Hot 100 --- 除自身以外数组的乘积

本文概览：本文以LeetCode经典题目"除自身以外数组的乘积"为例，从暴力解法入手，分析不能使用除法导致的重复计算问题，再通过空间换时间的方式用右累计乘积数组优化，将时间复杂度从 O(n²) 优化到 O(n)

一、题目

二、题目分析

给定一个整数数组 nums，返回数组 res，其中 res[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积

目标：计算每个位置除自身以外所有元素的乘积，且不能使用除法

核心问题：如果不限制除法，只需要算出总乘积再除以当前元素即可。但题目要求不能使用除法，这就迫使我们换一种方式来计算

思路概览

Java实现代码如下

Java 复制代码

public int[] productExceptSelf(int[] nums) {
    // 1.创建一个结果数组
    int[] res = new int[nums.length];
    // 2.创建一个右边的累计乘积数组
    int[] right = new int[nums.length];
    int rightMul = 1;
    // 初始化右边的累计乘积数组的最后一个元素为1
    right[nums.length - 1] = rightMul;
    // 从右往左遍历，计算右边的累计乘积
    for (int i = nums.length - 2; i >= 0; i--) {
        rightMul *= nums[i + 1];
        right[i] = rightMul;
    }
    // 3.创建一个左边的累计乘积变量
    int leftMul = 1;
    // 4.从左往右遍历，计算结果数组
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        res[i] = leftMul * right[i];
        leftMul *= nums[i];
    }
    return res;
}

思路简要说明

右累计乘积数组 ：right[i] 记录位置 i 右侧所有元素的乘积，从右往左一次遍历预计算
左累计乘积变量 ：leftMul 记录位置 i 左侧所有元素的乘积，从左往右遍历时累乘即可，不需要额外数组
结果计算 ：res[i] = leftMul * right[i]，左侧乘积和右侧乘积相乘就是除自身以外的乘积

三、思路详解

暴力解法入手

最自然的想法是：如果可以使用除法，只需要算出所有元素的总乘积，然后对每个位置除以 nums[i] 就能得到结果，时间复杂度 O(n)

但题目要求不能使用除法，那最直接的做法就是：每遍历到一个位置，分别累乘它左边的所有元素和右边的所有元素，然后相乘

如果可以使用除法，右边的累计乘积只需要算一次，之后每次除以当前遍历到的值就行了。但不能使用除法，就导致每次都要重新累乘右边的所有元素，而右边每次其实只变化了一个乘数，却要重复计算整个右边的乘积

时间复杂度：O(n²)，对每个位置都要累乘左右两侧
核心瓶颈：右边的累计乘积每次只变化了一个乘数，却要重复计算整个乘积，做了大量无效计算
关键思考：能否把右边的累计乘积也像左边一样，用某种方式存储下来，避免重复计算？

左右累计乘积解法

思路分析

暴力解法的问题在于：左边的乘积可以从左往右累乘，每次只多乘一个数，不需要重复计算；但右边的乘积每次都要重新算，因为不能用除法把上一次的结果"除掉"一个数

那最简单而且自然的思路就是空间换时间 ：创建一个数组 right[]，用来记录每个位置对应的右边的累计乘积。只要从右往左遍历一次，就能得出这个数组。然后再对原数组从左往右遍历一次，左边的乘积用变量累乘，右边的乘积直接从 right[] 数组中 O(1) 读取

具体步骤

预计算右累计乘积数组 ：从右往左遍历，right[i] = nums[i+1] × nums[i+2] × ... × nums[n-1]，即位置 i 右侧所有元素的乘积。用累乘的方式，rightMul *= nums[i+1]，每次只多乘一个数
计算结果数组 ：从左往右遍历，leftMul 累乘左侧元素，res[i] = leftMul * right[i]，然后 leftMul *= nums[i]

为什么左边用变量、右边用数组？

因为我们的遍历方向是从左往右，左边的乘积可以随着遍历逐步累乘，不需要存储历史值；而右边的乘积需要提前算好，因为从左往右遍历时，右边的乘积是"未来"的值，还没算到，所以必须预先存储

举例说明

以 nums = [1, 2, 3, 4] 为例

第一步：计算 right 数组

从右往左遍历：

i	nums $i+1$	rightMul	right $i$
3	-	1	right $3$ = 1
2	4	1×4=4	right $2$ = 4
1	3	4×3=12	right $1$ = 12
0	2	12×2=24	right $0$ = 24

right = [24, 12, 4, 1]

第二步：计算结果数组

从左往右遍历：

i	leftMul	right $i$	res $i$ = leftMul × right $i$	leftMul 更新
0	1	24	1×24=24	1×1=1
1	1	12	1×12=12	1×2=2
2	2	4	2×4=8	2×3=6
3	6	1	6×1=6	6×4=24

最终结果为 [24, 12, 8, 6]

验证：2×3×4=24, 1×3×4=12, 1×2×4=8, 1×2×3=6，正确

时间复杂度：O(n)，两次遍历
空间复杂度 ：O(n)，right 数组占用额外空间（结果数组 res 不算额外空间）