P2758 编辑距离 题解复盘

P2758 编辑距离 题解复盘

类型：字符串DP（编辑距离）

目标：将字符串 A 转换为字符串 B，使操作次数最少。

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基本信息

项目	内容
题目编号、来源	P2758 洛谷
训练层级	B普及
知识版块	字符串DP、编辑距离、二维DP

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解题前・关键信号识别

维度	分析
目标、约束、底层结构	将字符串 A 转换成字符串 B，允许删除、插入、修改三种操作，求最少操作次数。
数据规模	字符串长度 ≤2000，需要 O(n²) 算法。
候选算法和依据	每个状态都与两个字符串的前缀有关，使用二维DP。
复杂度预判	时间复杂度：O(nm) 空间复杂度：O(nm)

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解题后・外化复盘

维度	内容
状态定义	dp[i][j] 表示：将字符串 A 的前 i 个字符转换成字符串 B 的前 j 个字符所需要的最少操作次数。
状态转移	若 a[i-1]==b[j-1]： dp[i][j]=dp[i-1][j-1] 否则： dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1, dp[i-1][j-1]+1)
遍历顺序	按 i、j 正序遍历，因为每个状态依赖左、上、左上三个状态。
实现结构 / 核心思路	① 初始化第一行、第一列。 ② 双重循环枚举两个字符串前缀。 ③ 相同字符直接继承。 ④ 不同字符枚举删除、插入、修改三种操作。
错因回溯	① 一开始倒序遍历，状态依赖方向错误。 ② 使用 a[i]、b[j]，导致字符串越界，正确应使用 a[i-1]、b[j-1]。 ③ 初始化后仍从 (0,0) 开始更新，导致访问 dp[-1][*]。
边界和易错点	1. dp[i][0]=i（删除 i 次）。 2. dp[0][j]=j（插入 j 次）。 3. DP 从 (1,1) 开始。 4. 字符比较使用 a[i-1]、b[j-1]。
下次看到什么信号，我应该想到这个方法	看到： ① 字符串转换 ② 删除、插入、修改 ③ 求最少操作次数 想到：编辑距离（二维DP）。

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三种操作理解

假设：

A → B

始终是在修改第一个字符串 A。

删除

例如：

abc

↓

ac

删除：

b

对应：

dp[i-1][j]+1

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插入

例如：

ab

↓

abc

插入：

c

对应：

dp[i][j-1]+1

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修改

例如：

cat

↓

cut

修改：

a

↓

u

对应：

dp[i-1][j-1]+1

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为什么这样初始化？

第一列

例如：

abc

↓

空串

只能：

删除3次

所以：

dp[3][0]=3;

即：

dp[i][0]=i;

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第一行

例如：

空串

↓

abc

只能：

插入3次

所以：

dp[0][3]=3;

即：

dp[0][j]=j;

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为什么字符相同不用操作？

例如：

abc

abc

最后一个字符：

c
c

已经相同。

因此：

不用修改。

直接：

dp[i][j]=dp[i-1][j-1];

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AC完整代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int dp[2005][2005];

int main()
{
    string a,b;
    cin>>a>>b;

    int len1=a.size();
    int len2=b.size();

    for(int i=0;i<=len1;i++)
        dp[i][0]=i;

    for(int j=0;j<=len2;j++)
        dp[0][j]=j;

    for(int i=1;i<=len1;i++)
    {
        for(int j=1;j<=len2;j++)
        {
            if(a[i-1]==b[j-1])
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
            }
            else
            {
                dp[i][j]=min(
                    dp[i-1][j]+1,
                    min(
                        dp[i][j-1]+1,
                        dp[i-1][j-1]+1
                    )
                );
            }
        }
    }

    cout<<dp[len1][len2];

    return 0;
}

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模型总结

模型	状态	转移
LCS	dp[i][j]	max()
编辑距离	dp[i][j]	min()
路径DP	dp[i][j]	从相邻位置转移
区间DP	dp[l][r]	从左右区间转移

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LCS 与 编辑距离 对比

内容	LCS	编辑距离
求什么	最长公共子序列长度	最少操作次数
字符相同	+1	不加
字符不同	max()	min()
初始化	全部为0	第一行、第一列分别为0~n
状态	前缀最长公共子序列	前缀最少编辑次数

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记忆

看到：

① 字符串转换

② 删除

③ 插入

④ 修改

⑤ 求最少操作次数

↓

想到：

编辑距离

状态：

dp[i][j]

↓

字符相同：

dp[i-1][j-1]

↓

字符不同：

删除：

dp[i-1][j]+1

插入：

dp[i][j-1]+1

修改：

dp[i-1][j-1]+1

↓

取最小值