在计算机视觉、机器人学、图形学等领域，刚体变换（即不改变物体形状和大小的变换）是描述物体运动或坐标转换的核心工具。旋转矩阵与平移矩阵作为刚体变换的基础组件，分别负责描述"旋转"与"平移"这两种基本运动，其理论严谨性和工程实用性贯穿多个学科。
一、刚体变换的本质与分类
刚体变换的核心是保持物体上任意两点的距离和夹角不变，仅改变物体的位置（平移）和朝向（旋转）。数学上，刚体变换可分解为：
- 旋转（Rotation）：物体绕某一轴（二维中为点）转动，不改变原点到物体上点的距离；
- 平移（Translation）：物体沿直线移动，所有点的位移量相同。
旋转是线性变换 （可通过矩阵乘法实现），平移是非线性变换（通过向量加法实现）。二者的组合构成完整的刚体变换，需通过"齐次坐标"统一为矩阵运算。
二、旋转矩阵（Rotation Matrix）
旋转矩阵是描述旋转的正交矩阵，其核心性质决定了旋转的"刚体性"。
1. 定义与核心性质
旋转矩阵是一个n×n的正交矩阵（n=2时为二维旋转，n=3时为三维旋转），满足：
- 正交性 ：旋转矩阵R\mathbf{R}R的逆矩阵等于其转置矩阵，即R−1=RT\mathbf{R}^{-1} = \mathbf{R}^TR−1=RT；
- 行列式为1 ：det(R)=1\det(\mathbf{R}) = 1det(R)=1（保证旋转为"右手系"，无镜像翻转；若行列式为-1，则包含镜像，不属于纯旋转）；
- 保长度 ：对任意向量v\mathbf{v}v，旋转后长度不变，即∥Rv∥=∥v∥\|\mathbf{R}\mathbf{v}\| = \|\mathbf{v}\|∥Rv∥=∥v∥；
- 保夹角 ：对任意向量v1,v2\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2v1,v2，旋转后夹角不变，即v1Tv2=(Rv1)T(Rv2)\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_2 = (\mathbf{R}\mathbf{v}_1)^T(\mathbf{R}\mathbf{v}_2)v1Tv2=(Rv1)T(Rv2)。
2. 二维旋转矩阵
在二维平面中，点(x,y)(x,y)(x,y)绕原点逆时针旋转θ\thetaθ角的旋转矩阵为2×2矩阵 ：
R(θ)=[cosθ−sinθsinθcosθ] \mathbf{R}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} R(θ)=[cosθsinθ−sinθcosθ]
- 几何意义 ：
旋转后点的坐标(x′,y′)(x', y')(x′,y′)满足：x′y′\]=R(θ)\[xy\]=\[xcosθ−ysinθxsinθ+ycosθ\] \\begin{bmatrix} x' \\\\ y' \\end{bmatrix} = \\mathbf{R}(\\theta) \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} x\\cos\\theta - y\\sin\\theta \\\\ x\\sin\\theta + y\\cos\\theta \\end{bmatrix} \[x′y′\]=R(θ)\[xy\]=\[xcosθ−ysinθxsinθ+ycosθ
若θ\thetaθ为负，则表示顺时针旋转。
3. 三维旋转矩阵
三维空间的旋转更复杂，需明确旋转轴（通常为x、y、z轴）。在右手坐标系中，绕坐标轴逆时针旋转θ\thetaθ角的矩阵如下：
-
绕x轴旋转 （y-z平面内转动）：
Rx(θ)=[1000cosθ−sinθ0sinθcosθ] \mathbf{R}_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} Rx(θ)= 1000cosθsinθ0−sinθcosθ -
绕y轴旋转 （x-z平面内转动）：
Ry(θ)=[cosθ0sinθ010−sinθ0cosθ] \mathbf{R}_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix} Ry(θ)= cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ -
绕z轴旋转 （x-y平面内转动）：
Rz(θ)=[cosθ−sinθ0sinθcosθ0001] \mathbf{R}_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rz(θ)= cosθsinθ0−sinθcosθ0001
4. 旋转的复合与参数化
三维旋转有3个自由度（需3个参数描述），但3×3旋转矩阵有9个元素，冗余度高。实际中常用更简洁的参数化方式，且需掌握旋转的复合规则：
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复合旋转 ：旋转矩阵不满足交换律，若先绕x轴旋转θ1\theta_1θ1，再绕z轴旋转θ2\theta_2θ2，总旋转矩阵为R=Rz(θ2)⋅Rx(θ1)\mathbf{R} = \mathbf{R}_z(\theta_2) \cdot \mathbf{R}_x(\theta_1)R=Rz(θ2)⋅Rx(θ1)（先旋转变换在右侧）。
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参数化表示：
- 欧拉角：将旋转分解为绕三个轴的三次转动（如"Z-Y-X"角），但存在"万向锁"问题（当中间轴旋转90°时，丢失一个自由度）；
- 轴角 ：用旋转轴u\mathbf{u}u（单位向量）和旋转角θ\thetaθ表示，通过罗德里格斯公式可转换为旋转矩阵；
- 四元数 ：用4个参数表示旋转，无万向锁问题，插值平滑，是工程中（如无人机姿态）的常用形式，可通过归一化四元数q=(w,x,y,z)\mathbf{q} = (w, x, y, z)q=(w,x,y,z)转换为旋转矩阵：
R(q)=[1−2y2−2z22xy−2zw2xz+2yw2xy+2zw1−2x2−2z22yz−2xw2xz−2yw2yz+2xw1−2x2−2y2] \mathbf{R}(\mathbf{q}) = \begin{bmatrix} 1-2y^2-2z^2 & 2xy-2zw & 2xz+2yw \\ 2xy+2zw & 1-2x^2-2z^2 & 2yz-2xw \\ 2xz-2yw & 2yz+2xw & 1-2x^2-2y^2 \end{bmatrix} R(q)= 1−2y2−2z22xy+2zw2xz−2yw2xy−2zw1−2x2−2z22yz+2xw2xz+2yw2yz−2xw1−2x2−2y2
三、平移矩阵（Translation Vector）
平移是物体沿坐标轴的平行移动，数学上用向量表示（而非矩阵，因平移是加法运算）。
1. 定义与表示
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二维平移 ：用2×1向量t=[txty]\mathbf{t} = \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix}t=[txty]表示，txt_xtx、tyt_yty分别为x、y方向的位移量。点(x,y)(x,y)(x,y)平移后坐标为：
x′y′\]=\[xy\]+t=\[x+txy+ty\] \\begin{bmatrix} x' \\\\ y' \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\end{bmatrix} + \\mathbf{t} = \\begin{bmatrix} x + t_x \\\\ y + t_y \\end{bmatrix} \[x′y′\]=\[xy\]+t=\[x+txy+ty
-
三维平移 ：用3×1向量t=[txtytz]\mathbf{t} = \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \\ t_z \end{bmatrix}t= txtytz 表示，点(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)平移后坐标为：
x′y′z′\]=\[xyz\]+t \\begin{bmatrix} x' \\\\ y' \\\\ z' \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{bmatrix} + \\mathbf{t} x′y′z′ = xyz +t
多次平移的复合是向量加法（满足交换律）：若先平移t1\mathbf{t}_1t1，再平移t2\mathbf{t}_2t2，总平移向量为t=t1+t2\mathbf{t} = \mathbf{t}_1 + \mathbf{t}_2t=t1+t2。
四、齐次坐标与变换矩阵：统一旋转与平移
旋转是线性变换（矩阵乘法），平移是非线性变换（向量加法），无法直接用矩阵乘法统一。为解决这一问题，引入齐次坐标（增加一个维度），将平移"嵌入"矩阵，使刚体变换可表示为单一矩阵的乘法。
1. 二维齐次变换矩阵（3×3）
二维点的齐次坐标为(x,y,1)T(x, y, 1)^T(x,y,1)T（最后一维为"尺度因子"，固定为1）。旋转+平移的复合变换矩阵为：
T=[Rt0T1]=[cosθ−sinθtxsinθcosθty001] \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & t_x \\ \sin\theta & \cos\theta & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} T=[R0Tt1]= cosθsinθ0−sinθcosθ0txty1
- 作用 ：齐次点p=(x,y,1)T\mathbf{p} = (x, y, 1)^Tp=(x,y,1)T经变换后为：
p′=Tp=[xcosθ−ysinθ+txxsinθ+ycosθ+ty1] \mathbf{p}' = \mathbf{T} \mathbf{p} = \begin{bmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta + t_x \\ x\sin\theta + y\cos\theta + t_y \\ 1 \end{bmatrix} p′=Tp= xcosθ−ysinθ+txxsinθ+ycosθ+ty1
忽略最后一维即得二维坐标。
2. 三维齐次变换矩阵（4×4）
三维点的齐次坐标为(x,y,z,1)T(x, y, z, 1)^T(x,y,z,1)T，复合变换矩阵为：
T=[Rt0T1]=[r11r12r13txr21r22r23tyr31r32r33tz0001] \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} & t_x \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} & t_y \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} T=[R0Tt1]= r11r21r310r12r22r320r13r23r330txtytz1
- 作用 ：齐次点p=(x,y,z,1)T\mathbf{p} = (x, y, z, 1)^Tp=(x,y,z,1)T变换后为：
p′=Tp=[R[xyz]+[txtytz]1] \mathbf{p}' = \mathbf{T} \mathbf{p} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \\ t_z \end{bmatrix} \\ 1 \end{bmatrix} p′=Tp= R xyz + txtytz 1
3. 齐次变换矩阵的复合
多个刚体变换的复合等价于齐次变换矩阵的乘法（不满足交换律）。例如，先执行变换T1\mathbf{T}_1T1（旋转R1\mathbf{R}_1R1+平移t1\mathbf{t}_1t1），再执行T2\mathbf{T}_2T2（旋转R2\mathbf{R}_2R2+平移t2\mathbf{t}2t2），总变换为：
T总=T2⋅T1=[R2R1R2t1+t20T1] \mathbf{T}{\text{总}} = \mathbf{T}_2 \cdot \mathbf{T}_1 = \begin{bmatrix} \mathbf{R}_2\mathbf{R}_1 & \mathbf{R}_2\mathbf{t}_1 + \mathbf{t}_2 \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} T总=T2⋅T1=[R2R10TR2t1+t21]
五、工程应用与注意事项
旋转矩阵与平移矩阵的应用贯穿多个领域，其细节处理直接影响系统精度。
1. 相机位姿估计（外参矩阵）
在计算机视觉中，相机外参（Extrinsics）描述相机坐标系与世界坐标系的关系，即：
P相机=R⋅P世界+t \mathbf{P}{\text{相机}} = \mathbf{R} \cdot \mathbf{P}{\text{世界}} + \mathbf{t} P相机=R⋅P世界+t
其中R\mathbf{R}R为3×3旋转矩阵，t\mathbf{t}t为3×1平移向量。齐次形式为P相机,齐次=T⋅P世界,齐次\mathbf{P}{\text{相机,齐次}} = \mathbf{T} \cdot \mathbf{P}{\text{世界,齐次}}P相机,齐次=T⋅P世界,齐次，T\mathbf{T}T为4×4外参矩阵。
2. 机器人运动学
机器人末端执行器的位姿（位置+姿态）通过齐次变换矩阵描述。例如，机械臂各关节的变换矩阵相乘，可得到末端相对于基座的总变换，用于运动规划。
3. 关键注意事项
- 旋转方向与坐标系：需明确旋转是"右手系"还是"左手系"，以及旋转角的正负定义（通常逆时针为正）；
- 正交性验证 ：数值计算中，旋转矩阵可能因误差偏离正交性，需通过SVD分解进行正交化（如R=UVT\mathbf{R} = \mathbf{U}\mathbf{V}^TR=UVT，其中U,V\mathbf{U},\mathbf{V}U,V为SVD分解结果）；
- 变换顺序：旋转与平移的复合顺序不可交换，"先旋转后平移"与"先平移后旋转"结果不同（除非平移量为零）；
- 参数化选择：欧拉角易实现但有万向锁，四元数适合插值，轴角适合直观理解，需根据场景选择。
旋转矩阵与平移矩阵是描述刚体变换的数学基础：旋转矩阵通过正交性保证"保距保角"，平移向量通过加法描述位置偏移，二者通过齐次坐标统一为变换矩阵，实现高效的复合运算。从理论上的性质推导到工程中的位姿估计、机器人控制，其应用无处不在。掌握其定义、性质、参数化及复合规则，是理解和解决刚体运动问题的核心前提。