一、公式定义：
一个三维向量 绕着一个 单位特征转轴
逆时针旋转 θ 角度，那么旋转后向量
的罗德里格斯（Rodrigues）公式为：
二、推导方式：空间向量的正交分解
1. 向量的正交投影与空间分解
在三维欧氏空间中，任意向量 都可以被分解为两个相互正交的分量：
-
平行于转轴的分量
-
垂直于转轴的分量
根据向量投影的代数定义， 在单位向量
上的投影（平行分量）为：
进而可以推导出垂直于转轴的分量 为：
当整个空间绕轴 旋转时，平行分量
在物理上是绝对不动的 。因此，旋转后的新向量
仍然由两部分组成：
其中 是垂直分量
旋转
角度后的新位置。
2. 在旋转平面内建立二维几何基底
为了求解旋转后的 ，在垂直于
的平面内构建一组标准的正交基（即二维坐标系）。
-
第一个基向量（横轴方向）：直接取垂直分量本身：
-
第二个基向量（纵轴方向） ：将第一个基向量绕
轴做 90° 叉乘变换。由于
注意到 ，将其带入
中：
由于 与它的平行分量
方向完全相同，两者的叉乘
。因此，第二个基向量可以直接表示为：
至此，在旋转平面内确立了两根完全正交且等模长的轴线： 和
3. 利用三角函数进行平面内的矢量合成
由**平面极坐标（Polar Coordinates）转换为直角坐标（Cartesian Coordinates）**的向量表达式可知：
旋转后的向量 可以通过
和
这组正交基底线性组合，新向量分别投影在横轴
方向和纵轴
方向上，其大小由
和
决定：
代入前面求得的基底表达式：
4. 总矢量合成（代数整理）
将旋转后的垂直分量 与保持不动的平行分量
重新相加，即可得到完整的空间旋转结果：
为了消除中间变量 ，将
带入上式：
由向量三重积公式（vector triple product formula）
令 ，有
最终得到：
5. 旋转定义
叉乘操作 是一个标准的线性变换，它可以被重写为一个矩阵与向量的乘法。若令单位轴
，定义其对应的斜对称矩阵
（在某些文献或 Eigen 库中也常写为
）为：
有：
最终得到：
将同类项合并后，可以得到一个更紧凑（简洁）的表达式:
其中：
三、推导方式：李群李代数的指数映射
对于空间中的任意单位旋转轴 （满足
），定义其对应的叉乘斜对称矩阵
为：
该矩阵满足向量叉乘的算子同构关系：：
根据李群与李代数的指数映射关系，绕单位轴 旋转
角度的旋转矩阵可写成：
根据矩阵指数函数的泰勒级数定义，将其展开为无穷级数形态：
对于单位向量 ，其斜对称矩阵的高次幂具有如下固有的周期循环特性：
利用上述高次幂降维特性，将角度标量 提取，并把含有
与
的项分别归类，该级数可以整理为：
即：
四、从旋转矩阵到四元数
1. 旋转矩阵展开成罗德里格斯矩阵形式
2. 四元数的物理定义
单位四元数通过轴角 的定义为：
3. 求实部 w：
对旋转矩阵 的主对角线元素求和（求迹，
）：
将罗德里格斯展开式的主对角线相加：
因为 是单位向量（
），上式化简为：
半角公式 ：
由此，可以得到四元数实部的解析解：
4. 求虚部
利用倍角公式 和
，可以发现：
有：
类似地，通过两两相减，能剥离出非对角线元素与四元数乘积的严格对应关系：
从而解出虚部：