矩阵求逆引理（Sherman-Morrison-Woodbury公式）详解

1. 前言

在电力系统分析、控制理论、数值计算中，我们经常会遇到形如 ( I + A B ) − 1 (I+AB)^{-1} (I+AB)−1或 A ( I + B A ) − 1 A(I+BA)^{-1} A(I+BA)−1的矩阵运算，尤其是在节点阻抗矩阵推导、系统等效建模、状态估计等场景中。矩阵求逆引理（Sherman-Morrison-Woodbury公式，简称SMW公式）是解决这类问题的核心工具，它可以将高维矩阵求逆转化为低维矩阵求逆，大幅降低计算复杂度，同时也为电力系统中等效阻抗的推导提供了理论支撑。

本文将从基础定义、核心恒等式、详细推导、电力系统应用实例、数值实现等方面，带你彻底掌握矩阵求逆引理。

2. 矩阵求逆引理的核心形式

2.1 通用形式（Sherman-Morrison-Woodbury公式）

设 A ∈ R n × n A \in \mathbb{R}^{n \times n} A∈Rn×n， U ∈ R n × k U \in \mathbb{R}^{n \times k} U∈Rn×k， C ∈ R k × k C \in \mathbb{R}^{k \times k} C∈Rk×k， V ∈ R k × n V \in \mathbb{R}^{k \times n} V∈Rk×n，且 A A A和 C − 1 + V A − 1 U C^{-1}+VA^{-1}U C−1+VA−1U均可逆，则：

( A + U C V ) − 1 = A − 1 − A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 (A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} (A+UCV)−1=A−1−A−1U(C−1+VA−1U)−1VA−1

这是最通用的形式，适用于任意矩阵维度的情况。

2.2 常用特例：单位矩阵形式

在电力系统和控制理论中，最常用的是 A = I A=I A=I（单位矩阵）的情况，此时公式简化为：

( I + U C V ) − 1 = I − U ( C − 1 + V U ) − 1 V (I+UCV)^{-1}=I-U(C^{-1}+VU)^{-1}V (I+UCV)−1=I−U(C−1+VU)−1V

进一步，当 C = I C=I C=I时，得到Sherman-Morrison-Woodbury公式的简化形式：

( I + U V ) − 1 = I − U ( I + V U ) − 1 V (I+UV)^{-1}=I-U(I+VU)^{-1}V (I+UV)−1=I−U(I+VU)−1V

其中 U ∈ R n × m U \in \mathbb{R}^{n \times m} U∈Rn×m， V ∈ R m × n V \in \mathbb{R}^{m \times n} V∈Rm×n。

此外，还有一个与矩阵求逆引理密切相关的矩阵恒等式 （常称为push-through恒等式）：

( I + A B ) − 1 A = A ( I + B A ) − 1 (I+AB)^{-1}A=A(I+BA)^{-1} (I+AB)−1A=A(I+BA)−1

其中 A ∈ R n × m A \in \mathbb{R}^{n \times m} A∈Rn×m， B ∈ R m × n B \in \mathbb{R}^{m \times n} B∈Rm×n，且 I + A B I+AB I+AB和 I + B A I+BA I+BA均可逆。下面我们给出该恒等式从SMW公式出发的详细推导。

从SMW公式到push-through恒等式的推导

已知SMW简化形式（取 C = I C=I C=I）：

( I + U V ) − 1 = I − U ( I + V U ) − 1 V (I+UV)^{-1}=I-U(I+VU)^{-1}V (I+UV)−1=I−U(I+VU)−1V

设 U = A , V = B U=A,\ V=B U=A, V=B，代入得：

( I + A B ) − 1 = I − A ( I + B A ) − 1 B (I+AB)^{-1}=I-A(I+BA)^{-1}B (I+AB)−1=I−A(I+BA)−1B

将等式两边同时右乘矩阵 A A A ：

( I + A B ) − 1 A = $I - A ( I + B A ) - 1 B$ A (I+AB)^{-1}A=\big $I-A(I+BA)\^{-1}B\\big$ A (I+AB)−1A= $I-A(I+BA)-1B$ A

右侧展开：

( I + A B ) − 1 A = I A − A ( I + B A ) − 1 B A (I+AB)^{-1}A=IA-A(I+BA)^{-1}BA (I+AB)−1A=IA−A(I+BA)−1BA

利用单位矩阵性质 I A = A IA=A IA=A，整理得：

( I + A B ) − 1 A = A − A ( I + B A ) − 1 B A (I+AB)^{-1}A=A-A(I+BA)^{-1}BA (I+AB)−1A=A−A(I+BA)−1BA

提取公因子 A A A：

( I + A B ) − 1 A = A $I - ( I + B A ) - 1 B A$ (I+AB)^{-1}A=A\Big $I-(I+BA)\^{-1}BA\\Big$ (I+AB)−1A=A $I-(I+BA)-1BA$

对括号内做恒等变形，凑出 ( I + B A ) − 1 (I+BA)^{-1} (I+BA)−1：

I − ( I + B A ) − 1 B A = ( I + B A ) − 1 ( I + B A ) − ( I + B A ) − 1 B A = ( I + B A ) − 1 ( I + B A − B A ) = ( I + B A ) − 1 I = ( I + B A ) − 1 \begin{aligned} I-(I+BA)^{-1}BA &=(I+BA)^{-1}(I+BA)-(I+BA)^{-1}BA \\ &=(I+BA)^{-1}\big(I+BA-BA\big) \\ &=(I+BA)^{-1}I \\ &=(I+BA)^{-1} \end{aligned} I−(I+BA)−1BA=(I+BA)−1(I+BA)−(I+BA)−1BA=(I+BA)−1(I+BA−BA)=(I+BA)−1I=(I+BA)−1

代回上式，最终得到：

( I + A B ) − 1 A = A ( I + B A ) − 1 \boldsymbol{(I+AB)^{-1}A=A(I+BA)^{-1}} (I+AB)−1A=A(I+BA)−1

至此，由Sherman-Morrison-Woodbury公式推导出push-through恒等式。

3. 总结

矩阵求逆引理（Sherman-Morrison-Woodbury公式）是电力系统分析、控制理论和数值计算中的重要工具，它的核心价值在于：

实现了 ( I + A B ) − 1 A (I+AB)^{-1}A (I+AB)−1A与 A ( I + B A ) − 1 A(I+BA)^{-1} A(I+BA)−1的等价转换；
大幅降低高维矩阵求逆的计算复杂度，尤其是设备数远小于网络节点数的场景；
为电力系统中等效阻抗推导、控制器设计提供了简洁的理论支撑。