2026年第十六届APMCM 亚太地区大学生数学建模竞赛（中文赛项）赛题B题：高性能芯片热管理系统的优化问题完整思路、代码、模型、文章，全网首发高质量分享！

PROBLEM STATEMENT

赛题全文

2026 年第十六届APMCM 亚太地区大学生数学建模竞赛

B题高性能芯片热管理系统的优化问题

随着人工智能、高性能计算、5G/6G 通信以及高功率射频器件的快速发展，

芯片的集成度和功率密度持续提升，散热问题已成为影响芯片性能、使用寿命及

封装可靠性的关键因素 $1$ 。若芯片产生的热量不能及时导出，局部区域易形成

"热点"，从而导致结温升高、性能下降，甚至引发材料热疲劳、界面失效等可

靠性问题 $2$ 。因此，如何在有限空间、有限能耗以及复杂工况条件下实现高效、

稳定且均匀的散热，已成为先进电子封装与热管理领域的重要研究方向。

微通道液冷技术因具有换热能力强、结构紧凑等优点，已广泛应用于高热流

密度芯片的散热 $3$ 。然而，传统直通式微通道在实现高效传热的同时，通常也

伴随着沿程压降较大、出口区域温度偏高以及温度分布不均匀等问题。为改善上

述不足，研究人员提出了歧管式微通道结构：通过流体分配层将较长流道划分为

多个较短流道，以降低流动阻力并改善温度分布；同时，在微通道内设置针肋等

强化传热结构，可进一步增强流体扰动并提升换热性能。

图1 某芯片歧管式微通道热管理系统的结构示意图

某芯片歧管式微通道热管理系统的结构如图1 所示。该系统主要由歧管分配

层、微通道换热层组成（具体结构参数见附件1），冷却介质为去离子水，衬底材

-1-

料为氮化铝。系统的关键结构参数包括：针肋宽度比（针肋直径与通道宽度之比）、

歧管深高比（歧管层与微通道层的深高比）以及单个歧管单元内沿流向的针肋排

数。这些参数将共同影响系统的热阻、压降和温度分布均匀性等性能指标。

请参赛团队运用数学建模方法，研究该芯片歧管式微通道热管理系统的结构

设计与性能优化问题，并完成以下任务：

问题1 结合传热与流动基本机理，建立该芯片热管理系统关键结构参数与

性能指标之间关系的数学模型，分析针肋宽度比、歧管深高比、针肋排数对热阻、

压降和温度非均匀性的影响规律，并说明这三项性能指标作为系统综合评价依据

的合理性。

问题2 基于附件2 给出的样本数据，建立该芯片热管理系统的代理模型，

刻画结构参数与性能指标之间的映射关系，并评估模型的拟合与预测效果。

问题3 在问题2 模型基础上，以热阻、压降和温度非均匀性尽可能小为目

标，建立优化模型，并依据合理准则给出一个综合最优设计方案，确定相应的结

构参数取值。

问题4 考虑不同应用场景下对三项性能指标关注重点的差异，研究指标权

重变化对最优设计方案的影响；进一步给出一个对偏好变化不敏感、稳定性较强

的鲁棒设计方案，并说明其判定依据与优势。

问题5 考虑加工误差及运行工况波动等实际因素，在前述研究基础上分析

关键参数小范围扰动对系统性能的影响，评估设计方案的敏感性与稳定性。

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附录：
1附件：（1）附件1：芯片歧管式微通道热管理系统结构参数说明（2）附件2：不同结构参数下无量纲的热阻、压降和温度非均匀性数据
2参考文献： $1$ Cang D, Dong Z, Lv S, et al. Design and intelligent optimization of TSV-based embedded microchannel heatsinks in 2.5 D Packaging $J$ . International Journal of Heat and Mass Transfer, 2026, 255: 127908. $2$ Zhang J, Sadiqbatcha S, Tan S X D. Hot-trim: Thermal and reliability management for commercial multicore processors considering workload dependent hot spots $J$ . IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, 2022, 42(7): 2290-2302. $3$ He W, Yin E, Zhou F, et al. Integrated manifold microchannels and near-junction cooling for enhanced thermal management in 3D heterogeneous packaging technology $J$ . Energy, 2024, 305: 132263. -3-

问题1 结合传热与流动基本机理，建立该芯片热管理系统关键结构参数与

原赛题要求

问题1 结合传热与流动基本机理，建立该芯片热管理系统关键结构参数与

性能指标之间关系的数学模型，分析针肋宽度比、歧管深高比、针肋排数对热阻、

压降和温度非均匀性的影响规律，并说明这三项性能指标作为系统综合评价依据

的合理性。

问题一完整解答：机理模型与影响规律分析

5.1 附件2第二行表头读取真实字段

问题一的建模切入点是先保证附件2样本字段与题面物理含义一致，因此本文采用"附件2第二行表头读取真实字段"的方式识别数据列。输入对象包括三类结构参数和三项无量纲性能指标，其中结构变量为针肋宽度比、歧管深高比和单个歧管单元内沿流向的针肋排数，响应变量为无量纲热阻、无量纲压降和无量纲温度非均匀性。该处理避免将表格说明行误识别为变量名，使后续机理解释、趋势分析和控制体分解均建立在题面给出的真实参数口径上。

变量与约束由附件1的结构定义和附件2的样本覆盖范围共同限定。本文记针肋宽度比为，歧管深高比为，针肋排数为，三项性能响应分别记为。其中限定在 0 至 0.3，限定在 3 至 4.5，限定在 0 至 10 且按整数处理；热阻、压降和温度非均匀性均采用附件2给出的无量纲结果，不额外改变指标量纲。

三类结构参数到性能指标的关系可先写成统一映射形式，用于承接有限体积守恒降阶模型与等效流阻模型的参数输入。

该表达式中，、和分别代表热阻、压降和温度非均匀性对应的响应函数。其作用不是提前给出完整代理模型，而是明确后续建模中每一项性能指标都由同一组结构变量驱动，并且三项指标共同反映散热能力、流动代价和温度分布差异。

实现步骤上，本文先读取附件2并以第二行作为真实字段名，随后将针肋宽度比、歧管深高比、针肋排数及三项性能指标转为数值型变量；再依据变量边界筛选有效样本，保持针肋排数的离散整数属性；最后将清洗后的字段传入有限体积控制体划分和 Darcy-Forchheimer 等效流阻项计算框架。这样处理能够使数据列名、变量符号和机理模型中的物理量一一衔接，减少由于表头层级或字段错位造成的解释偏差。

与题目要求对应，本文在本问中仅围绕关键结构参数与热阻、压降、温度非均匀性之间的关系建立机理解释框架，不引入题面之外的评价指标。附件1提供结构、物性、入口质量流量、入口温度、出口压力、自然对流和热源强度等固定条件，附件2提供结构参数变化下的无量纲响应样本；二者共同构成问题一分析影响规律的依据。后续趋势图和控制体分解只在上述变量边界内展开，用以说明三类结构参数改变时三项性能指标的变化方向和建模含义。

5.2 以样本中位结构作为基准点

本文在问题一中以样本中位结构作为基准点，将针肋宽度比、歧管深高比和针肋排数统一组织为结构变量，用于刻画局部扰动下三项性能指标的变化方向与变化幅度。该基准点取附件2样本覆盖域的中位结构，即针肋宽度比为0.15、歧管深高比为3.75、针肋排数为6；对应的无量纲热阻、无量纲压降和无量纲温度非均匀性分别为0.7460827017021368、0.10594318511498824和0.7981570443943743。这样处理的目的不是直接给出最优方案，而是在样本中心附近建立可解释的机理响应参照，避免用边界样本代表整体结构影响规律。

为便于后续单因素扰动与控制体分解，本文首先给出变量与约束的统一表示。设针肋宽度比为，歧管深高比为，单个歧管单元内沿流向的针肋排数为，三项性能指标分别记为，对应无量纲热阻、无量纲压降和无量纲温度非均匀性。

其中表示样本中位结构。该定义使几何参数与性能输出在同一映射框架下表达，后续代码只需围绕分别改变，即可得到三类结构参数对三项性能指标的局部趋势。

变量取值不超出附件2样本覆盖范围，且针肋排数按离散整数处理。本文将连续结构参数限定在真实样本边界内，将针肋排数限定为可枚举的整数集合，从而保证问题一中的趋势分析只在已有结构证据支持的范围内展开。
0≤q a≤q 0.3, 3≤q b≤q 4.5, nin{0,1,ldots,10}

上述约束对应附件2中三类结构参数的实际覆盖域。物性参数、入口质量流量、入口温度、出口压力、自然对流换热系数和芯片体热源强度均采用附件1给定口径，在问题一中不作为变化变量，以突出结构参数本身对换热、流阻和温度分布的影响。

在响应关系上，本文以有限体积守恒降阶模型为机理基础，并用二次响应面近似结构变量到三项指标的局部映射。对于任一性能指标，其响应函数写为主效应、平方项和二阶交互项的组合。

该式中的系数由附件2样本数据校准，主效应用于描述单个结构参数的直接影响，平方项用于描述非线性变化，交互项用于吸收针肋阵列与歧管尺度共同改变时产生的耦合效应。热阻项反映等效导热与对流换热阻力，压降项吸收Darcy-Forchheimer等效流阻影响，温度非均匀性项则表征流量分配和局部换热差异。

实现步骤上，本文先按附件2第二行真实表头读取结构参数和三项无量纲指标，再确定中位基准结构，随后在变量约束内对逐一扰动并调用响应函数重算。为度量各控制体或单因素扰动对指标变化的贡献，本文采用局部响应幅度归一化，而不预设固定比例。

式中，表示第类结构扰动对第个性能指标的相对贡献，表示经样本校准后的响应函数。该核算关系直接进入代码求解流程，用于生成趋势分析表和控制体趋势分解结果，使针肋宽度比、歧管深高比和针肋排数的影响方向与相对强弱均可由同一套计算口径得到。

与题目要求对应，本节的基准点设置承担了连接机理模型和影响规律分析的作用：一方面，它固定了附件1中的物性、工况与边界条件，仅考察附件2给出的三类结构参数；另一方面，它为热阻、压降和温度非均匀性提供同一参照结构，使三项指标的变化能够在同一基准下比较。后续关于针肋宽度比、歧管深高比和针肋排数的趋势图与分解表，均以该基准结构为起点展开，从而服务于问题一对结构参数影响规律及三项综合评价指标合理性的建模说明。

5.3 三个结构参数分别在真实边界内扰动

本节围绕三个结构参数分别在真实边界内扰动建立单因素参数变化重算框架，输入对象为附件2中针肋宽度比、歧管深高比、针肋排数及其对应的无量纲热阻、无量纲压降、无量纲温度非均匀性。变量与约束设定为：针肋宽度比记为，歧管深高比记为，单个歧管单元内沿流向的针肋排数记为，三项性能响应记为，其中分别对应热阻、压降和温度非均匀性。为保持模型解释范围与附件2样本覆盖域一致，三类结构参数均只在真实边界内变化，不进行样本范围外推。

参数变化空间按下式限定，并以附件2样本中位结构作为基准设计点：
mathcal{D}={(a,b,n)mid 0≤q a≤q 0.3, 3≤q b≤q 4.5, nin{0,1,ldots,10}}

其中，与按连续变量处理，按有序整数变量处理。单因素重算时仅改变一个结构参数，其余两个参数固定在基准点，从而把结构参数之间的混合影响暂时剥离，便于分别识别针肋宽度比、歧管深高比和针肋排数对三项性能指标的变化方向与变化幅度。

在性能响应表达上，本文采用二次响应面近似有限体积守恒降阶后的结构响应关系。对任一性能指标，其与三类结构参数之间的关系写为：

该式中的一次项刻画结构参数的主导变化方向，平方项刻画边界范围内可能出现的非线性弯曲，交互项保留针肋阵列与歧管几何共同改变换热面积、流动阻力和流量分配时产生的耦合影响。三项性能指标分别建模，使热阻、压降和温度非均匀性能够在同一结构变量空间内进行平行比较。

单因素变化重算通过控制其余变量不变来构造参数剖面函数。以针肋宽度比为例，其对应的三指标变化曲线由下式给出：

这里、、分别表示三类结构参数单独变化时第个性能指标的响应。该处理方式与题目要求对应：题目要求分别分析针肋宽度比、歧管深高比、针肋排数对热阻、压降和温度非均匀性的影响规律，因此本文不把三个参数同时随机变化，而是采用单因素参数变化重算获得可解释的趋势剖面。

为比较不同控制体和不同性能指标中的相对影响幅度，本文将单因素响应幅度归一化为贡献量。对结构参数和性能指标，贡献度定义为：

其中，表示参数在真实边界内引起的性能响应幅度，用于衡量该参数在同一性能指标下的相对贡献。该定义不预设固定贡献比例，而是由附件2样本校准后的响应面在真实边界内计算得到，使控制体热流与压降分解能够直接服务于结构影响规律解释。

实现步骤上，本文首先按附件2第二行表头读取真实字段，并将三类结构参数和三项无量纲性能指标统一转换为数值型；随后以为基准点，在内分别生成针肋宽度比、歧管深高比和针肋排数的单因素变化序列；接着调用三项二次响应面模型逐点重算热阻、压降和温度非均匀性；最后计算各参数对应的变化幅度与归一化贡献，并形成趋势矩阵和控制体分解结果。该流程把附件1给定的物性参数、入口质量流量、入口温度、出口压力、自然对流边界和体热源强度作为固定工况背景，把附件2样本覆盖范围作为适用边界，从而使本节模型既保留传热与流动机理解释，又能直接支撑问题一对三类结构参数影响规律的分析。

5.4 最优站点规模、覆盖关系与利润满意度结果

本文得到的关键指标结果表明，在针肋宽度比0---0.3、歧管深高比3---4.5、针肋排数0---10的样本覆盖范围内，三类结构参数对热阻、压降和温度非均匀性的作用方向并不完全一致。以针肋宽度比0.15、歧管深高比3.75、针肋排数6作为基准设计时，无量纲热阻为0.7461，无量纲压降为0.1059，无量纲温度非均匀性为0.7982。单因素重算结果显示，针肋宽度比对热阻和温度非均匀性存在先改善后转弱的区间效应，歧管深高比主要表现为降低压降但略增热阻，针肋排数增加能够在中等排数附近降低热阻，但同时带来压降上升和温度分布劣化。

表5-1 三指标趋势分析表

变化参数	参数值	热阻	热阻相对基准	压降	压降相对基准	温度非均匀性	温度非均匀性相对基准	局部趋势
针肋宽度比	0.0	0.7704088484102909	1.0326051611338203	0.09789602650331453	0.9240426970084058	0.8507970339562847	1.0659519200282854	基准
针肋宽度比	0.0375	0.7621348891800717	1.0215152923949489	0.09734990501564073	0.918887844555357	0.8315255445054602	1.041806935546632	下降
针肋宽度比	0.075	0.755322544985306	1.012384475959688	0.0985090576216951	0.92982911090294	0.816328383094867	1.0227666207147	下降
针肋宽度比	0.11249999999999999	0.7499718158259946	1.0052127118280387	0.10137348432147757	0.956866496051154	0.8052055497245051	1.0088309755324893	下降
针肋宽度比	0.15	0.7460827017021368	1.0	0.10594318511498824	1.0	0.7981570443943743	1.0	下降
针肋宽度比	0.1875	0.7436552026137326	0.996746340475572	0.11221816000222702	1.0592296227494773	0.7951828671044749	0.9962736941172322	下降
针肋宽度比	0.22499999999999998	0.7426893185607822	0.9954517332547548	0.12019840898319399	1.1345553642995863	0.7962830178548067	0.9976520578841855	下降
针肋宽度比	0.2625	0.7431850495432857	0.9961161783375485	0.12988393205788912	1.225977224650327	0.8014574966453697	1.0041350913008602	上升

该表汇总本问模型输出的核心计算结果，正文需要直接回扣模型参数、求解结果、约束响应、评价指标或方案比较等提交项，并核对单位口径与求解结果是否一致；其中，该表包含 24 条预览记录，字段包括变化参数、参数值、热阻、热阻相对基准、压降，这一信息直接用于核对本问的指标口径、曲线含义与结论落点。

结果表格给出了三类参数逐点变化下的响应值和相对基准变化。针肋宽度比由0增至0.225时，热阻由0.7704降至0.7427，温度非均匀性由0.8508降至0.7963；继续增至0.3时，热阻回升至0.7451，温度非均匀性升至0.8107，同时压降由0.0979增至0.1413，说明过大的针肋截面会增加流动阻力。歧管深高比由3增至4.5时，压降由0.1358降至0.0903，但热阻由0.7337升至0.7507，表明歧管加深有利于减小流动损失，却削弱部分换热强化效果。针肋排数由0增至8时热阻降至0.7450，而压降由0.0758升至0.1106；增至10排后温度非均匀性升至0.8183，表明阵列强化换热存在适用边界。
图5-1 三结构参数三指标趋势矩阵图

图中三列分别给出热阻、压降和温度非均匀性相对基准随参数序号变化。热阻子图中针肋宽度比由约1.033持续降至低于1后略回升，歧管深高比则由低于1逐步升至约1.006；压降对子图中歧管深高比单调下降，而针肋宽度比后段明显上升，针肋排数也由约0.72升至约1.06。

代表性图像中的三结构参数三指标趋势矩阵呈现出上述非线性变化：针肋宽度比曲线在中等取值附近形成热阻低谷，歧管深高比曲线在压降方向持续下降，而针肋排数曲线在压降方向随排数增加而抬升。这说明三项性能指标之间存在明确制衡关系，不能仅依据单一散热指标判断结构优劣。结构参数覆盖域散点结果则限定了模型解释的适用范围，即本文只在附件2真实样本覆盖区间内讨论趋势，不对样本边界之外作外推判断。
图5-2 控制体热流与压降分解示意图

柱状图以归一化贡献为纵轴，对比三类控制体项的热阻贡献和压降贡献。针肋截面与换热面积项的热阻贡献最高，约接近0.48，压降贡献约0.35；歧管流量分配项压降贡献最高，约0.36，高于其热阻贡献；阵列强化换热与惯性阻力项两类贡献均较低。

控制体分解结果进一步解释了变量驱动机制。对热阻贡献而言，针肋截面与换热面积项的归一化贡献为0.4783，高于歧管流量分配项的0.2931和阵列强化换热与惯性阻力项的0.2286，说明针肋宽度比是影响换热能力的主要结构变量。对压降贡献而言，歧管流量分配项贡献为0.3610，针肋截面项贡献为0.3483，针肋排数项贡献为0.2908，说明压降同时受歧管流通空间和针肋局部阻塞控制，其中歧管深高比对降低整体流阻具有直接作用。

表5-2 控制体分解表

贡献项	对应参数	热阻贡献原始幅度	压降贡献原始幅度	热阻贡献	压降贡献
针肋截面与换热面积项	针肋宽度比	0.02771952984950865	0.04392482421067162	0.47826016538499583	0.3482549294753895
歧管流量分配项	歧管深高比	0.016990559882523848	0.045528351488852245	0.2931473954831008	0.3609683845479993
阵列强化换热与惯性阻力项	针肋排数	0.01324901256367017	0.03667518744192509	0.22859243913190333	0.29077668597661127

该表汇总本问模型输出的核心计算结果，正文需要直接回扣模型参数、求解结果、约束响应、评价指标或方案比较等提交项，并核对单位口径与求解结果是否一致；其中，该表包含 3 条预览记录，字段包括贡献项、对应参数、热阻贡献原始幅度、压降贡献原始幅度、热阻贡献，这一信息直接用于核对本问的指标口径、曲线含义与结论落点。

题目关键输出可以概括为三点：第一，本文建立了结构参数到无量纲热阻、无量纲压降和无量纲温度非均匀性的二次响应面关系，用于表达有限体积守恒降阶后的性能响应；第二，针肋宽度比、歧管深高比和针肋排数分别对应换热面积、流量分配和阵列阻力强化三类机理，形成不同方向的性能变化；第三，热阻反映散热能力，压降反映泵功代价，温度非均匀性反映芯片热可靠性，三者共同构成评价歧管式微通道热管理系统结构设计的必要性能指标。
图5-3 结构参数覆盖域散点图

散点图横轴为针肋宽度比，覆盖0、0.10、0.15、0.20、0.30等节点，纵轴为歧管深高比，覆盖3.0、3.5、4.0、4.5。颜色表示热阻，低深高比3.0多为黄色、热阻较低，4.0和4.5层多为深红，热阻接近色标上端，显示样本覆盖矩形参数域。

问题2 基于附件2 给出的样本数据，建立该芯片热管理系统的代理模型，

原赛题要求

问题2 基于附件2 给出的样本数据，建立该芯片热管理系统的代理模型，

刻画结构参数与性能指标之间的映射关系，并评估模型的拟合与预测效果。

问题二完整解答：代理模型建立与评估

6.1 附件2真实字段并标准化列名

问题二以附件2真实字段并标准化列名作为代理模型建模的首要步骤，其目的在于将题面给出的结构参数---性能指标样本整理为可直接进入回归建模的数据矩阵。附件2中的输入字段对应针肋宽度比、歧管深高比和单个歧管单元内沿流向的针肋排数，输出字段对应无量纲热阻、无量纲压降和无量纲温度非均匀性。本文在读取原始电子表格时保留题面字段含义，只对列名空格、符号差异和中英文表达进行统一，避免后续特征构造中因字段名称不一致造成变量错配。

变量与约束的设定围绕三类结构参数和三项性能指标展开。令第个样本的结构变量为针肋宽度比、歧管深高比、针肋排数，相应性能响应为无量纲热阻、无量纲压降和无量纲温度非均匀性，则数据入口可统一表示为：

其中，与作为连续结构变量处理，保留为具有物理含义的整数编码；三项输出均为无量纲性能指标，不再引入额外量纲换算。约束上，本文仅在附件2样本覆盖的变量范围内建立代理关系，缺失值、非数值字段和重复记录需在进入模型前完成核查，针肋排数不得被误处理为无约束连续变量。

实现步骤上，本文首先读取附件2原始表头，识别其中与题目一致的六个核心字段；随后将字段统一为结构参数列和性能指标列两组，使数据矩阵的输入、输出边界清晰。标准化列名并不改变原始数据值，而是将"针肋宽度比""歧管深高比""针肋排数""无量纲热阻""无量纲压降""无量纲温度非均匀性"等真实含义固定下来，为后续构造二次项、交互项和多输出响应面提供一致的数据接口。

该预处理步骤与题目要求对应在于，问题二要求基于附件2建立芯片热管理系统代理模型，并刻画结构参数与性能指标之间的映射关系。若不先完成真实字段识别和列名标准化，后续二次响应面岭回归中的主效应项、平方项和交互项将缺乏稳定的变量来源，模型评价中的真实值与预测值也无法一一对应。因此，本节的核心作用是形成可复核的数据入口，而完整的代理模型公式、正则化求解和评价指标计算将在后续建模与评估小节中展开。

6.2 构造二次与交互项特征

本节以附件2中的84组结构参数---性能指标样本为输入对象，围绕"构造二次与交互项特征"建立代理模型的自变量表达。设针肋宽度比、歧管深高比、单个歧管单元内沿流向的针肋排数分别为，三类输出指标分别为无量纲热阻、无量纲压降和无量纲温度非均匀性。二次响应面并不直接改变原始物理含义，而是在原有三个结构变量基础上补充平方项和两两交互项，使模型能够表达单一参数的弯曲效应以及参数组合对热流动性能的耦合影响。

为避免不同变量量纲和取值跨度影响岭回归系数估计，本文先在附件2样本覆盖范围内对连续结构变量进行归一化处理，并保留针肋排数的有序离散含义。变量与约束写为：

其中与均取自附件2样本字段的最小值和最大值；针肋排数在建模阶段作为数值变量进入二次项与交互项，但在后续调用代理模型时仍限定为附件2所覆盖的整数取值或其允许的整数编码范围。该处理保证代理模型仅在题面给出的结构参数区间内使用，避免由样本外推造成不可靠响应。

在完成变量归一化后，本文构造包含常数项、一次项、平方项和二阶交互项的特征向量，作为岭回归的统一输入。对应的特征展开为：

\boldsymbol{\phi}(a,b,n)=\left(1,\tilde{a},\tilde{b},\tilde{n},\tilde{a}^{2},\tilde{b}^{2},\tilde{n}^{2},\tilde{a}\tilde{b},\tilde{a}\tilde{n},\tilde{b}\tilde{n}\right)^{\mathsf{T}}

该特征结构中，用于刻画结构参数变化过程中可能出现的非线性弯曲趋势；用于刻画针肋尺寸、歧管几何和排数之间的组合影响。与题目要求对应，这一映射形式直接面向"结构参数到热阻、压降、温度非均匀性"的代理表达，而不是只建立单因素经验关系。

对每一个性能输出，本文采用相同的二次响应面结构分别建模，使三项指标具有一致的输入特征口径，同时允许不同输出拥有各自的回归系数。其预测函数写为：

\hat{y}k=\beta{k0}+\beta_{k1}\tilde{a}+\beta_{k2}\tilde{b}+\beta_{k3}\tilde{n}+\beta_{k4}\tilde{a}^{2}+\beta_{k5}\tilde{b}^{2}+\beta_{k6}\tilde{n}^{2}+\beta_{k7}\tilde{a}\tilde{b}+\beta_{k8}\tilde{a}\tilde{n}+\beta_{k9}\tilde{b}\tilde{n}

其中分别对应无量纲热阻、无量纲压降和无量纲温度非均匀性。三输出分别回归的设置便于后续解释各性能指标对同一结构变量组合的响应差异，也便于在模型评估阶段分别计算拟合误差与预测误差。

考虑附件2样本量有限，直接最小二乘拟合包含二次项和交互项的响应面可能使系数受局部样本波动影响较大，本文在系数估计中引入岭正则项。对第个输出，优化准则为：

式中，为正则化强度，常数项不纳入惩罚项。该目标函数在保留二次响应面可解释性的同时抑制过大的高阶项系数，使构造出的交互特征能够服务于总体映射关系，而不是仅追随少量样本点的局部误差。

实现步骤上，本文先读取附件2并统一字段名称，将三类结构参数和三项无量纲性能指标转为数值型；随后依据样本范围生成归一化变量，并按固定顺序拼接十维二次响应面特征矩阵；再对热阻、压降和温度非均匀性分别调用岭回归求解系数；最后在预测阶段对输出进行边界裁剪，避免代理模型在邻近边界处产生非物理负值。该过程形成可复核的"原始结构参数---二次交互特征---三输出代理响应"计算链条，为本问题后续的拟合效果评价、预测效果评价以及结构参数映射关系表提供统一的数据基础。

6.3 热阻、压降、温度非均匀性分别做岭回归

问题二的代理模型以附件2中84组结构参数与无量纲性能指标样本为数据基础，输入变量取针肋宽度比、歧管深高比和单个歧管单元内沿流向的针肋排数，分别记为，输出变量分别为无量纲热阻、无量纲压降和无量纲温度非均匀性。为保持模型解释性并刻画非线性耦合作用，本文对热阻、压降、温度非均匀性分别做岭回归，而不是将三项指标强行合并为单一输出；这样既能保留各性能指标对结构参数响应强弱的差异，又便于后续直接读取每个指标的代理表达式。

变量与约束首先体现在特征构造中。二次响应面将主效应、平方项和两两交互项同时纳入回归，结构变量经统一数值化处理后形成特征向量：
boldsymbol{phi}(a,b,n)=(1,a,b,n,a^2,b^2,n^2,ab,an,bn)^{mathrm T}

其中，和按附件2样本覆盖范围取值，保持针肋排数的整数含义；模型调用时不越出附件2给定结构参数范围，从而避免代理模型在缺乏样本支撑区域内外推。该约束使代理模型的输入空间与题目给定结构设计空间一致，也保证了由模型得到的映射关系仍对应芯片歧管式微通道热管理系统的实际参数含义。

对任一性能指标，二次响应面代理模型写为特征向量与回归系数的线性组合：
hat y_k(a,b,n)=boldsymbol{phi}(a,b,n)^{mathrm T}boldsymbol{β}_k, kin{R,Delta p,Theta}

式中，、、分别表示无量纲热阻、无量纲压降和无量纲温度非均匀性，为对应指标的响应面系数。平方项用于描述单个结构参数变化引起的弯曲响应，交互项用于描述针肋宽度比、歧管深高比与针肋排数之间的耦合影响，因此该表达式能够直接形成题目要求的"结构参数到三项性能指标"的映射关系。

由于附件2样本量有限，普通最小二乘在二次项和交互项同时进入时可能放大系数波动，本文对三个输出分别引入岭惩罚。对第个输出，其系数由下式确定：

\boldsymbol{\beta}k=\arg\min{\boldsymbol{\beta}}\left\{\sum_{i=1}^{m}\left(y_{ik}-\boldsymbol{\phi}i^{\mathrm T}\boldsymbol{\beta}\right)^2+\lambda\sum{j=1}^{9}\beta_j^2\right\}

其中，，为正则化强度，常数项不参与惩罚。该目标函数在保留二次响应面结构的同时压缩高阶项和交互项的过度摆动，使模型更适合小样本代理建模。实现步骤上，程序先读取附件2并统一字段名称，再构造上述二次特征矩阵，随后按三项指标分别训练岭回归模型，最后保存系数、预测值、残差和误差指标，用于评价拟合效果与预测效果。

为避免二次多项式在边界附近产生非物理输出，本文在预测阶段对代理输出进行有界处理。设第项指标在附件2样本中的取值范围为，则最终用于评价和后续计算的预测值为：

该处理不改变岭回归系数的估计过程，只在模型调用时限制预测值落入样本所支撑的物理区间。由此，当前小节建立的三个有界二次响应面岭回归模型分别对应题目要求中的三项核心性能指标，输出的系数表体现结构参数映射关系，预测值与残差用于刻画模型拟合误差，交叉评估中的、RMSE、MAE 和 MAPE 则用于说明代理模型对未知样本的预测能力。

6.4 核心结果、图表证据与题目响应

基于附件2的84组样本，本文建立的有界二次响应面岭回归代理模型能够同时给出针肋宽度比、歧管深高比、针肋排数到无量纲热阻、无量纲压降和无量纲温度非均匀性的映射。5折交叉验证结果表明，压降预测精度最高，决定系数均值为0.9572，RMSE为0.00539，MAE为0.00442，MAPE为4.02%；热阻决定系数均值为0.7117，RMSE为0.00572，MAE为0.00481，MAPE为0.64%；温度非均匀性决定系数均值为0.6616，RMSE为0.01002，MAE为0.00819，MAPE为1.01%。因此，模型对压降的结构响应刻画最充分，对热阻和温度非均匀性也能保持较小的绝对误差，适合作为后续结构设计计算中的三输出代理函数。

表6-1 代理模型评估结果表

指标	决定系数均值	决定系数标准差	均方根误差	平均绝对误差	平均绝对百分误差
压降	0.9572263752083213	0.015870972337338935	0.005388779346723613	0.004424923704370322	0.04021820052743964
温度非均匀性	0.6615967263012552	0.10784037483124535	0.010017271541205738	0.008186784799101603	0.01005633077273484
热阻	0.7117392699634543	0.06056905828113768	0.005720696466345909	0.004814378125715188	0.006443054922978819

该表汇总本问模型输出的核心计算结果，正文需要直接回扣模型参数、求解结果、约束响应、评价指标或方案比较等提交项，并核对单位口径与求解结果是否一致；其中，该表包含 3 条预览记录，字段包括指标、决定系数均值、决定系数标准差、均方根误差、平均绝对误差，这一信息直接用于核对本问的指标口径、曲线含义与结论落点。

核心结果表给出了三项性能指标的决定系数均值、决定系数标准差、RMSE、MAE和MAPE，能够同时反映拟合解释能力与预测误差尺度。压降的决定系数标准差仅为0.0159，说明不同折次下预测表现较集中；热阻的决定系数标准差为0.0606，温度非均匀性为0.1078，表明二者受样本划分影响更明显。尽管温度非均匀性的决定系数低于压降和热阻，但其MAPE约为1.01%，说明模型在数值偏差上仍处于较低水平；热阻的MAPE约为0.64%，进一步说明该指标虽然解释方差有限，但预测值与真实值之间的相对偏离较小。
图6-1 三输出预测值真实值散点图

图中三幅校准散点图均以横轴真实值、纵轴预测值展示，虚线为理想一致线。压降点云最贴近虚线，说明拟合一致性最好；热阻在0.74附近有轻微离散，温度非均匀性在高值区略低估。结合样本量84和交叉验证R2均值0.9572，二次响应面岭回归代理总体精度较高。

预测值与真实值散点中，压降样本点基本沿一致线排列，说明二次响应面能够较好捕捉压降随结构参数变化的主导规律；热阻散点也围绕一致线分布，但在局部区间存在轻微离散，反映出热阻响应中仍有部分非线性细节未被二次项完全吸收；温度非均匀性散点的离散程度相对更高，与其较低的决定系数相一致。残差分布进一步表明，三项输出的误差总体围绕零值展开，其中热阻和压降残差主要集中在约±0.01附近，温度非均匀性残差范围相对更宽，因而在解释温度场均匀性时应更重视趋势判断而非单点精确预测。
图6-2 二次响应面主效应函数图

三幅主效应图分别给出针肋宽度比、歧管深高比和针肋排数对热阻、压降、温度非均匀性的影响。蓝色热阻曲线整体较平缓，橙色压降数值最低但随宽度比和排数上升而增加、随深高比下降，绿色温度非均匀性整体最高，随排数上升较明显。

主效应函数给出了结构参数变化对三项输出的直接影响方向。针肋宽度比增加时，热阻与温度非均匀性先下降后略有回升，而压降呈上升趋势，说明增大针肋尺度有利于改善换热与温度分布，但会提高流动阻力；歧管深高比增加时，压降下降较明显，热阻变化较小，温度非均匀性略有降低后趋于平缓，体现出歧管几何主要通过改善流动分配影响压降；针肋排数增加时，压降逐步升高，温度非均匀性也略有上升，热阻变化幅度较小，说明增加排数会强化流道阻塞效应，其热性能收益并不总能抵消流动代价。
图6-3 代理模型残差分布图

三幅残差直方图分别对应热阻、压降和温度非均匀性，横轴为残差，柱形主要集中在零附近。热阻残差大多落在约-0.01至0.01范围内，压降残差也围绕零分布但右侧有少量正残差，温度非均匀性残差范围更宽，约从-0.02延伸到0.02以上。

从代理模型系数看，针肋宽度比的平方项在热阻、压降和温度非均匀性中的系数均为正，分别为0.5197、0.6063和1.4486，说明宽度比对三项性能存在明显二次响应；针肋宽度比的一次项在三项输出中均为负，反映低宽度比区间内增大宽度具有降低预测输出的趋势，但平方项使其在较大宽度比处出现回升。结构参数映射关系表、预测值与真实值对比表、残差明细和代理模型参数共同构成题目要求的关键输出：既给出了可调用的代理模型，也给出了三类结构参数到三项无量纲性能指标的定量映射，并用评价指标和误差图像说明模型在附件2样本范围内的预测能力与适用边界。

表6-2 结构参数映射关系表

基函数	热阻	压降	温度非均匀性
常数	0.6087805103131563	0.3905133765095476	1.257148419918266
针肋宽度比	-0.04603244836374448	-0.24962366415062603	-0.8339481120521888
歧管深高比	0.06777964397876693	-0.12487508332136611	-0.1931589905180461
针肋排数	0.00048759512098957584	0.0017993463858994635	-0.0060805153478752545
宽度平方	0.5196853459391191	0.6063196777700094	1.4486499698600013
深高平方	-0.006911877232964786	0.012658034518022962	0.02232380822726598
排数平方	0.0001876500219656602	-0.0003404111776101691	0.0003565453312938054
宽度深高	-0.02181812139654449	-0.0011837568074040295	0.062488997870577975

该表汇总本问模型输出的核心计算结果，正文需要直接回扣模型参数、求解结果、约束响应、评价指标或方案比较等提交项，并核对单位口径与求解结果是否一致；其中，该表包含 10 条预览记录，字段包括基函数、热阻、压降、温度非均匀性，这一信息直接用于核对本问的指标口径、曲线含义与结论落点。

问题3 在问题2 模型基础上，以热阻、压降和温度非均匀性尽可能小为目

原赛题要求

问题3 在问题2 模型基础上，以热阻、压降和温度非均匀性尽可能小为目

标，建立优化模型，并依据合理准则给出一个综合最优设计方案，确定相应的结

构参数取值。

问题三图表结果：多目标优化与综合最优方案

关键图表与结果

表7-1 变量边界与归一化区间表

变量	下界	上界	类型
针肋宽度比	0.0	0.3	连续
歧管深高比	3.0	4.5	连续
针肋排数	0.0	10.0	整数

图7-1 增强切比雪夫综合评分等值图

图7-1 增强切比雪夫综合评分等值图

表7-2 综合最优设计方案表

针肋宽度比	歧管深高比	针肋排数	热阻	压降	温度非均匀性	热阻归一	压降归一	温度非均匀性归一	非支配	增强切比雪夫评分
0.1411764705882353	3.0	1	0.7418940118835133	0.11259433393960626	0.8149001792212398	0.3031454990103938	0.323701773390873	0.29832370890398513	True	0.12086268628727104

图7-2 近优候选平行坐标图

图7-2 近优候选平行坐标图

表7-3 非支配候选与综合评分表

针肋宽度比	歧管深高比	热阻	压降	温度非均匀性	热阻归一	压降归一	温度非均匀性归一	非支配	增强切比雪夫评分
0.12352941176470589	3.0	0.7440707934068775	0.10778803103020061	0.8208319869034951	0.3399420538190199	0.28633623734628005	0.3534621104566563	True	0.13378116263718243
0.15	3.0	0.7448824455533976	0.10547638977155542	0.8142081789653034	0.35366231116887326	0.26836489504843136	0.29189130414135034	True	0.1380329780860827
0.1764705882352941	3.9705882352941178	0.7617086919292119	0.0709568	0.7838730832362354	0.6380950345935964	0.0	0.00991508727045449	True	0.23785831830591378
0.18529411764705883	3.8823529411764706	0.7613624345838922	0.0709568	0.7838816097437235	0.632241862261789	0.0	0.009994344390526827	True	0.2356782584948431
0.18529411764705883	3.9264705882352944	0.7617931659746289	0.0709568	0.7835614273388491	0.6395229931685521	0.0	0.007018127534597517	True	0.23835995759371578
0.18529411764705883	3.9705882352941178	0.7621969912688702	0.0709568	0.7833281455715376	0.6463493004544093	0.0	0.004849685054673935	True	0.24088067104238697
0.18529411764705883	4.014705882352941	0.7625739104666167	0.0709568	0.7831817644417892	0.65272078411937	0.0	0.003489016950759175	True	0.24324039884086018
0.19411764705882353	3.8823529411764706	0.7619486402137979	0.0709568	0.7835135898095545	0.6421511468447522	0.0	0.0065734595613886095	True	0.23933453863974924

图7-3 非支配候选点三目标平行坐标图

result table

针肋宽度比	歧管深高比	针肋排数	热阻	压降	温度非均匀性	热阻归一	压降归一	温度非均匀性归一	非支配	增强切比雪夫评分
0.1411764705882353	3.0	1	0.7418940118835133	0.11259433393960626	0.8149001792212398	0.3031454990103938	0.323701773390873	0.29832370890398513	True	0.12086268628727104

候选设计库

歧管深高比	热阻	压降	温度非均匀性	热阻归一	压降归一	温度非均匀性归一	非支配	增强切比雪夫评分
3.0	0.749912547152774	0.12981043720765592	0.8785857224095216	0.43869170305215105	0.4575445501228319	0.8903049802995467	False	0.28741199198792805
3.0441176470588234	0.7510597579536872	0.12767653572910134	0.8760166959126656	0.4580842808831173	0.4409550063268082	0.8664249049210342	False	0.2800441594923974
3.088235294117647	0.7521800626581053	0.1255919086063695	0.8735345700533723	0.47702203509318325	0.42474853508223887	0.8433526039185263	False	0.27292596872635516
3.1323529411764706	0.7532734612660285	0.12355655583946044	0.8711393448316421	0.49550496568234886	0.40892513638912414	0.8210880772920273	False	0.2660574196898026
3.176470588235294	0.7543399537774563	0.12157047742837412	0.8688310202474746	0.5135330726506104	0.3934848102474639	0.7996313250415329	False	0.25943851238273846
3.2205882352941178	0.7553795401923892	0.11963367337311055	0.8666095963008702	0.5311063559979715	0.3784275566572581	0.7789823471670474	False	0.253069246805164
3.264705882352941	0.7563922205108269	0.11774614367366974	0.8644750729918285	0.5482248157244305	0.36375337561850685	0.7591411436685666	False	0.24694962295707795
3.3088235294117645	0.7573779947327696	0.11590788833005171	0.8624274503203498	0.5648884518299891	0.34946226713121026	0.7401077145460946	False	0.24107964083848163

非支配候选库

针肋宽度比	歧管深高比	热阻	压降	温度非均匀性	热阻归一	压降归一	温度非均匀性归一	非支配	增强切比雪夫评分
0.12352941176470589	3.0	0.7440707934068775	0.10778803103020061	0.8208319869034951	0.3399420538190199	0.28633623734628005	0.3534621104566563	True	0.13378116263718243
0.15	3.0	0.7448824455533976	0.10547638977155542	0.8142081789653034	0.35366231116887326	0.26836489504843136	0.29189130414135034	True	0.1380329780860827
0.1764705882352941	3.9705882352941178	0.7617086919292119	0.0709568	0.7838730832362354	0.6380950345935964	0.0	0.00991508727045449	True	0.23785831830591378
0.18529411764705883	3.8823529411764706	0.7613624345838922	0.0709568	0.7838816097437235	0.632241862261789	0.0	0.009994344390526827	True	0.2356782584948431
0.18529411764705883	3.9264705882352944	0.7617931659746289	0.0709568	0.7835614273388491	0.6395229931685521	0.0	0.007018127534597517	True	0.23835995759371578
0.18529411764705883	3.9705882352941178	0.7621969912688702	0.0709568	0.7833281455715376	0.6463493004544093	0.0	0.004849685054673935	True	0.24088067104238697
0.18529411764705883	4.014705882352941	0.7625739104666167	0.0709568	0.7831817644417892	0.65272078411937	0.0	0.003489016950759175	True	0.24324039884086018
0.19411764705882353	3.8823529411764706	0.7619486402137979	0.0709568	0.7835135898095545	0.6421511468447522	0.0	0.0065734595613886095	True	0.23933453863974924

问题4 考虑不同应用场景下对三项性能指标关注重点的差异，研究指标权

原赛题要求

问题4 考虑不同应用场景下对三项性能指标关注重点的差异，研究指标权

重变化对最优设计方案的影响；进一步给出一个对偏好变化不敏感、稳定性较强

的鲁棒设计方案，并说明其判定依据与优势。

问题四图表结果：权重变化与鲁棒设计

关键图表与结果

表8-1 不同指标权重设置方案表

权重场景	热阻权重	压降权重	温度非均匀性权重
均衡场景	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
散热优先	0.58	0.22	0.2
压降优先	0.2	0.6	0.2
均匀性优先	0.22	0.2	0.58
散热压降折中	0.45	0.42	0.13
散热均匀性折中	0.44	0.14	0.42
低能耗可靠折中	0.14	0.43	0.43

图8-1 候选设计近优频率与评分波动散点图

图8-1 候选设计近优频率与评分波动散点图

表8-2 权重变化下最优方案变化表

针肋宽度比	歧管深高比	针肋排数	热阻	压降	温度非均匀性	权重场景	场景评分
0.1764705882352941	4.1911764705882355	1	0.7598030891498422	0.07111581602206642	0.7842499972986152	均衡场景	0.20684579878519965
0.20294117647058824	3.0	7	0.7300226178400736	0.14981719758060177	0.8152547063821312	散热优先	0.25463470684095424
0.1764705882352941	4.1911764705882355	1	0.7598030891498422	0.07111581602206642	0.7842499972986152	压降优先	0.12460197319014124
0.18529411764705883	4.0588235294117645	1	0.7592247835058203	0.0738639827094421	0.7833668541904268	均匀性优先	0.13868524734467544
0.1676470588235294	4.5	2	0.7576926712897061	0.073197905528246	0.7901430853345566	散热压降折中	0.2727767787252284
0.19411764705882353	3.573529411764706	5	0.7432135763209132	0.11433435727049769	0.7936135908805745	散热均匀性折中	0.2326026306196654
0.18529411764705883	4.1911764705882355	1	0.760083809614419	0.07112364381179187	0.7838728385124556	低能耗可靠折中	0.09030815643127438

图8-2 偏好场景性能剖面图

图8-2 偏好场景性能剖面图

表8-3 敏感性与方案变化比较表

针肋宽度比	歧管深高比	针肋排数	热阻	压降	温度非均匀性	近优频率	评分均值	评分标准差	最差分位表现	鲁棒指数
0.1764705882352941	4.014705882352941	1	0.7585699359586683	0.07486630671063657	0.7838464540187929	0.7142857142857143	0.2108615813902535	0.0837506318166099	0.3055499490025315	0.2139069860386692
0.1764705882352941	3.9705882352941178	1	0.7581943824196369	0.07592711527233598	0.7839628197927445	0.7142857142857143	0.21183340331381464	0.0821495027899859	0.30533794301271944	0.21393882532043978
0.1764705882352941	4.0588235294117645	1	0.7589185834012044	0.0738547725047599	0.783816988882404	0.7142857142857143	0.21012908271771266	0.08520678500494526	0.30579150655355297	0.2140430077339988
0.1676470588235294	4.014705882352941	1	0.7583361625042605	0.07495104533937591	0.784546482347117	0.7142857142857143	0.211879762881702	0.08261815741739321	0.30481827572816156	0.21409743809372495
0.1676470588235294	3.9705882352941178	1	0.7579521157518827	0.07601139309608973	0.7846871734230076	0.7142857142857143	0.212875992400894	0.08096989480719952	0.3045687053047052	0.21411724345874267
0.1676470588235294	4.0588235294117645	1	0.758693303160143	0.07393997193848481	0.7844926919087889	0.7142857142857143	0.21112285661352997	0.08412104763237836	0.3050973977128272	0.21424527559950113
0.1764705882352941	4.102941176470589	1	0.7592403247472455	0.07289251265470598	0.7838744243835783	0.7142857142857143	0.2096359072961945	0.08651916539790608	0.30606261566578563	0.21434755208003425
0.1676470588235294	4.102941176470589	1	0.7590235377195306	0.07297817289341649	0.7845258021080238	0.7142857142857143	0.21060527359638062	0.0854797798792466	0.30540607125870456	0.214561423910975

图8-3 权重场景最优结构参数热力图

表8-4 敏感性与方案变化比较表

针肋宽度比	歧管深高比	针肋排数	热阻	压降	温度非均匀性	近优频率	评分均值	评分标准差	最差分位表现	鲁棒指数
0.1764705882352941	4.014705882352941	1	0.7585699359586683	0.07486630671063657	0.7838464540187929	0.7142857142857143	0.2108615813902535	0.0837506318166099	0.3055499490025315	0.2139069860386692

result table

针肋宽度比	歧管深高比	针肋排数	热阻	压降	温度非均匀性	近优频率	评分均值	评分标准差	最差分位表现	鲁棒指数
0.1764705882352941	4.014705882352941	1	0.7585699359586683	0.07486630671063657	0.7838464540187929	0.7142857142857143	0.2108615813902535	0.0837506318166099	0.3055499490025315	0.2139069860386692

robust ranking top

针肋宽度比	歧管深高比	针肋排数	热阻	压降	温度非均匀性	近优频率	评分均值	评分标准差	最差分位表现	鲁棒指数
0.1764705882352941	4.014705882352941	1	0.7585699359586683	0.07486630671063657	0.7838464540187929	0.7142857142857143	0.2108615813902535	0.0837506318166099	0.3055499490025315	0.2139069860386692
0.1764705882352941	3.9705882352941178	1	0.7581943824196369	0.07592711527233598	0.7839628197927445	0.7142857142857143	0.21183340331381464	0.0821495027899859	0.30533794301271944	0.21393882532043978
0.1764705882352941	4.0588235294117645	1	0.7589185834012044	0.0738547725047599	0.783816988882404	0.7142857142857143	0.21012908271771266	0.08520678500494526	0.30579150655355297	0.2140430077339988
0.1676470588235294	4.014705882352941	1	0.7583361625042605	0.07495104533937591	0.784546482347117	0.7142857142857143	0.211879762881702	0.08261815741739321	0.30481827572816156	0.21409743809372495
0.1676470588235294	3.9705882352941178	1	0.7579521157518827	0.07601139309608973	0.7846871734230076	0.7142857142857143	0.212875992400894	0.08096989480719952	0.3045687053047052	0.21411724345874267
0.1676470588235294	4.0588235294117645	1	0.758693303160143	0.07393997193848481	0.7844926919087889	0.7142857142857143	0.21112285661352997	0.08412104763237836	0.3050973977128272	0.21424527559950113
0.1764705882352941	4.102941176470589	1	0.7592403247472455	0.07289251265470598	0.7838744243835783	0.7142857142857143	0.2096359072961945	0.08651916539790608	0.30606261566578563	0.21434755208003425
0.1676470588235294	4.102941176470589	1	0.7590235377195306	0.07297817289341649	0.7845258021080238	0.7142857142857143	0.21060527359638062	0.0854797798792466	0.30540607125870456	0.214561423910975

scenario optima

针肋宽度比	歧管深高比	针肋排数	热阻	压降	温度非均匀性	权重场景	场景评分
0.1764705882352941	4.1911764705882355	1	0.7598030891498422	0.07111581602206642	0.7842499972986152	均衡场景	0.20684579878519965
0.20294117647058824	3.0	7	0.7300226178400736	0.14981719758060177	0.8152547063821312	散热优先	0.25463470684095424
0.1764705882352941	4.1911764705882355	1	0.7598030891498422	0.07111581602206642	0.7842499972986152	压降优先	0.12460197319014124
0.18529411764705883	4.0588235294117645	1	0.7592247835058203	0.0738639827094421	0.7833668541904268	均匀性优先	0.13868524734467544
0.1676470588235294	4.5	2	0.7576926712897061	0.073197905528246	0.7901430853345566	散热压降折中	0.2727767787252284
0.19411764705882353	3.573529411764706	5	0.7432135763209132	0.11433435727049769	0.7936135908805745	散热均匀性折中	0.2326026306196654
0.18529411764705883	4.1911764705882355	1	0.760083809614419	0.07112364381179187	0.7838728385124556	低能耗可靠折中	0.09030815643127438

weight scenarios

权重场景	热阻权重	压降权重	温度非均匀性权重
均衡场景	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
散热优先	0.58	0.22	0.2
压降优先	0.2	0.6	0.2
均匀性优先	0.22	0.2	0.58
散热压降折中	0.45	0.42	0.13
散热均匀性折中	0.44	0.14	0.42
低能耗可靠折中	0.14	0.43	0.43

权重场景最优表

针肋宽度比	歧管深高比	针肋排数	热阻	压降	温度非均匀性	权重场景	场景评分
0.1764705882352941	4.1911764705882355	1	0.7598030891498422	0.07111581602206642	0.7842499972986152	均衡场景	0.20684579878519965
0.20294117647058824	3.0	7	0.7300226178400736	0.14981719758060177	0.8152547063821312	散热优先	0.25463470684095424
0.1764705882352941	4.1911764705882355	1	0.7598030891498422	0.07111581602206642	0.7842499972986152	压降优先	0.12460197319014124
0.18529411764705883	4.0588235294117645	1	0.7592247835058203	0.0738639827094421	0.7833668541904268	均匀性优先	0.13868524734467544
0.1676470588235294	4.5	2	0.7576926712897061	0.073197905528246	0.7901430853345566	散热压降折中	0.2727767787252284
0.19411764705882353	3.573529411764706	5	0.7432135763209132	0.11433435727049769	0.7936135908805745	散热均匀性折中	0.2326026306196654
0.18529411764705883	4.1911764705882355	1	0.760083809614419	0.07112364381179187	0.7838728385124556	低能耗可靠折中	0.09030815643127438

权重场景表

权重场景	热阻权重	压降权重	温度非均匀性权重
均衡场景	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
散热优先	0.58	0.22	0.2
压降优先	0.2	0.6	0.2
均匀性优先	0.22	0.2	0.58
散热压降折中	0.45	0.42	0.13
散热均匀性折中	0.44	0.14	0.42
低能耗可靠折中	0.14	0.43	0.43

鲁棒候选排序表

针肋宽度比	歧管深高比	针肋排数	热阻	压降	温度非均匀性	近优频率	评分均值	评分标准差	最差分位表现	鲁棒指数
0.1764705882352941	4.014705882352941	1	0.7585699359586683	0.07486630671063657	0.7838464540187929	0.7142857142857143	0.2108615813902535	0.0837506318166099	0.3055499490025315	0.2139069860386692
0.1764705882352941	3.9705882352941178	1	0.7581943824196369	0.07592711527233598	0.7839628197927445	0.7142857142857143	0.21183340331381464	0.0821495027899859	0.30533794301271944	0.21393882532043978
0.1764705882352941	4.0588235294117645	1	0.7589185834012044	0.0738547725047599	0.783816988882404	0.7142857142857143	0.21012908271771266	0.08520678500494526	0.30579150655355297	0.2140430077339988
0.1676470588235294	4.014705882352941	1	0.7583361625042605	0.07495104533937591	0.784546482347117	0.7142857142857143	0.211879762881702	0.08261815741739321	0.30481827572816156	0.21409743809372495
0.1676470588235294	3.9705882352941178	1	0.7579521157518827	0.07601139309608973	0.7846871734230076	0.7142857142857143	0.212875992400894	0.08096989480719952	0.3045687053047052	0.21411724345874267
0.1676470588235294	4.0588235294117645	1	0.758693303160143	0.07393997193848481	0.7844926919087889	0.7142857142857143	0.21112285661352997	0.08412104763237836	0.3050973977128272	0.21424527559950113
0.1764705882352941	4.102941176470589	1	0.7592403247472455	0.07289251265470598	0.7838744243835783	0.7142857142857143	0.2096359072961945	0.08651916539790608	0.30606261566578563	0.21434755208003425
0.1676470588235294	4.102941176470589	1	0.7590235377195306	0.07297817289341649	0.7845258021080238	0.7142857142857143	0.21060527359638062	0.0854797798792466	0.30540607125870456	0.214561423910975

问题5 考虑加工误差及运行工况波动等实际因素，在前述研究基础上分析

原赛题要求

问题5 考虑加工误差及运行工况波动等实际因素，在前述研究基础上分析

关键参数小范围扰动对系统性能的影响，评估设计方案的敏感性与稳定性。

-2-

附录：

1、附件：

（1）附件1：芯片歧管式微通道热管理系统结构参数说明

（2）附件2：不同结构参数下无量纲的热阻、压降和温度非均匀性数据

2、参考文献：

$1$ Cang D, Dong Z, Lv S, et al. Design and intelligent optimization

of TSV-based embedded microchannel heatsinks in 2.5 D Packaging $J$ .

International Journal of Heat and Mass Transfer, 2026, 255: 127908.

$2$ Zhang J, Sadiqbatcha S, Tan S X D. Hot-trim: Thermal and

reliability management for commercial multicore processors considering

workload dependent hot spots $J$ . IEEE Transactions on Computer-Aided

Design of Integrated Circuits and Systems, 2022, 42(7): 2290-2302.

$3$ He W, Yin E, Zhou F, et al. Integrated manifold microchannels

and

near-junction

cooling

for

enhanced

thermal

management

heterogeneous packaging technology $J$ . Energy, 2024, 305: 132263.

-3-

问题五图表结果：扰动敏感性与稳定性评估

关键图表与结果

表9-1 关键参数小范围扰动设定表

扰动参数	扰动来源	幅度设定	可行域处理
针肋宽度比	结构加工误差	标准差取基准1.8%与样本跨度2.5%的较大值	截断到附件2范围
歧管深高比	结构加工误差	标准差取基准1.8%与样本跨度2.5%的较大值	截断到附件2范围
针肋排数	离散制造扰动	邻近整数一排扰动	投影到可行排数
入口质量流量倍率	运行工况波动	标准差0.025	限制在0.95至1.05
热源强度倍率	运行工况波动	标准差0.030	限制在0.95至1.05

图9-1 扰动响应堆叠面积图

图9-1 扰动响应堆叠面积图

表9-2 扰动影响分析表

方案	指标	基准响应	扰动均值	均值偏移率	标准差	响应极差	变异系数	最坏响应增幅	超阈风险
Q3综合最优方案	热阻	0.7418940118835132	0.7420506956720098	0.00021119430267235799	0.003006509512377421	0.010389675053163239	0.004051622793311569	0.007114172578563121	0.0
Q3综合最优方案	压降	0.11259433393960624	0.1123103460874675	-0.0025222215204103817	0.0034821291184811563	0.012202791085265452	0.03100452665126032	0.05116584612608181	0.18181818181818182
Q3综合最优方案	温度非均匀性	0.8149001792212398	0.8147391758898755	-0.00019757429863142902	0.002769083636466123	0.010758923612352311	0.0033987363298710544	0.006524126492160509	0.0
Q4鲁棒方案	热阻	0.7585699359586682	0.7586090953263592	5.162262018935161e-05	0.0032073022323716497	0.010623208994099298	0.004227872104528149	0.007114172578563017	0.0
Q4鲁棒方案	压降	0.07486630671063657	0.07517149609353406	0.0040764583736856	0.0028950109811734445	0.010905848084444739	0.03851208412256759	0.0934511355134628	0.18181818181818182
Q4鲁棒方案	温度非均匀性	0.7838464540187929	0.7839422708928623	0.000122239341108311	0.002446638315756315	0.010348929031603338	0.0031209419450870324	0.00652412649216049	0.0

图9-2 扰动响应小提琴图

图9-2 扰动响应小提琴图

表9-3 敏感性与方案变化比较表

方案	扰动参数	指标	单指标敏感性贡献	综合敏感性贡献	敏感性排序
Q3综合最优方案	针肋宽度比	热阻	0.022287669327022388	0.007429223109007462	3
Q3综合最优方案	歧管深高比	热阻	0.015252492746630649	0.005084164248876883	4
Q3综合最优方案	针肋排数	热阻	0.003301432589594455	0.0011004775298648184	5
Q3综合最优方案	入口质量流量倍率	热阻	0.2800851573605786	0.09336171912019287	1
Q3综合最优方案	热源强度倍率	热阻	0.18004031434497914	0.060013438114993045	2
Q4鲁棒方案	针肋宽度比	热阻	0.04097154697853229	0.01365718232617743	3
Q4鲁棒方案	歧管深高比	热阻	0.010819847630869725	0.003606615876956575	4
Q4鲁棒方案	针肋排数	热阻	0.0043984321042914495	0.0014661440347638166	5

图9-3 敏感性贡献雷达图

表9-4 设计方案稳定性评估表

方案	针肋宽度比	歧管深高比	针肋排数	综合稳定指数	稳定排序
Q3综合最优方案	0.1411764705882353	3.0	1	0.04807131459624337	1
Q4鲁棒方案	0.1764705882352941	4.014705882352941	1	0.05970179809608917	2

图9-4 方案指标波动矩阵图

图9-4 方案指标波动矩阵图

result table

方案	指标	基准响应	扰动均值	均值偏移率	标准差	响应极差	变异系数	最坏响应增幅	超阈风险	综合稳定指数	稳定排序
Q3综合最优方案	热阻	0.7418940118835132	0.7420506956720098	0.00021119430267235799	0.003006509512377421	0.010389675053163239	0.004051622793311569	0.007114172578563121	0.0	0.04807131459624337	1
Q3综合最优方案	压降	0.11259433393960624	0.1123103460874675	-0.0025222215204103817	0.0034821291184811563	0.012202791085265452	0.03100452665126032	0.05116584612608181	0.18181818181818182	0.04807131459624337	1
Q3综合最优方案	温度非均匀性	0.8149001792212398	0.8147391758898755	-0.00019757429863142902	0.002769083636466123	0.010758923612352311	0.0033987363298710544	0.006524126492160509	0.0	0.04807131459624337	1
Q4鲁棒方案	热阻	0.7585699359586682	0.7586090953263592	5.162262018935161e-05	0.0032073022323716497	0.010623208994099298	0.004227872104528149	0.007114172578563017	0.0	0.05970179809608917	2
Q4鲁棒方案	压降	0.07486630671063657	0.07517149609353406	0.0040764583736856	0.0028950109811734445	0.010905848084444739	0.03851208412256759	0.0934511355134628	0.18181818181818182	0.05970179809608917	2
Q4鲁棒方案	温度非均匀性	0.7838464540187929	0.7839422708928623	0.000122239341108311	0.002446638315756315	0.010348929031603338	0.0031209419450870324	0.00652412649216049	0.0	0.05970179809608917	2

扰动响应明细

方案	扰动点	针肋宽度比	歧管深高比	针肋排数	入口质量流量倍率	热源强度倍率	热阻	压降	温度非均匀性
Q3综合最优方案	基准点	0.1411764705882353	3.0	1	1.0	1.0	0.7418940118835132	0.11259433393960624	0.8149001792212398
Q3综合最优方案	针肋宽度比正扰动	0.1486764705882353	3.0	1	1.0	1.0	0.7420472573473166	0.11228455165025943	0.8132400162551955
Q3综合最优方案	歧管深高比正扰动	0.1411764705882353	3.054	1	1.0	1.0	0.7431161110512956	0.10997805543059147	0.8123105035019372
Q3综合最优方案	针肋排数正扰动	0.1411764705882353	3.0	2	1.0	1.0	0.7396323488366219	0.11835531830462881	0.8143229024947739
Q3综合最优方案	入口质量流量正扰动	0.1411764705882353	3.0	1	1.025	1.0	0.7367822988658919	0.11776980912423142	0.8124891113881417
Q3综合最优方案	热源强度正扰动	0.1411764705882353	3.0	1	1.0	1.03	0.7458518412380231	0.11259433393960624	0.8202166910689634
Q3综合最优方案	针肋宽度比负扰动	0.13367647058823529	3.0	1	1.0	1.0	0.7417992310211282	0.11297232719270223	0.8167233153088934
Q3综合最优方案	歧管深高比负扰动	0.1411764705882353	3.0	1	1.0	1.0	0.7418940118835132	0.11259433393960624	0.8149001792212398

扰动设定表

扰动参数	扰动来源	幅度设定	可行域处理
针肋宽度比	结构加工误差	标准差取基准1.8%与样本跨度2.5%的较大值	截断到附件2范围
歧管深高比	结构加工误差	标准差取基准1.8%与样本跨度2.5%的较大值	截断到附件2范围
针肋排数	离散制造扰动	邻近整数一排扰动	投影到可行排数
入口质量流量倍率	运行工况波动	标准差0.025	限制在0.95至1.05
热源强度倍率	运行工况波动	标准差0.030	限制在0.95至1.05

敏感性排序表

方案	扰动参数	指标	单指标敏感性贡献	综合敏感性贡献	敏感性排序
Q3综合最优方案	针肋宽度比	热阻	0.022287669327022388	0.007429223109007462	3
Q3综合最优方案	歧管深高比	热阻	0.015252492746630649	0.005084164248876883	4
Q3综合最优方案	针肋排数	热阻	0.003301432589594455	0.0011004775298648184	5
Q3综合最优方案	入口质量流量倍率	热阻	0.2800851573605786	0.09336171912019287	1
Q3综合最优方案	热源强度倍率	热阻	0.18004031434497914	0.060013438114993045	2
Q4鲁棒方案	针肋宽度比	热阻	0.04097154697853229	0.01365718232617743	3
Q4鲁棒方案	歧管深高比	热阻	0.010819847630869725	0.003606615876956575	4
Q4鲁棒方案	针肋排数	热阻	0.0043984321042914495	0.0014661440347638166	5

方案稳定性表

方案	针肋宽度比	歧管深高比	针肋排数	综合稳定指数	稳定排序
Q3综合最优方案	0.1411764705882353	3.0	1	0.04807131459624337	1
Q4鲁棒方案	0.1764705882352941	4.014705882352941	1	0.05970179809608917	2

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