2.73	-56
900	0.20	0.140	-3.10	-68
1200	0.20	0.116	-4.73	-89
1500	0.20	0.089	-7.03	-111

从上表可以读出：

闭环带宽约在 860 ~ 900 Hz；
高频相位滞后逐步增大，但没有出现明显共振峰；
闭环形态接近一阶系统。

进一步根据模型法读取开环裕度：

指标	数值
0 dB 交越频率	980 Hz
相位裕度 PM	58°
增益裕度 GM	9 dB

12.3 阶跃估算法结果

在同一工作点下做阶跃试验：

iq∗:2.0 A→2.5 A i_q^*:2.0\text{ A}\rightarrow 2.5\text{ A} iq∗:2.0 A→2.5 A

记录结果：

指标	数值
上升时间 trt_rtr	0.39 ms
超调量	3.8%
调节时间	0.92 ms
估算带宽 0.35/tr0.35/t_r0.35/tr	897 Hz

可见：

阶跃估算带宽约 897 Hz；
与 Bode 测得的 860 ~ 900 Hz 很接近；
电流环案例中，阶跃估算是比较可靠的。

测试波形示意图

下面给出电流环测试时，输入扰动与输出响应的典型波形关系示意：

说明：

两者频率相同；
iq 相对 iq* 有轻微相位滞后；
在低频区幅值几乎一致，在高频区 iq 幅值会逐步下降。

参数整定建议表

观察现象	当前案例表现	可能原因	调整建议
闭环带宽	860 ~ 900 Hz	PI 参数匹配较合理	当前参数可作为基线版本保留
相位裕度 PM	58°	延时和 PI 配合较好	若追求更快响应，可小幅提高 KpK_pKp 后重新检查 PM
增益裕度 GM	9 dB	高频裕度尚可	若加入额外滤波，应重新评估 GM 是否下降
阶跃超调	3.8%	阻尼较合适	若想进一步降低超调，可略降 KpK_pKp 或略增积分分离
高频相位滞后	900 Hz 后明显增大	采样延时、PWM 延时开始主导	不建议仅靠加大 KiK_iKi 来追求更高带宽

12.4 结论

这个案例的工程意义是：

电流环在结构简单、延时较小的情况下，常可近似为一阶；
Bode 法和阶跃法结果一致性较好；
但正式报告仍建议同时给出 PM 和 GM，因为它们决定这个带宽是否"稳健可用"。

12.5 本章小结

本章通过带有明确工作点、扰动函数、采样方案和结果表的电流环案例，说明了 Bode 图与阶跃估算如何相互验证。对内环而言，带宽和稳定裕度通常都比较容易解释。

13. 详细案例 2：速度环测试与机械共振影响

13.1 已知条件

假设电流环已调好，闭环带宽约 1 kHz。速度环参数如下：

参数	数值
电流环带宽	1 kHz
转矩常数 KtK_tKt	0.08 N·m/A
等效惯量 JJJ	2.5×10−42.5\times10^{-4}2.5×10−4 kg·m2^22
阻尼 BBB	1.2×10−31.2\times10^{-3}1.2×10−3
速度 PI 参数	Kp=0.35K_p=0.35Kp=0.35，Ki=8K_i=8Ki=8
速度工作点	300 rpm
扰动幅值	15 rpm
采样周期	1 ms

叠加扰动函数：

ω∗(t)=300+15sin⁡(2πft) rpm(13-1) \omega^*(t)=300+15\sin(2\pi f t)\ \text{rpm} \tag{13-1} ω∗(t)=300+15sin(2πft) rpm(13-1)

扫频策略：

扫频点：1、2、5、10、20、30、50、80、100、120、150、200 Hz；
每个频点采样 12 个周期；
前 3 个周期舍弃，后 9 个周期用于稳态拟合；
输出采样量为编码器差分速度加一阶低通后的 ω\omegaω。

13.2 Bode 图观察结果

频率 Hz	输入幅值 rpm	输出幅值 rpm	幅值 dB	相位 deg
1	15	15.0	0.00	-1
2	15	15.0	0.00	-2
5	15	14.9	-0.06	-5
10	15	14.7	-0.17	-9
20	15	14.2	-0.48	-18
30	15	13.8	-0.72	-25
50	15	12.9	-1.31	-39
80	15	11.6	-2.24	-61
100	15	10.7	-2.93	-76
120	15	10.1	-3.43	-89
150	15	10.5	-3.10	-113
200	15	7.2	-6.38	-142

观察可得：

闭环带宽约 105 ~ 120 Hz；
150 Hz 附近有轻微峰值回升；
这提示存在机械柔性或滤波延时影响。

开环裕度结果：

指标	数值
0 dB 交越频率	118 Hz
相位裕度 PM	43°
增益裕度 GM	6 dB

13.3 阶跃响应观察结果

阶跃测试设置：

ω∗:300 rpm→330 rpm \omega^*:300\text{ rpm}\rightarrow 330\text{ rpm} ω∗:300 rpm→330 rpm

记录结果：

指标	数值
上升时间 trt_rtr	2.85 ms
超调量	12.0%
调节时间	14.5 ms
估算带宽 0.35/tr0.35/t_r0.35/tr	123 Hz

可以看到：

阶跃估算给出约 123 Hz；
与 Bode 图读出的 105 ~ 120 Hz 接近；
但阶跃法没有直接告诉我们 150 Hz 附近有峰值，也不能说明裕度偏紧。

测试波形示意图

说明：

ω 相对 ω* 的相位滞后比电流环更明显；
在接近带宽附近，输出幅值衰减更明显；
若 150 Hz 附近有轻微峰值，时域中可能表现为轻微振铃。

参数整定建议表

观察现象	当前案例表现	可能原因	调整建议
闭环带宽	105 ~ 120 Hz	速度 PI 已较激进	若系统需要更稳健，优先略降 KpK_pKp
相位裕度 PM	43°	相位余量偏紧	建议优先提升 PM 到 45°~55° 区间
150 Hz 附近峰值	有轻微回升	机械柔性、速度滤波、联轴器弹性	优先检查机械共振和速度滤波截止频率
阶跃超调	12.0%	阻尼不足	可适度降低 KpK_pKp，或在保证低频增益前提下优化 KiK_iKi
调节时间	14.5 ms	内环足够快，但外部机械约束明显	若要缩短调节时间，不建议单纯暴力增大 PI

13.4 结论

这个案例说明：

速度环进入机械系统主导区后，单看阶跃可能会高估可用带宽；
Bode 图能看到机械共振、滤波造成的额外相位滞后；
PM 只有 43°，说明这个速度环已经偏激进，不宜盲目继续加大 PI 增益。

13.5 本章小结

本章通过速度环案例说明：Bode 图相对于阶跃法的优势，在于它能显示"为什么快"以及"快到什么程度开始不安全"。尤其一旦涉及机械共振，频域分析就变得必不可少。

14. 详细案例 3：位置环测试与 Nyquist 稳定性理解

14.1 场景描述

某丝杆平台位置环在电流环和速度环已经稳定的基础上进行测试，参数如下：

参数	数值
电流环带宽	1 kHz
速度环带宽	120 Hz
位置控制器	P 控制
比例增益	25
编码器分辨率	23 bit
位置工作点	0°
扰动幅值	0.5°
采样周期	1 ms

注入函数：

θ∗(t)=0+0.5∘sin⁡(2πft)(14-1) \theta^*(t)=0+0.5^\circ\sin(2\pi f t) \tag{14-1} θ∗(t)=0+0.5∘sin(2πft)(14-1)

扫频参数：

频点：0.5、1、2、5、10、15、20、30、40、50、60 Hz；
每点采样 10 个周期；
位置输出、速度输出、位置误差同步记录；
如果振动明显，立即降低扰动幅值。

14.2 Bode 结果

频率 Hz	输入幅值 deg	输出幅值 deg	幅值 dB	相位 deg
0.5	0.50	0.50	0.00	-1
1	0.50	0.50	0.00	-2
2	0.50	0.49	-0.17	-5
5	0.50	0.48	-0.35	-11
10	0.50	0.46	-0.73	-22
15	0.50	0.44	-1.11	-33
20	0.50	0.41	-1.72	-46
30	0.50	0.36	-2.85	-68
40	0.50	0.34	-3.35	-95
50	0.50	0.37	-2.61	-132
60	0.50	0.28	-5.04	-159

由结果可见：

闭环带宽约 35 ~ 42 Hz；
50 Hz 附近出现峰值回升；
说明该位置环已经受到机械柔性影响。

对应开环裕度：

指标	数值
开环交越频率	31 Hz
相位裕度 PM	28°
增益裕度 GM	4.5 dB

14.3 Nyquist 理解

如果将该开环系统绘制 Nyquist 图，会发现其频响轨迹已经明显逼近 (−1,0)(-1,0)(−1,0) 点。这意味着：

虽然系统还在工作；
但相位和增益余量都不大；
一旦负载刚度下降、速度环额外加滤波、编码器延时增加，Nyquist 轨迹就可能进一步靠近甚至跨过临界点，从而失稳。

因此，该位置环虽然从阶跃上看"速度还可以"，但从 Nyquist 角度看已经不稳健。

14.4 结论

再做一次位置阶跃：

θ∗:0∘→1.0∘ \theta^*:0^\circ\rightarrow 1.0^\circ θ∗:0∘→1.0∘

得到：

指标	数值
上升时间 trt_rtr	8.4 ms
超调量	18.5%
调节时间	42 ms
估算带宽 0.35/tr0.35/t_r0.35/tr	41.7 Hz

这个结果与 Bode 带宽数值接近，但有两个关键差别：

阶跃法看不到 50 Hz 附近峰值；
阶跃法无法直接反映 PM=28°、GM=4.5 dB 的风险。

因此，位置环判断稳定性时必须结合 Nyquist 与 PM/GM，而不能只看上升时间。

测试波形示意图

位置给定与反馈位置在时域中的典型关系可概括为：

位置反馈相位滞后最明显；
在结构峰值附近，波形可能出现局部放大和轻微振荡；
若继续提高位置增益，响应会更快，但振铃和失稳风险也会明显上升。

参数整定建议表

观察现象	当前案例表现	可能原因	调整建议
闭环带宽	35 ~ 42 Hz	位置环增益已较高	不建议继续提高比例增益
相位裕度 PM	28°	稳定边界过近	应优先回退位置环增益，目标 PM 至少 > 45°
增益裕度 GM	4.5 dB	抗参数漂移能力弱	降低位置增益并检查速度环附加延时
50 Hz 峰值	明显存在	机械柔性、丝杆/联轴器弹性	必要时加入陷波或降低外环带宽
阶跃超调	18.5%	阻尼不足、峰值放大	优先降增益，不建议靠微调积分类手段硬压超调

14.5 本章小结

本章的重点不是"位置环带宽有多大"，而是说明：位置环往往最容易在机械柔性和外部负载影响下接近稳定边界。Nyquist 图特别适合解释这类"还能跑，但已经危险"的状态。

15. 测试报告建议写法

15.1 基本信息

建议写清：

电机型号；
驱动器型号；
电源电压；
编码器类型；
控制周期和 PWM 频率。

15.2 测试条件

建议写清：

负载状态；
工作点；
扰动函数；
扰动幅值；
扫频范围；
每个频点采样周期数。

15.3 结果字段

建议统一成如下表格：

环路	输入	输出	工作点	扰动函数	闭环带宽	PM	GM	阶跃估算	备注
电流环	iq∗i_q^*iq∗	iqi_qiq	2.0 A	2.0+0.2sin⁡(2πft)2.0+0.2\sin(2\pi ft)2.0+0.2sin(2πft)	860~900 Hz	58°	9 dB	897 Hz	一致性好
速度环	ω∗\omega^*ω∗	ω\omegaω	300 rpm	300+15sin⁡(2πft)300+15\sin(2\pi ft)300+15sin(2πft)	105~120 Hz	43°	6 dB	123 Hz	150 Hz 有峰值
位置环	θ∗\theta^*θ∗	θ\thetaθ	0°	0+0.5∘sin⁡(2πft)0+0.5^\circ\sin(2\pi ft)0+0.5∘sin(2πft)	35~42 Hz	28°	4.5 dB	41.7 Hz	50 Hz 有结构峰值

15.4 本章小结

本章给出了测试报告的建议模板。好的报告不只是写一个带宽数字，而是要把工作点、扰动函数、采样方案和稳定裕度一起写清楚。

16. 常见误区

把开环交越频率直接等同于闭环带宽；
扫频扰动过大，进入非线性区；
测速度环时没有关闭位置环；
只看阶跃响应，不看 PM、GM 和谐振峰；
位置环盲目追求高带宽，忽略机械柔性。

16.1 本章小结

本章提醒的是：很多测试错误并不是算法问题，而是测试定义不统一、工作点不合理或结论过度简化造成的。避免这些误区，测试结果才真正可信。

17. 推荐调试顺序

推荐顺序：

先调电流环，确保 PM、GM 合理；
再调速度环，控制好机械共振；
最后调位置环，重点看 Nyquist 风险和结构峰值；
每调完一层，都做 Bode 和阶跃双验证。

17.1 本章小结

本章说明了调试顺序必须从内到外。因为外环的控制对象本质上就是"已经闭合的内环"，内环不稳，外环的所有测试结果都会失真。