线性代数学习教程，从入门到精通，向量组的线性相关性

向量组的线性相关性 --- 完整知识点梳理

§1 向量组及其线性组合

1.1 向量的基本概念

n维向量 ：n个有次序的数 a1,a2,⋯ ,ana_1, a_2, \cdots, a_na1,a2,⋯,an 所组成的数组

α=(a1,a2,⋯ ,an)（行向量）\boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \quad \text{（行向量）}α=(a1,a2,⋯,an)（行向量）

α=(a1a2⋮an)（列向量）\boldsymbol{\alpha} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \quad \text{（列向量）}α= a1a2⋮an （列向量）

零向量 ：所有分量都为零的向量，记为 0\boldsymbol{0}0。

负向量 ：−α=(−a1,−a2,⋯ ,−an)-\boldsymbol{\alpha} = (-a_1, -a_2, \cdots, -a_n)−α=(−a1,−a2,⋯,−an)

1.2 向量的线性运算

加法：α+β=(a1+b1, a2+b2, ⋯ , an+bn)\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = (a_1+b_1,\, a_2+b_2,\, \cdots,\, a_n+b_n)α+β=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn)

数乘：kα=(ka1, ka2, ⋯ , kan)k\boldsymbol{\alpha} = (ka_1,\, ka_2,\, \cdots,\, ka_n)kα=(ka1,ka2,⋯,kan)

运算律：

α+β=β+α\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha}α+β=β+α
(α+β)+γ=α+(β+γ)(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma})(α+β)+γ=α+(β+γ)
α+0=α\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{\alpha}α+0=α
α+(−α)=0\boldsymbol{\alpha} + (-\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{0}α+(−α)=0
1⋅α=α1 \cdot \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}1⋅α=α
k(lα)=(kl)αk(l\boldsymbol{\alpha}) = (kl)\boldsymbol{\alpha}k(lα)=(kl)α
k(α+β)=kα+kβk(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = k\boldsymbol{\alpha} + k\boldsymbol{\beta}k(α+β)=kα+kβ
(k+l)α=kα+lα(k+l)\boldsymbol{\alpha} = k\boldsymbol{\alpha} + l\boldsymbol{\alpha}(k+l)α=kα+lα

1.3 线性组合（Linear Combination）

定义：设有向量组 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm 和向量 β\boldsymbol{\beta}β，如果存在一组数 k1,k2,⋯ ,kmk_1, k_2, \cdots, k_mk1,k2,⋯,km，使得

β=k1α1+k2α2+⋯+kmαm\boldsymbol{\beta} = k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m\boldsymbol{\alpha}_mβ=k1α1+k2α2+⋯+kmαm

则称 β\boldsymbol{\beta}β 是 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm 的 线性组合 ，也称 β\boldsymbol{\beta}β 可由 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm 线性表示。

1.4 线性表示与方程组的关系（重要）

核心定理 ：向量 β\boldsymbol{\beta}β 能由向量组 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm 线性表示 ⟺ \iff⟺ 非齐次线性方程组

x1α1+x2α2+⋯+xmαm=βx_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + x_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{\beta}x1α1+x2α2+⋯+xmαm=β

即

(α1,α2,⋯ ,αm)(x1x2⋮xm)=β(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} = \boldsymbol{\beta}(α1,α2,⋯,αm) x1x2⋮xm =β

有解。

详细推导过程：

设 αj=(a1ja2j⋮anj)\boldsymbol{\alpha}j = \begin{pmatrix} a{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{nj} \end{pmatrix}αj= a1ja2j⋮anj ，β=(b1b2⋮bn)\boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}β= b1b2⋮bn ，则

x1(a11a21⋮an1)+x2(a12a22⋮an2)+⋯+xm(a1ma2m⋮anm)=(b1b2⋮bn)x_1\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n2} \end{pmatrix} + \cdots + x_m\begin{pmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}x1 a11a21⋮an1 +x2 a12a22⋮an2 +⋯+xm a1ma2m⋮anm = b1b2⋮bn

展开后等价于方程组：

{a11x1+a12x2+⋯+a1mxm=b1a21x1+a22x2+⋯+a2mxm=b2⋮an1x1+an2x2+⋯+anmxm=bn\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1m}x_m = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2m}x_m = b_2 \\ \qquad \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nm}x_m = b_n \end{cases}⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1mxm=b1a21x1+a22x2+⋯+a2mxm=b2⋮an1x1+an2x2+⋯+anmxm=bn

记 A=(α1,α2,⋯ ,αm)A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m)A=(α1,α2,⋯,αm)，增广矩阵 Aˉ=(A∣β)\bar{A} = (A \mid \boldsymbol{\beta})Aˉ=(A∣β)，则：

β\boldsymbol{\beta}β 可由 α1,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,⋯,αm 线性表示 ⟺ \iff⟺ R(A)=R(Aˉ)R(A) = R(\bar{A})R(A)=R(Aˉ)

进一步地：

若 R(A)=R(Aˉ)=mR(A) = R(\bar{A}) = mR(A)=R(Aˉ)=m，则表示方式唯一
若 R(A)=R(Aˉ)<mR(A) = R(\bar{A}) < mR(A)=R(Aˉ)<m，则表示方式不唯一（有无穷多种）

1.5 向量组的等价

定义：设有两个向量组

A:α1,α2,⋯ ,αsB:β1,β2,⋯ ,βtA: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s \qquad B: \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_tA:α1,α2,⋯,αsB:β1,β2,⋯,βt

若 AAA 中每个向量都可由 BBB 线性表示，且 BBB 中每个向量都可由 AAA 线性表示，则称向量组 AAA 与向量组 BBB 等价，记为 A≅BA \cong BA≅B。

等价的性质：

反身性 ：A≅AA \cong AA≅A
对称性 ：若 A≅BA \cong BA≅B，则 B≅AB \cong AB≅A
传递性 ：若 A≅BA \cong BA≅B，B≅CB \cong CB≅C，则 A≅CA \cong CA≅C

等价与矩阵的关系 ：向量组 AAA 与 BBB 等价 ⟺ \iff⟺ 存在矩阵 P,QP, QP,Q 使得 B=APB = APB=AP 且 A=BQA = BQA=BQ（其中 PPP 的列向量是 BBB 中各向量由 AAA 表示的系数，QQQ 的列向量是 AAA 中各向量由 BBB 表示的系数）。

1.6 重要定理

定理1 ：向量 β\boldsymbol{\beta}β 可由 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm 线性表示的充要条件是矩阵 A=(α1,α2,⋯ ,αm)A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m)A=(α1,α2,⋯,αm) 的秩等于矩阵 B=(α1,α2,⋯ ,αm,β)B = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\beta})B=(α1,α2,⋯,αm,β) 的秩。

定理2 ：向量组 B:β1,⋯ ,βtB: \boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_tB:β1,⋯,βt 可由向量组 A:α1,⋯ ,αsA: \boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_sA:α1,⋯,αs 线性表示的充要条件是

R(α1,⋯ ,αs)=R(α1,⋯ ,αs,β1,⋯ ,βt)R(\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s) = R(\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t)R(α1,⋯,αs)=R(α1,⋯,αs,β1,⋯,βt)

即把所有 βj\boldsymbol{\beta}_jβj 拼到 AAA 的列向量后面，秩不增加。

推论：若向量组 BBB 可由向量组 AAA 线性表示，则 R(B)≤R(A)R(B) \leq R(A)R(B)≤R(A)。

证明：设 A=(α1,⋯ ,αs)A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s)A=(α1,⋯,αs)，B=(β1,⋯ ,βt)B = (\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t)B=(β1,⋯,βt)。BBB 可由 AAA 线性表示意味着存在矩阵 KKK（s×ts \times ts×t）使得 B=AKB = AKB=AK。

由矩阵秩的不等式 R(AK)≤min⁡{R(A),R(K)}R(AK) \leq \min\{R(A), R(K)\}R(AK)≤min{R(A),R(K)}，所以 R(B)=R(AK)≤R(A)R(B) = R(AK) \leq R(A)R(B)=R(AK)≤R(A)。■\blacksquare■

§2 向量组的线性相关性

2.1 线性相关与线性无关的定义

定义：设有 mmm 个 nnn 维向量 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm，如果存在不全为零 的数 k1,k2,⋯ ,kmk_1, k_2, \cdots, k_mk1,k2,⋯,km，使得

k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{0}k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0

则称向量组 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm 线性相关。

若上式只有在 k1=k2=⋯=km=0k_1 = k_2 = \cdots = k_m = 0k1=k2=⋯=km=0 时才成立，则称向量组 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm 线性无关。

2.2 线性相关性的几何直观

二维空间 ：两个向量线性相关 ⟺ \iff⟺ 它们共线（平行或反向）
三维空间 ：两个向量线性相关 ⟺ \iff⟺ 共线；三个向量线性相关 ⟺ \iff⟺ 共面
一般地：mmm 个向量线性相关，意味着其中至少有一个向量是其余 m−1m-1m−1 个向量的线性组合

2.3 线性相关性与齐次方程组的关系（核心）

定理：向量组 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm 线性相关 ⟺ \iff⟺ 齐次线性方程组

x1α1+x2α2+⋯+xmαm=0x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + x_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{0}x1α1+x2α2+⋯+xmαm=0

即

(α1,α2,⋯ ,αm)(x1x2⋮xm)=0(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} = \boldsymbol{0}(α1,α2,⋯,αm) x1x2⋮xm =0

有非零解。

详细推导：

设 A=(α1,α2,⋯ ,αm)A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m)A=(α1,α2,⋯,αm) 为 n×mn \times mn×m 矩阵。

k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{0}k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0，k1,⋯ ,kmk_1, \cdots, k_mk1,⋯,km 不全为零

⟺ Ax=0 有非零解\iff Ax = 0 \text{ 有非零解}⟺Ax=0 有非零解

⟺ R(A)<m\iff R(A) < m⟺R(A)<m

因此得到等价条件：

线性相关 ⟺ R(α1,α2,⋯ ,αm)<m\boxed{\text{线性相关} \iff R(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m) < m}线性相关⟺R(α1,α2,⋯,αm)<m

线性无关 ⟺ R(α1,α2,⋯ ,αm)=m\boxed{\text{线性无关} \iff R(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m) = m}线性无关⟺R(α1,α2,⋯,αm)=m

注意：mmm 个 nnn 维向量，当 m>nm > nm>n 时必线性相关。

证明：AAA 为 n×mn \times mn×m 矩阵，R(A)≤min⁡(n,m)=n<mR(A) \leq \min(n, m) = n < mR(A)≤min(n,m)=n<m，故 Ax=0Ax = 0Ax=0 有非零解。

2.4 线性相关性的判定定理

定理1 ：向量组 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm（m≥2m \geq 2m≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量 可由其余 m−1m-1m−1 个向量线性表示。

证明：

(⇒\Rightarrow⇒) 若线性相关，则存在不全为零的 k1,⋯ ,kmk_1, \cdots, k_mk1,⋯,km 使 k1α1+⋯+kmαm=0k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \cdots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{0}k1α1+⋯+kmαm=0。不妨设 ki≠0k_i \neq 0ki=0，则

αi=−k1kiα1−⋯−ki−1kiαi−1−ki+1kiαi+1−⋯−kmkiαm\boldsymbol{\alpha}i = -\frac{k_1}{k_i}\boldsymbol{\alpha}1 - \cdots - \frac{k{i-1}}{k_i}\boldsymbol{\alpha}{i-1} - \frac{k_{i+1}}{k_i}\boldsymbol{\alpha}_{i+1} - \cdots - \frac{k_m}{k_i}\boldsymbol{\alpha}_mαi=−kik1α1−⋯−kiki−1αi−1−kiki+1αi+1−⋯−kikmαm

即 αi\boldsymbol{\alpha}_iαi 可由其余向量线性表示。

(⇐\Leftarrow⇐) 若 αi=λ1α1+⋯+λi−1αi−1+λi+1αi+1+⋯+λmαm\boldsymbol{\alpha}i = \lambda_1\boldsymbol{\alpha}1 + \cdots + \lambda{i-1}\boldsymbol{\alpha}{i-1} + \lambda_{i+1}\boldsymbol{\alpha}_{i+1} + \cdots + \lambda_m\boldsymbol{\alpha}_mαi=λ1α1+⋯+λi−1αi−1+λi+1αi+1+⋯+λmαm，则

λ1α1+⋯+λi−1αi−1+(−1)αi+λi+1αi+1+⋯+λmαm=0\lambda_1\boldsymbol{\alpha}1 + \cdots + \lambda{i-1}\boldsymbol{\alpha}{i-1} + (-1)\boldsymbol{\alpha}i + \lambda{i+1}\boldsymbol{\alpha}{i+1} + \cdots + \lambda_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{0}λ1α1+⋯+λi−1αi−1+(−1)αi+λi+1αi+1+⋯+λmαm=0

其中 αi\boldsymbol{\alpha}_iαi 的系数为 −1≠0-1 \neq 0−1=0，故不全为零，线性相关。■\blacksquare■

定理2 ：若向量组 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm 线性无关，而向量组 α1,α2,⋯ ,αm,β\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\beta}α1,α2,⋯,αm,β 线性相关，则 β\boldsymbol{\beta}β 可由 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm 线性表示，且表示法唯一。

证明：由线性相关性，存在不全为零的 k1,⋯ ,km,km+1k_1, \cdots, k_m, k_{m+1}k1,⋯,km,km+1 使得

k1α1+⋯+kmαm+km+1β=0k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \cdots + k_m\boldsymbol{\alpha}m + k{m+1}\boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{0}k1α1+⋯+kmαm+km+1β=0

断言 km+1≠0k_{m+1} \neq 0km+1=0。若 km+1=0k_{m+1} = 0km+1=0，则 k1α1+⋯+kmαm=0k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \cdots + k_m\boldsymbol{\alpha}m = \boldsymbol{0}k1α1+⋯+kmαm=0 且 k1,⋯ ,kmk_1, \cdots, k_mk1,⋯,km 不全为零（因 k1,⋯ ,km,km+1k_1, \cdots, k_m, k{m+1}k1,⋯,km,km+1 不全为零），这与 α1,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,⋯,αm 线性无关矛盾。

故 km+1≠0k_{m+1} \neq 0km+1=0，从而

β=−k1km+1α1−⋯−kmkm+1αm\boldsymbol{\beta} = -\frac{k_1}{k_{m+1}}\boldsymbol{\alpha}1 - \cdots - \frac{k_m}{k{m+1}}\boldsymbol{\alpha}_mβ=−km+1k1α1−⋯−km+1kmαm

唯一性 ：若有两种表示 β=λ1α1+⋯+λmαm=μ1α1+⋯+μmαm\boldsymbol{\beta} = \lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \cdots + \lambda_m\boldsymbol{\alpha}_m = \mu_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \cdots + \mu_m\boldsymbol{\alpha}_mβ=λ1α1+⋯+λmαm=μ1α1+⋯+μmαm，则

(λ1−μ1)α1+⋯+(λm−μm)αm=0(\lambda_1 - \mu_1)\boldsymbol{\alpha}_1 + \cdots + (\lambda_m - \mu_m)\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{0}(λ1−μ1)α1+⋯+(λm−μm)αm=0

由线性无关性得 λi=μi\lambda_i = \mu_iλi=μi，i=1,⋯ ,mi = 1, \cdots, mi=1,⋯,m。■\blacksquare■

定理3（部分与整体的关系）：

若向量组中部分向量组线性相关，则整体向量组线性相关。
等价地：若整体线性无关，则任何部分也线性无关。

证明：设 αi1,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}{i_1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{i_r}αi1,⋯,αir（r<mr < mr<m）线性相关，即存在不全为零的 ki1,⋯ ,kirk_{i_1}, \cdots, k_{i_r}ki1,⋯,kir 使 ki1αi1+⋯+kirαir=0k_{i_1}\boldsymbol{\alpha}{i_1} + \cdots + k{i_r}\boldsymbol{\alpha}_{i_r} = \boldsymbol{0}ki1αi1+⋯+kirαir=0。令其余系数为0，则 k1α1+⋯+kmαm=0k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + \cdots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{0}k1α1+⋯+kmαm=0 中系数不全为零，故整体线性相关。■\blacksquare■

定理4 ：设 α1,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_rα1,⋯,αr 线性无关，且每个 αi\boldsymbol{\alpha}_iαi 都可由 β1,⋯ ,βs\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_sβ1,⋯,βs 线性表示，则 r≤sr \leq sr≤s。

这个定理将在秩的理论中反复使用。

2.5 判定方法总结

判定 mmm 个 nnn 维向量 α1,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,⋯,αm 是否线性相关：

构造矩阵 A=(α1,α2,⋯ ,αm)A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m)A=(α1,α2,⋯,αm)
对 AAA 进行初等行变换化为行阶梯形
若 R(A)=mR(A) = mR(A)=m，则线性无关；若 R(A)<mR(A) < mR(A)<m，则线性相关

§3 向量组的秩

3.1 极大线性无关组

定义：在向量组 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}1, \boldsymbol{\alpha}2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}sα1,α2,⋯,αs 中，若存在 rrr 个向量 αi1,αi2,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}{i_1}, \boldsymbol{\alpha}{i_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{i_r}αi1,αi2,⋯,αir 满足：

(1) αi1,αi2,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}{i_1}, \boldsymbol{\alpha}{i_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}αi1,αi2,⋯,αir 线性无关

(2) 原向量组中任意 r+1r+1r+1 个向量（如果有的话）都线性相关

则称 αi1,αi2,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}{i_1}, \boldsymbol{\alpha}{i_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}αi1,αi2,⋯,αir 为该向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）。

等价定义 ：αi1,αi2,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}{i_1}, \boldsymbol{\alpha}{i_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}αi1,αi2,⋯,αir 是向量组的一个极大无关组 ⟺ \iff⟺

(1) 这 rrr 个向量线性无关

(2) 原向量组中任一向量都可由这 rrr 个向量线性表示

两个定义的等价性证明：

(⇒\Rightarrow⇒) 设 αi1,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}{i_1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{i_r}αi1,⋯,αir 满足定义中的 (1)(2)。任取原向量组中向量 αj\boldsymbol{\alpha}jαj，则 αi1,⋯ ,αir,αj\boldsymbol{\alpha}{i_1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{i_r}, \boldsymbol{\alpha}jαi1,⋯,αir,αj 是 r+1r+1r+1 个向量（当 αj\boldsymbol{\alpha}jαj 不在其中时），由条件(2)知它们线性相关。又 αi1,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}{i_1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{i_r}αi1,⋯,αir 线性无关，由§2定理2知 αj\boldsymbol{\alpha}jαj 可由 αi1,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}{i_1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{i_r}αi1,⋯,αir 线性表示。

(⇐\Leftarrow⇐) 设 αi1,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}{i_1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{i_r}αi1,⋯,αir 线性无关且原组中每个向量都可由它们表示。任取 r+1r+1r+1 个向量（含或不含这 rrr 个），其中至少有一个是 αi1,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}{i_1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{i_r}αi1,⋯,αir 的线性组合，由定理1知这 r+1r+1r+1 个向量线性相关。■\blacksquare■

重要性质：

极大无关组不唯一，但不同极大无关组所含向量个数相同
只含零向量的向量组没有极大无关组
线性无关向量组的极大无关组就是它自身

3.2 向量组的秩

定义：向量组 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs 的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩，记为 R(α1,α2,⋯ ,αs)R(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s)R(α1,α2,⋯,αs)。

规定：只含零向量的向量组的秩为 000。

3.3 向量组的秩与矩阵的秩的关系

定理：矩阵的秩 === 它的列向量组的秩 === 它的行向量组的秩。

证明思路 ：设 AAA 是 n×mn \times mn×m 矩阵，R(A)=rR(A) = rR(A)=r。

对 AAA 进行初等行变换化为行阶梯形 BBB。BBB 中有 rrr 个非零行，这 rrr 个非零行的首元所在的 rrr 列线性无关（因为它们化简后形成 rrr 阶单位矩阵），对应到原矩阵 AAA 中的 rrr 列也线性无关（初等行变换不改变列向量的线性关系）。

同时 AAA 的任一列都可由这 rrr 列线性表示（因为 Ax=0Ax = 0Ax=0 的解空间维数为 m−rm - rm−r）。故这 rrr 列是 AAA 的列向量组的极大无关组。

行向量组的秩同理可证（或利用 R(A)=R(AT)R(A) = R(A^T)R(A)=R(AT)）。■\blacksquare■

3.4 求极大无关组的方法

步骤：

将向量 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs 作为列向量构成矩阵 A=(α1,α2,⋯ ,αs)A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s)A=(α1,α2,⋯,αs)
对 AAA 进行初等行变换化为行阶梯形 BBB
BBB 中各首元所在的列对应的原矩阵的列向量即为一个极大无关组

为什么行阶梯形的首元列对应极大无关组？

设行阶梯形 BBB 中第 j1,j2,⋯ ,jrj_1, j_2, \cdots, j_rj1,j2,⋯,jr 列为首元列。这些列在 BBB 中呈阶梯状，构成一个上三角矩阵（每行首元所在列的上方元素均为0），所以它们线性无关。

初等行变换保持列向量之间的线性关系 ：若 BBB 中 c1bj1+⋯+crbjr=0c_1\boldsymbol{b}{j_1} + \cdots + c_r\boldsymbol{b}{j_r} = \boldsymbol{0}c1bj1+⋯+crbjr=0 则 c1=⋯=cr=0c_1 = \cdots = c_r = 0c1=⋯=cr=0，对应到 AAA 中 c1aj1+⋯+crajr=0c_1\boldsymbol{a}{j_1} + \cdots + c_r\boldsymbol{a}{j_r} = \boldsymbol{0}c1aj1+⋯+crajr=0 也必须 c1=⋯=cr=0c_1 = \cdots = c_r = 0c1=⋯=cr=0。

3.5 向量组秩的性质

(1) 若向量组 AAA 可由向量组 BBB 线性表示，则 R(A)≤R(B)R(A) \leq R(B)R(A)≤R(B)。

详细证明 ：设 A:α1,⋯ ,αsA: \boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_sA:α1,⋯,αs，B:β1,⋯ ,βtB: \boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}tB:β1,⋯,βt。AAA 可由 BBB 线性表示意味着存在矩阵 Kt×sK{t \times s}Kt×s 使得

(α1,⋯ ,αs)=(β1,⋯ ,βt)K(\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s) = (\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t) K(α1,⋯,αs)=(β1,⋯,βt)K

设 R(B)=rR(B) = rR(B)=r，取 BBB 的极大无关组 βj1,⋯ ,βjr\boldsymbol{\beta}{j_1}, \cdots, \boldsymbol{\beta}{j_r}βj1,⋯,βjr，则 BBB 中每个向量都可由这 rrr 个向量表示。因此 AAA 中每个向量也可由这 rrr 个向量表示，故 R(A)≤r=R(B)R(A) \leq r = R(B)R(A)≤r=R(B)。■\blacksquare■

(2) 等价的向量组具有相同的秩。

由 (1) 直接得出：A≅BA \cong BA≅B ⇒\Rightarrow⇒ R(A)≤R(B)R(A) \leq R(B)R(A)≤R(B) 且 R(B)≤R(A)R(B) \leq R(A)R(B)≤R(A)，故 R(A)=R(B)R(A) = R(B)R(A)=R(B)。

注意：秩相同的向量组不一定等价（它们可能不在同一个空间中）。但如果秩相同且一个可由另一个表示，则它们等价。

(3) R(AB)≤min⁡{R(A),R(B)}R(AB) \leq \min\{R(A), R(B)\}R(AB)≤min{R(A),R(B)}（矩阵乘积的秩的不等式，在本章的语境下用向量组秩的角度理解）。

§4 向量空间

4.1 向量空间的定义

定义：设 VVV 为 nnn 维向量的非空集合，如果 VVV 对向量的加法和数乘两种运算封闭，即：

∀α,β∈V\forall \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in V∀α,β∈V，有 α+β∈V\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} \in Vα+β∈V
∀α∈V,∀k∈R\forall \boldsymbol{\alpha} \in V, \forall k \in \mathbb{R}∀α∈V,∀k∈R，有 kα∈Vk\boldsymbol{\alpha} \in Vkα∈V

则称 VVV 为一个向量空间。

典型例子：

Rn\mathbb{R}^nRn（全体 nnn 维实向量）是一个向量空间
只含零向量的集合 {0}\{\boldsymbol{0}\}{0} 是一个向量空间（零空间）
齐次线性方程组 Ax=0Ax = 0Ax=0 的解集是一个向量空间（解空间）
非齐次线性方程组 Ax=bAx = bAx=b（b≠0b \neq 0b=0）的解集不是向量空间（不含零向量）

4.2 子空间

定义：设 VVV 是向量空间，WWW 是 VVV 的非空子集。若 WWW 对 VVV 中的加法和数乘也构成向量空间，则称 WWW 为 VVV 的子空间。

判定定理 ：WWW 是 VVV 的子空间 ⟺ \iff⟺ WWW 非空，且对加法和数乘封闭。

4.3 生成空间（张成空间）

定义：由向量组 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm 的所有线性组合构成的集合

L(α1,α2,⋯ ,αm)={k1α1+k2α2+⋯+kmαm∣k1,k2,⋯ ,km∈R}L(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m) = \{k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m \mid k_1, k_2, \cdots, k_m \in \mathbb{R}\}L(α1,α2,⋯,αm)={k1α1+k2α2+⋯+kmαm∣k1,k2,⋯,km∈R}

是一个向量空间，称为由 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm 生成（或张成）的向量空间。

4.4 基、维数与坐标

定义：设 VVV 是向量空间，若存在 VVV 中的 rrr 个向量 ε1,ε2,⋯ ,εr\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_rε1,ε2,⋯,εr 满足：

(1) ε1,ε2,⋯ ,εr\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_rε1,ε2,⋯,εr 线性无关

(2) VVV 中任一向量都可由 ε1,ε2,⋯ ,εr\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_rε1,ε2,⋯,εr 线性表示

则称 ε1,ε2,⋯ ,εr\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_rε1,ε2,⋯,εr 为 VVV 的一组基，rrr 称为 VVV 的维数，记为 dim⁡V=r\dim V = rdimV=r。

坐标：VVV 中任一向量 α\boldsymbol{\alpha}α 可唯一地表示为

α=x1ε1+x2ε2+⋯+xrεr\boldsymbol{\alpha} = x_1\boldsymbol{\varepsilon}_1 + x_2\boldsymbol{\varepsilon}_2 + \cdots + x_r\boldsymbol{\varepsilon}_rα=x1ε1+x2ε2+⋯+xrεr

有序数组 (x1,x2,⋯ ,xr)T(x_1, x_2, \cdots, x_r)^T(x1,x2,⋯,xr)T 称为 α\boldsymbol{\alpha}α 在基 ε1,ε2,⋯ ,εr\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_rε1,ε2,⋯,εr 下的坐标。

坐标唯一性的证明：若有两种表示，相减得到零向量的一个线性组合表示，由基的线性无关性得各系数为零。

4.5 基变换与坐标变换

设有向量空间 VVV（dim⁡V=r\dim V = rdimV=r）的两组基：

旧基:ε1,ε2,⋯ ,εr新基:η1,η2,⋯ ,ηr\text{旧基}: \boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_r \qquad \text{新基}: \boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_r旧基:ε1,ε2,⋯,εr新基:η1,η2,⋯,ηr

基变换公式：

(η1,η2,⋯ ,ηr)=(ε1,ε2,⋯ ,εr)P(\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_r) = (\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_r) P(η1,η2,⋯,ηr)=(ε1,ε2,⋯,εr)P

PPP 称为从旧基到新基的过渡矩阵。

过渡矩阵的性质：

PPP 可逆
PPP 的第 jjj 列是 ηj\boldsymbol{\eta}_jηj 在旧基下的坐标

推导：因每个 ηj\boldsymbol{\eta}_jηj 可由旧基表示：

ηj=p1jε1+p2jε2+⋯+prjεr\boldsymbol{\eta}j = p{1j}\boldsymbol{\varepsilon}1 + p{2j}\boldsymbol{\varepsilon}2 + \cdots + p{rj}\boldsymbol{\varepsilon}_rηj=p1jε1+p2jε2+⋯+prjεr

写成矩阵形式即得 (η1,⋯ ,ηr)=(ε1,⋯ ,εr)P(\boldsymbol{\eta}_1, \cdots, \boldsymbol{\eta}_r) = (\boldsymbol{\varepsilon}_1, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_r)P(η1,⋯,ηr)=(ε1,⋯,εr)P。

PPP 可逆：因 η1,⋯ ,ηr\boldsymbol{\eta}_1, \cdots, \boldsymbol{\eta}_rη1,⋯,ηr 线性无关，所以 R(P)=rR(P) = rR(P)=r。

坐标变换公式：

设 α\boldsymbol{\alpha}α 在旧基下的坐标为 x=(x1,x2,⋯ ,xr)T\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_r)^Tx=(x1,x2,⋯,xr)T，在新基下的坐标为 y=(y1,y2,⋯ ,yr)T\boldsymbol{y} = (y_1, y_2, \cdots, y_r)^Ty=(y1,y2,⋯,yr)T，则

x=Py\boxed{\boldsymbol{x} = P\boldsymbol{y}}x=Py

即

(x1x2⋮xr)=P(y1y2⋮yr)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_r \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_r \end{pmatrix} x1x2⋮xr =P y1y2⋮yr

推导过程：

α=(ε1,⋯ ,εr)x=(η1,⋯ ,ηr)y\boldsymbol{\alpha} = (\boldsymbol{\varepsilon}_1, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_r)\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{\eta}_1, \cdots, \boldsymbol{\eta}_r)\boldsymbol{y}α=(ε1,⋯,εr)x=(η1,⋯,ηr)y

由基变换 (η1,⋯ ,ηr)=(ε1,⋯ ,εr)P(\boldsymbol{\eta}_1, \cdots, \boldsymbol{\eta}_r) = (\boldsymbol{\varepsilon}_1, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_r)P(η1,⋯,ηr)=(ε1,⋯,εr)P，代入得

(ε1,⋯ ,εr)x=(ε1,⋯ ,εr)Py(\boldsymbol{\varepsilon}_1, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_r)\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{\varepsilon}_1, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_r)P\boldsymbol{y}(ε1,⋯,εr)x=(ε1,⋯,εr)Py

由于 ε1,⋯ ,εr\boldsymbol{\varepsilon}_1, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_rε1,⋯,εr 线性无关，向量由它们表示的方式唯一，故

x=Py或等价地y=P−1x\boldsymbol{x} = P\boldsymbol{y} \qquad \text{或等价地} \qquad \boldsymbol{y} = P^{-1}\boldsymbol{x}x=Py或等价地y=P−1x

4.6 向量空间的维数公式

对于生成空间 V=L(α1,α2,⋯ ,αs)V = L(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s)V=L(α1,α2,⋯,αs)：

dim⁡V=R(α1,α2,⋯ ,αs)\dim V = R(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s)dimV=R(α1,α2,⋯,αs)

线性代数学习教程，从入门到精通，向量组的线性相关性 — 完整知识点梳理(7）