回文子串（Palindromic Substrings）—— 题解

LeetCode 647：回文子串（Palindromic Substrings）------ 题解 ✅

🔗 题目链接

👉 https://leetcode.cn/problems/palindromic-substrings/

📖 内容概要

给定一个字符串 s，统计并返回 这个字符串中回文子串的数目 。

子串是连续的，回文指正读和反读相同。

✅ 区间 DP

✅ 中心扩展思想的 DP 实现

✅ 面试高频题

💡 解题思路（核心）

一、状态定义

java 复制代码

dp[i][j] = s[i...j] 是否是回文子串

二、状态转移方程（最重要）

java 复制代码

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) {
        dp[i][j] = true;      // "a" 或 "aa"
    } else {
        dp[i][j] = dp[i+1][j-1]; // 依赖内部
    }
}

✅ 外层字符相等

✅ 内部仍是回文

✅ 整体才是回文

三、遍历顺序（关键）

因为 dp[i][j] 依赖 dp[i+1][j-1]：

维度	顺序
i	从大到小
j	从小到大

java 复制代码

for (int i = len - 1; i >= 0; i--)
    for (int j = i; j < len; j++)

✅ 保证子问题先计算完成

✅ AC 代码（Java，基于你的代码）

java 复制代码

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        int res = 0;
        char[] ss = s.toCharArray();
        int len = s.length();

        boolean[][] dp = new boolean[len][len];

        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < len; j++) {
                if (ss[i] == ss[j]) {
                    if (j - i <= 1) {
                        dp[i][j] = true;
                        res++;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) {
                        dp[i][j] = true;
                        res++;
                    }
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

⏱️ 复杂度分析

指标	复杂度
时间复杂度	O(n²)
空间复杂度	O(n²)

🔍 与其他解法的对比

解法	时间复杂度	空间复杂度	特点
中心扩展	O(n²)	O(1)	面试最爱
DP（本题）	O(n²)	O(n²)	易理解
Manacher	O(n)	O(n)	偏竞赛

✅ 一句话总结

区间 DP：两端相等且内部是回文，则整体是回文。

📌 面试加分点（建议记住）

✅ 为什么 i 要从大到小？
✅ 为什么 j - i <= 1 要单独判断？
✅ DP 与中心扩展的本质联系
✅ 如何优化到 O(1) 空间？