【数据结构】二叉排序树（BST）的定义与操作

考点频率 ：★★★★★（数据结构必考，选择题常考BST的性质与插入/删除操作）

难度：⭐⭐⭐

建议：重点掌握BST的递归定义和中序遍历有序性，理解插入和删除操作的三种情况

1️⃣ 什么是二叉排序树？

二叉排序树（Binary Sort Tree，BST） 又称二叉查找树 ，是一种特殊的二叉树，它满足以下递归定义：

对于树中的任意一个节点：

若左子树非空，则左子树上所有节点 的值都小于该节点的值

若右子树非空，则右子树上所有节点 的值都大于该节点的值

左子树和右子树本身也都是二叉排序树
关键点 ：不是"左子节点小于父节点"就够了，而是左子树上所有节点都小于父节点，右子树上所有节点都大于父节点。这是BST与普通二叉树最根本的区别。

打个比方 ：二叉排序树就像一个有序的档案柜------每个抽屉里的所有文件都比左边的抽屉大，比右边的抽屉小。你要找一份文件，只需要从最上面的抽屉开始，根据文件编号决定往左走还是往右走，不需要翻遍所有抽屉。

2️⃣ BST的核心性质

性质	说明
中序遍历有序	对BST进行中序遍历，得到的序列是递增有序的
查找效率高	平均时间复杂度 O(log⁡n)O(\log n)O(logn)（树平衡时）
动态结构	支持插入和删除操作，且不需要移动大量数据

中序遍历有序 是BST最重要的性质，也是软考中最常考的点。例如，一棵BST的中序遍历结果为 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9，则可以直接判断这棵树是否满足BST的定义。

3️⃣ BST的查找操作

查找思想：

从根节点开始，如果树为空，查找失败
如果当前节点的值等于目标值，查找成功
如果目标值小于当前节点的值，递归查找左子树
如果目标值大于当前节点的值，递归查找右子树

c 复制代码

BSTNode* Search(BSTNode* root, int key) {
    if (root == NULL || root->data == key) {
        return root;
    }
    if (key < root->data) {
        return Search(root->lchild, key);
    } else {
        return Search(root->rchild, key);
    }
}

时间复杂度：

最好情况（完全平衡）：O(log⁡n)O(\log n)O(logn)
最坏情况（退化成链表）：O(n)O(n)O(n)

4️⃣ BST的插入操作

插入思想：

如果树为空，创建新节点作为根节点
如果新节点的值小于当前节点，递归插入左子树
如果新节点的值大于当前节点，递归插入右子树
插入的新节点一定是叶子节点

c 复制代码

BSTNode* Insert(BSTNode* root, int key) {
    if (root == NULL) {
        return CreateNode(key);
    }
    if (key < root->data) {
        root->lchild = Insert(root->lchild, key);
    } else if (key > root->data) {
        root->rchild = Insert(root->rchild, key);
    }
    // 如果 key == root->data，通常不插入（BST中不允许重复值）
    return root;
}

示例：依次插入 5, 3, 7, 1, 4, 6, 8

复制代码

5️⃣ BST的删除操作（难点）

删除操作是BST中最复杂的操作，需要分三种情况讨论（软考必考）：

情况一：删除叶子节点

直接删除该节点，将其父节点的对应指针置为 NULL。

复制代码

删除前：  5       删除后：  5
        / \              / \
       3   7            3   7
      / \              / \
     1   4            1   4

删除节点 1（叶子）：直接删掉。

情况二：删除只有左子树或只有右子树的节点

用该节点的唯一子节点替换它。

复制代码

删除前：  5       删除后：  5
        / \              / \
       3   7            4   7
      / \              / \
     1   4            1

删除节点 3（只有右子树）：用 4 替换 3 的位置。

情况三：删除同时有左子树和右子树的节点

方法：用该节点的前驱节点 或后继节点来替换它。

前驱节点 ：左子树中的最右节点（即左子树中值最大的节点）
后继节点 ：右子树中的最左节点（即右子树中值最小的节点）

替换规则 ：找到前驱或后继节点后，用它的值覆盖待删除节点的值，然后递归删除那个前驱或后继节点。这样可以保证替换后仍然保持BST的性质。通常选择前驱和后继中任意一个都可以，但软考中更常用前驱节点（左子树的最右节点）。

复制代码

删除前：  5       删除后：  4
        / \              / \
       3   7            3   7
      / \              / \
     1   4            1

删除节点 5（根节点）：
左子树 [3,1,4] 中的最右节点是 4
用 4 替换 5 的位置，然后删除原来的 4

6️⃣ BST查找、插入、删除的时间复杂度

操作	平均情况（树平衡）	最坏情况（树退化为链表）
查找	O(log⁡n)O(\log n)O(logn)	O(n)O(n)O(n)
插入	O(log⁡n)O(\log n)O(logn)	O(n)O(n)O(n)
删除	O(log⁡n)O(\log n)O(logn)	O(n)O(n)O(n)

7️⃣ 经典例题

例题1：对一棵二叉排序树进行中序遍历，得到的序列一定是（　）。

A. 递增有序的

B. 递减有序的

C. 无序的

D. 按插入顺序排列的

解析：BST的中序遍历结果是递增有序 的序列。选 A。

例题2：在二叉排序树中，删除一个节点时，如果该节点同时有左子树和右子树，通常用（　）来替换它。

A. 左子树的最左节点

B. 左子树的最右节点

C. 右子树的最右节点

D. 直接删除

解析：删除同时有左右子树的节点时，用前驱节点 （左子树的最右节点）或后继节点 （右子树的最左节点）来替换。选 B（因为软考中通常选用前驱节点）。

例题3（判断）：二叉排序树的插入操作一定是在叶子节点进行的。（　）

解析：正确。每次插入新节点时，都是从根节点开始比较，最终找到一个空位置（NULL），在该位置创建新节点，因此新插入的节点一定是叶子节点。

8️⃣ 记忆口诀

BST，左小右大中序排，查找插入效率高。

插入永远是叶子，删除分三种：

叶子直接删，单孩用孩替，双孩找前驱。

9️⃣ 小测验（评论区对答案）

依次插入 10, 5, 15, 3, 7, 12, 18 构造一棵BST，然后删除节点 10。删除后，根节点的值是（　）。（提示：使用前驱节点替换）

A. 7

B. 5

C. 12

D. 15

答案下期公布。

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考点频率 ：★★★★★（数据结构必考，选择题常考BST的性质与插入/删除操作）

难度：⭐⭐⭐

建议：重点掌握BST的递归定义和中序遍历有序性，理解插入和删除操作的三种情况

1️⃣ 什么是二叉排序树？

二叉排序树（Binary Sort Tree，BST） 又称二叉查找树 ，是一种特殊的二叉树，它满足以下递归定义：

对于树中的任意一个节点：

若左子树非空，则左子树上所有节点 的值都小于该节点的值

若右子树非空，则右子树上所有节点 的值都大于该节点的值

左子树和右子树本身也都是二叉排序树
关键点 ：不是"左子节点小于父节点"就够了，而是左子树上所有节点都小于父节点，右子树上所有节点都大于父节点。这是BST与普通二叉树最根本的区别。

2️⃣ BST的核心性质

性质	说明
中序遍历有序	对BST进行中序遍历，得到的序列是递增有序的
查找效率高	平均时间复杂度 O(log⁡n)O(\log n)O(logn)（树平衡时）
动态结构	支持插入和删除操作，且不需要移动大量数据

中序遍历有序 是BST最重要的性质，也是软考中最常考的点。例如，一棵BST的中序遍历结果为 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9，则可以直接判断这棵树是否满足BST的定义。

3️⃣ BST的查找操作

查找思想：

从根节点开始，如果树为空，查找失败
如果当前节点的值等于目标值，查找成功
如果目标值小于当前节点的值，递归查找左子树
如果目标值大于当前节点的值，递归查找右子树

c 复制代码

BSTNode* Search(BSTNode* root, int key) {
    if (root == NULL || root->data == key) {
        return root;
    }
    if (key < root->data) {
        return Search(root->lchild, key);
    } else {
        return Search(root->rchild, key);
    }
}

时间复杂度：

最好情况（完全平衡）：O(log⁡n)O(\log n)O(logn)
最坏情况（退化成链表）：O(n)O(n)O(n)

4️⃣ BST的插入操作

插入思想：

如果树为空，创建新节点作为根节点
如果新节点的值小于当前节点，递归插入左子树
如果新节点的值大于当前节点，递归插入右子树
插入的新节点一定是叶子节点

c 复制代码

BSTNode* Insert(BSTNode* root, int key) {
    if (root == NULL) {
        return CreateNode(key);
    }
    if (key < root->data) {
        root->lchild = Insert(root->lchild, key);
    } else if (key > root->data) {
        root->rchild = Insert(root->rchild, key);
    }
    // 如果 key == root->data，通常不插入（BST中不允许重复值）
    return root;
}

示例：依次插入 5, 3, 7, 1, 4, 6, 8

复制代码

5️⃣ BST的删除操作（难点）

删除操作是BST中最复杂的操作，需要分三种情况讨论（软考必考）：

情况一：删除叶子节点

直接删除该节点，将其父节点的对应指针置为 NULL。

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删除前：  5       删除后：  5
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       3   7            3   7
      / \              / \
     1   4            1   4

删除节点 1（叶子）：直接删掉。

情况二：删除只有左子树或只有右子树的节点

用该节点的唯一子节点替换它。

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删除前：  5       删除后：  5
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       3   7            4   7
      / \              / \
     1   4            1

删除节点 3（只有右子树）：用 4 替换 3 的位置。

情况三：删除同时有左子树和右子树的节点

方法：用该节点的前驱节点 或后继节点来替换它。

前驱节点 ：左子树中的最右节点（即左子树中值最大的节点）
后继节点 ：右子树中的最左节点（即右子树中值最小的节点）

替换规则 ：找到前驱或后继节点后，用它的值覆盖待删除节点的值，然后递归删除那个前驱或后继节点。这样可以保证替换后仍然保持BST的性质。通常选择前驱和后继中任意一个都可以，但软考中更常用前驱节点（左子树的最右节点）。

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删除前：  5       删除后：  4
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       3   7            3   7
      / \              / \
     1   4            1

删除节点 5（根节点）：
左子树 [3,1,4] 中的最右节点是 4
用 4 替换 5 的位置，然后删除原来的 4

6️⃣ BST查找、插入、删除的时间复杂度

操作	平均情况（树平衡）	最坏情况（树退化为链表）
查找	O(log⁡n)O(\log n)O(logn)	O(n)O(n)O(n)
插入	O(log⁡n)O(\log n)O(logn)	O(n)O(n)O(n)
删除	O(log⁡n)O(\log n)O(logn)	O(n)O(n)O(n)

7️⃣ 经典例题

例题1：对一棵二叉排序树进行中序遍历，得到的序列一定是（　）。

A. 递增有序的

B. 递减有序的

C. 无序的

D. 按插入顺序排列的

解析：BST的中序遍历结果是递增有序 的序列。选 A。

例题2：在二叉排序树中，删除一个节点时，如果该节点同时有左子树和右子树，通常用（　）来替换它。

A. 左子树的最左节点

B. 左子树的最右节点

C. 右子树的最右节点

D. 直接删除

例题3（判断）：二叉排序树的插入操作一定是在叶子节点进行的。（　）

解析：正确。每次插入新节点时，都是从根节点开始比较，最终找到一个空位置（NULL），在该位置创建新节点，因此新插入的节点一定是叶子节点。

8️⃣ 记忆口诀

BST，左小右大中序排，查找插入效率高。

插入永远是叶子，删除分三种：

叶子直接删，单孩用孩替，双孩找前驱。

9️⃣ 小测验（评论区对答案）

依次插入 10, 5, 15, 3, 7, 12, 18 构造一棵BST，然后删除节点 10。删除后，根节点的值是（　）。（提示：使用前驱节点替换）

A. 7

B. 5

C. 12

D. 15

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