n^5 和 n 的个位数是否总相等？

背景

$$05=00^5=0$$ 05=0
$$15=11^5=1$$ 15=1
$$25=322^5=32$$ 25=32
$$35=2433^5=243$$ 35=243
$$45=210=10244^5=2^\{10\}=1024$$ 45=210=1024
$$\cdots \backslash cdots$$ ⋯

看起来对自然数 $nn$ n 而言， $n5\equiv n(mod10)\; n^5\backslash equiv\; n\backslash pmod\{10\}$ n5≡n(mod10)，那么这个猜测是否正确呢？

正文

题目：对任意自然数 $nn$ n， $n5\equiv n(mod10)\; n^5\backslash equiv\; n\backslash pmod\{10\}$ n5≡n(mod10) 是否总是成立，请证明其成立或者找到反例

分析

在背景那一小节，我们验证了 $n=0,1,2,3,4n=0,1,2,3,4$ n=0,1,2,3,4 时， $n5\equiv n(mod10)\; n^5\backslash equiv\; n\backslash pmod\{10\}$ n5≡n(mod10) 均成立。假如 $n5\equiv n(mod10)\; n^5\backslash equiv\; n\backslash pmod\{10\}$ n5≡n(mod10) 总是成立的话，也许可以用数学归纳法证明。

$n=0n=0$ n=0 时，显然成立。

假设 $n=kn=k$ n=k 时， $k5\equiv k(mod10)\; k^5\backslash equiv\; k\backslash pmod\{10\}$ k5≡k(mod10) 成立，那么我们的目标是证明(或者找到反例来证伪) $(k+1)5\equiv k+1(mod10)(k+1)^5\backslash equiv\; k+1\backslash pmod\{10\}$ (k+1)5≡k+1(mod10)

用二项式定理，展开 $(k+1)5(k+1)^5$ (k+1)5，可得
$$(k+1)5(k+1)^5$$ (k+1)5
$$=C50k015+C51k114+C52k213+C53k312+C54k411+C55k510\; =C\_5^0\; k^0\; 1^5+\; C\_5^1\; k^1\; 1^4\; +C\_5^2\; k^2\; 1^3+C\_5^3\; k^3\; 1^2+C\_5^4\; k^4\; 1^1+C\_5^5\; k^5\; 1^0$$ =C50k015+C51k114+C52k213+C53k312+C54k411+C55k510
$$=C50k0+C51k1+C52k2+C53k3+C54k4+C55k5\; =C\_5^0\; k^0\; +\; C\_5^1\; k^1\; +C\_5^2\; k^2\; +C\_5^3\; k^3\; +C\_5^4\; k^4\; +C\_5^5\; k^5$$ =C50k0+C51k1+C52k2+C53k3+C54k4+C55k5
$$=k0+5k1+10k2+10k3+5k4+k5=k^0\; +\; 5\; k^1\; +10\; k^2\; +10\; k^3\; +5\; k^4\; +\; k^5$$ =k0+5k1+10k2+10k3+5k4+k5
$$=1+5k+10k2+10k3+5k4+k5=1\; +\; 5\; k\; +10\; k^2\; +10\; k^3\; +5\; k^4\; +\; k^5$$ =1+5k+10k2+10k3+5k4+k5

我们关心的是 $k5+1k^5+1$ k5+1 和 $k+1k+1$ k+1 的差值是否为 $1010$ 10 的倍数，那么我们来计算两者的差值 ⬇️
$$(k+1)5-(k+1)(k+1)^5-(k+1)$$ (k+1)5−(k+1)
$$=1+5k+10k2+10k3+5k4+k5-(k+1)=1\; +\; 5\; k\; +10\; k^2\; +10\; k^3\; +5\; k^4\; +\; k^5\; -\; (k+1)$$ =1+5k+10k2+10k3+5k4+k5−(k+1)
$$=5k+10k2+10k3+5k4+(k5-k)=5\; k\; +10\; k^2\; +10\; k^3\; +5\; k^4\; +\; (k^5-k)$$ =5k+10k2+10k3+5k4+(k5−k)

• 由归纳假设 $k5\equiv k(mod10)\; k^5\backslash equiv\; k\backslash pmod\{10\}$ k5≡k(mod10)，所以 $10\mid (k5-k)10\backslash mid(k^5-k)$ 10∣(k5−k)，可以忽略 $(k5-k)(k^5-k)$ (k5−k)
• $10\mid 10k210\backslash mid\; 10\; k^2$ 10∣10k2，可以忽略 $10k210\; k^2$ 10k2
• $10\mid 10k310\backslash mid\; 10\; k^3$ 10∣10k3，可以忽略 $10k310\; k^3$ 10k3

那么只要检查 $5k+5k45\; k\; +5\; k^4$ 5k+5k4 是否总是 $1010$ 10 的倍数就行了。
$$5k+5k4=5k(1+k3)5\; k\; +5\; k^4=5\; k\; (1\; +\; k^3)$$ 5k+5k4=5k(1+k3)

• 如果 $kk$ k 是奇数，那么 $2\mid (1+k3)2\backslash mid\; (1+k^3)$ 2∣(1+k3)，所以 $10\mid 5k(1+k3)10\backslash mid\; 5\; k\; (1\; +\; k^3)$ 10∣5k(1+k3)
• 如果 $kk$ k 是偶数，那么 $10\mid 5k10\backslash mid\; 5k$ 10∣5k，所以 $10\mid 5k(1+k3)10\backslash mid\; 5\; k\; (1\; +\; k^3)$ 10∣5k(1+k3)

综上 $10\mid ((k+1)5-(k+1))10\backslash mid\; ((k+1)^5-(k+1))$ 10∣((k+1)5−(k+1))。那么 $n5\equiv n(mod10)\; n^5\backslash equiv\; n\; \backslash pmod\{10\}$ n5≡n(mod10) 对 $n=k+1n=k+1$ n=k+1 也成立。至此，我们用数学归纳法证明了 $n5\equiv n(mod10)\; n^5\backslash equiv\; n\backslash pmod\{10\}$ n5≡n(mod10) 对任意自然数都成立。

程序验证

由于 $n5n^5$ n5 的个位数只受到 $nn$ n 的个位数的影响，所以我们只需要验证 $n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 的情况。请将以下代码保存为 verify.py

for n in range(10):
    print("n: %d, n ** 5: %d, n ** 5 - n: %d" % (n, n ** 5, n ** 5 - n))

使用如下命令可以运行 verify.py

python3 verify.py

运行结果如下

n: 0, n ** 5: 0, n ** 5 - n: 0
n: 1, n ** 5: 1, n ** 5 - n: 0
n: 2, n ** 5: 32, n ** 5 - n: 30
n: 3, n ** 5: 243, n ** 5 - n: 240
n: 4, n ** 5: 1024, n ** 5 - n: 1020
n: 5, n ** 5: 3125, n ** 5 - n: 3120
n: 6, n ** 5: 7776, n ** 5 - n: 7770
n: 7, n ** 5: 16807, n ** 5 - n: 16800
n: 8, n ** 5: 32768, n ** 5 - n: 32760
n: 9, n ** 5: 59049, n ** 5 - n: 59040

结果符合预期