【倍增查找】
请在一个有序递增数组中（不存在相同元素），找出第一个>=x的值的位置，如果x在数组中不存在，请输出-1。
【输入】
第一行，一个整数n，代表数组元素个数（n <= 100）
第二行，n个整数，代表数组的n个递增元素（1<=数组元素值<=10^8）
第三行，一个整数x，代表要查找的数（0<=x<=10^8）
【输出】
x在数组中的位置，位置从1开始编号；没找到，输出-1。
【输入用例】
10
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
3
【输出用例】
2
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int a[110];
int n;
// 在数组a[1~n]中倍增查找x的位置
// 如果找到x，则返回x在数组a中的下标，否则返回-1
int search(int x)
{
int L=1,p=1;
while(p) { //如果还能扩增范围(l)就继续
if(L+p <= n && a[L+p] <= x){
L += p; //增加已知范围
p <<= 1; //成倍增长，相当于p*=2
}else {
p >>= 1; //缩小范围
}
}
return a[L] >= x ? L : -1;
}
int main()
{
int x; // 要查找的值
cin >> n;
for(int i=1; i<=n; i++){
cin >> a[i];
}
cin >> x;
cout << search(x);
return 0;
}
/*
【输入用例2】
10
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
20
【输出用例2】
-1
【输入用例3】
10
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
-1
【输出用例3】
1
【输入用例4】
5
1 3 5 7 9
5
【输出用例4】
3
【输入用例5】
4
2 4 6 8
2
【输出用例5】
1
【输入用例6】
6
1 2 3 4 5 10
10
【输出用例6】
6
*/斐波那契数列（倍增法）
【描述】关于斐波那契数列张三已经了解到不少知识，他发现除了其他方法能够实现精准输出斐波那契数列第几项外，利用倍增法似乎也能完成。请你帮助他设计一个倍增法输出斐波那契数列的程序。
【输入描述】输入一个数，表示需要输出第几项斐波那契数的值。
【输出描述】输出该项的斐波那契数值
【样例输入】
9
【样例输出】
F(9) = 34
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
// 快速倍增法计算斐波那契数
// 返回一个数对：{ F(n), F(n+1) }
// 使用 long long 以支持较大的数值
pair<long long, long long> fib_pair(int n) {
if (n == 0) {
// F(0) = 0, F(1) = 1
return {0, 1};
}
// 递归计算 n/2 的结果
auto p = fib_pair(n >> 1); // p = { F(k), F(k+1) } where k = n/2
long long a = p.first; // a = F(k)
long long b = p.second; // b = F(k+1)
// 计算 F(2k) = F(k) * [2*F(k+1) - F(k)]
long long c = a * (2 * b - a);
// 计算 F(2k+1) = F(k)^2 + F(k+1)^2
long long d = a * a + b * b;
// 根据 n 的奇偶性返回结果
if (n & 1) {
// 如果 n 是奇数: n = 2k + 1
// 返回 { F(2k+1), F(2k+2) }
// F(2k+2) = F(2k+1) + F(2k)
return {d, c + d};
} else {
// 如果 n 是偶数: n = 2k
// 返回 { F(2k), F(2k+1) }
return {c, d};
}
}
// 包装函数：给定 n，返回 F(n)
long long fibonacci(int n) {
return fib_pair(n).first;
}
int main() {
int n;
cin >> n;
cout << "F(" << n << ") = " << fibonacci(n) << endl;
return 0;
}
/*
【输入用例2】
0
【输出用例2】
F(0) = 0
【输入用例3】
15
【输出用例3】
F(15) = 610
【输入用例4】
25
【输出用例4】
F(25) = 75025
【输入用例5】
40
【输出用例5】
F(40) = 102334155
*/模逆元
【描述】模逆元是模运算中的乘法逆元素，对于整数 a 和模数 m，若存在整数 b 满足：a * b≡ 1 mod m，则称 b 为 a 在模 m 下的逆元，记作 a^-1
模逆元存在条件：a 与 m 必须互质（即 gcd(a,m)=1）。现要求你编写程序使用快速幂算法计算模逆元。
【输入描述】输入为两个正整数，底数a和模数m
【输出描述】输出为底数a在模数m下的逆元
【样例输入1】2 3
【样例输出1】2 在模 3 下的逆元是: 2
【样例输入2】2 4
【样例输出2】逆元不存在（可能原因：a和m不互质或m非质数）
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
// 快速幂算法计算 (base^exp) % mod
long long fastPow(long long base, long long exp, long long mod)
{
long long result = 1;
base %= mod; // 防止base过大
while (exp > 0)
{
if (exp & 1)
{ // 如果当前二进制位为1
result = (result * base) % mod;
}
base = (base * base) % mod; // 底数平方
exp >>= 1; // 指数右移一位
}
return result;
}
int main()
{
long long a, m;
cin >> a >> m;//输入底数a和模数m（用空格分隔）
// 检查模数是否为质数（此处假设m是质数）
// 实际应用中需要添加质数判断逻辑
// 计算模逆元 a^(m-2) mod m
long long inverse = fastPow(a, m-2, m);
// 验证结果是否有效
if (inverse * a % m == 1)
{
cout<< a << " 在模 "<< m << " 下的逆元是: " << inverse << endl;
}
else
{
cout << "逆元不存在（可能原因：a和m不互质或m非质数）" << endl;
}
return 0;
}
/*
【输入用例2】
3 7
【输出用例2】
3 在模 7 下的逆元是: 5
【输入用例3】
123456 1000003
【输出用例3】
123456 在模 1000003 下的逆元是: 414894
【输入用例4】
3 8
【输出用例4】
逆元不存在（可能原因：a和m不互质或m非质数）
【输入用例5】
4 2
【输出用例5】
逆元不存在（可能原因：a和m不互质或m非质数）
【输入用例6】
2 9
【输出用例6】
逆元不存在（可能原因：a和m不互质或m非质数）
*/静态区间最大值查询
【描述】使用ST算法求解数组区间内的最大值为多少
【输入描述】首先一行输入一个数字n，接着第二行输入n个数组元素，第三行输入需要查询的区间数q，接下来的q行输入q个区间。
【输出描述】输出不同的区间中最大值
【样例输入】
5
3 3 3 3 3
3
1 5
2 4
3 3
【样例输出】
区间1,5的最大值为: 3
区间2,4的最大值为: 3
区间3,3的最大值为: 3
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAX_N = 1010;
int st[MAX_N][20]; // st[i][j]表示从i开始长度为2^j的区间最大值
int arr[MAX_N];
// 构建ST表
void buildST(int n)
{
// 初始化长度为1的区间
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
st[i][0] = arr[i];
}
// 计算长度大于1的区间
for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
{
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
{
st[i][j] = max(st[i][j-1], st[i + (1 << (j-1))][j-1]);
}
}
}
// 查询区间[l,r]的最大值
int queryRMQ(int l, int r)
{
int len = r - l + 1;
int k = 0;
while ((1 << (k+1)) <= len) k++;
// 查询区间[l, l+2^k-1]和[r-2^k+1, r]的最大值
return max(st[l][k], st[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int main()
{
int n, q;
cin >> n;//输入数组大小n
//输入数组元素
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> arr[i];
}
buildST(n);
//输入查询次数q
cin >> q;
while (q--)
{
int l, r;
cin >> l >> r;
cout << "区间["<< l << ","<< r << "]的最大值为: " << queryRMQ(l, r) << endl;
}
return 0;
}
/*
【输入用例2】
1
5
1
1 1
【输出用例2】
区间[1,1]的最大值为: 5
【输入用例3】
6
1 2 3 4 5 6
2
1 6
3 5
【输出用例3】
区间[1,6]的最大值为: 6
区间[3,5]的最大值为: 5
【输入用例4】
5
9 7 5 3 1
2
1 5
2 4
【输出用例4】
区间[1,5]的最大值为: 9
区间[2,4]的最大值为: 7
【输入用例5】
8
3 9 2 7 5 8 1 6
3
1 8
4 6
2 5
【输出用例5】
区间[1,8]的最大值为: 9
区间[4,6]的最大值为: 8
区间[2,5]的最大值为: 9
【输入用例6】
7
-3 0 15 -8 25 7 -1
3
1 7
3 6
5 5
【输出用例6】
区间[1,7]的最大值为: 25
区间[3,6]的最大值为: 25
区间[5,5]的最大值为: 25
*/区间GCD查询
【描述】使用ST表来预处理数组，快速查询任意区间的最大公约数（GCD）
【输入描述】首先一行输入一个数字n，接着第二行输入n个数组元素，第三行输入需要查询的区间数q，接下来的q行输入q个区间。
【输出描述】输出q个区间内所有元素的最大公约数
【样例输入】
6
2 4 5 7 11 13
2
1 2
3 4
【样例输出】
区间1,2的GCD为: 2
区间3,4的GCD为: 1
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAX_N = 1010;
int st[MAX_N][20]; // st[i][j]表示从i开始长度为2^j的区间的GCD值
int arr[MAX_N];
// 计算两个数的最大公约数
int gcd(int a, int b) {
while (b) {
int temp = b;
b = a % b;
a = temp;
}
return a;
}
// 构建ST表
void buildST(int n) {
// 初始化长度为1的区间
for (int i = 1; i <= n; i++) {
st[i][0] = arr[i];
}
// 计算长度大于1的区间
for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
st[i][j] = gcd(st[i][j-1], st[i + (1 << (j-1))][j-1]);
}
}
}
// 查询区间[l,r]的最大公约数
int queryGCD(int l, int r) {
int len = r - l + 1;
int k = 0;
while ((1 << (k+1)) <= len) k++;
// 查询区间[l, l+2^k-1]和[r-2^k+1, r]的最大公约数
return gcd(st[l][k], st[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int main() {
int n, q;
//输入数组大小n
cin >> n;
//输入数组元素
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> arr[i];
}
buildST(n);
//输入查询次数q
cin >> q;
while (q--) {
int l, r;
cin >> l >> r;
cout << "区间["<< l << ","<< r << "]的GCD为: " << queryGCD(l, r) << endl;
}
return 0;
}
/*
【输入用例2】
1
5
1
1 1
【输出用例2】
区间[1,1]的GCD为: 5
【输入用例3】
5
0 0 0 0 0
3
1 5
2 3
5 5
【输出用例3】
区间[1,5]的GCD为: 0
区间[2,3]的GCD为: 0
区间[5,5]的GCD为: 0
【输入用例4】
7
0 6 0 9 0 12 0
3
1 7
2 5
4 6
【输出用例4】
区间[1,7]的GCD为: 3
区间[2,5]的GCD为: 3
区间[4,6]的GCD为: 3
【输入用例5】
4
123456 234567 345678 456789
2
1 4
2 3
【输出用例5】
区间[1,4]的GCD为: 3
区间[2,3]的GCD为: 3
【输入用例6】
8
4 8 12 16 20 24 28 32
3
1 8
2 6
5 7
【输出用例6】
区间[1,8]的GCD为: 4
区间[2,6]的GCD为: 4
区间[5,7]的GCD为: 4
*/