算法札记：Andrew算法求凸包

学习斜率优化发现要用到凸包，一查发现国外管斜率优化叫凸包优化

‌**具体怎么求凸包？**‌

以最常见的‌求下凸壳 ‌为例（对应DP取min的情况），假设我们的决策点 x 坐标是单调递增的。

‌**核心思想：维护一个单调队列，保证队列中相邻两点连线的斜率是单调递增的。**‌

想象你在从左到右扫描这些点，手里拿着一根线，要把它绷紧在所有点的下方：

1. ‌准备阶段 ‌：把所有决策点按 x 坐标从小到大排好序（如果DP过程本身就让 x 单调递增，那就不用额外排序了）。

2. ‌逐个加入点 ‌：用一个栈或队列来维护凸包上的点。每加入一个新点 C，就检查它和栈顶两个点 A、B 的关系。

3. ‌判断凹点并剔除 ‌：计算 AB 连线的斜率 k1 和 BC 连线的斜率 k2。

   • 如果 k1 < k2，说明 B 是凸点，保留它，把 C 入栈。
   • 如果 k1 >= k2，说明 B 是凹点（或者共线），它不可能成为最优决策点，把 B 弹出栈，然后继续用新的栈顶两个点和 C 比较，直到满足 k1 < k2 为止。

4. ‌重复‌：处理完所有点后，栈里剩下的点就是下凸壳上的点，按顺序排列。

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‌用叉积来判断，避免除法精度问题‌

实际写代码时，我们一般不用真的算斜率（除法会有精度问题），而是用‌叉积‌来判断三个点的凹凸关系。

对于点 A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，计算向量 AB 和 BC 的叉积：

cross = (x2 - x1) * (y3 - y2) - (y2 - y1) * (x3 - x2)

• 如果 cross > 0，说明 B 是凸点（下凸壳保留）。
• 如果 cross <= 0，说明 B 是凹点或共线，应该弹出。

这就是Andrew算法求凸包的核心逻辑，在斜率优化DP里我们通常只维护下半部分凸壳。