动手学深度学习|线性神经网络：线性回归的实现

前言

线性回归模型是在目前的机器学习领域入门级的必修课，其基本框架简单易上手，基本逻辑清晰好理解，本文主要来进行介绍线性回归的基本思想与实现过程。

1.线性回归的基本思想

线性回归可以追溯到19世纪初，它在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。线性回归基于几个简单的假设：首先，假设自变量x和因变量y之间的关系是线性的，即y可以表示为x中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

在高维数据之中，我们通常表示模型如下：

，

其中，权重和偏置是在模型中需要被进行预测的量。其实简而言之，线性回归的思路就是在寻找x与y之间的关系，确定具体的系数，将之前用于定性分析的"正相关"和"负相关"转为定量描述，探究到底相关程度有多少的一个问题。

基于真实值与预测值之间存在误差，我们需要设计损失函数来比较不同参数预测下的精度问题，本文中设计的误差函数为平方误差函数，表达式如下：

误差函数越小，则代表我们预测得到的参数越精准，换而言之，在模型训练过程中，就是为了寻找一组参数，这组参数可以最小化在所有样本上的总损失。

朝着最小化总损失的这个目标，在计算过程中，我们采用小批量随机梯度下降法 进行迭代，以寻找最优参数，算法的步骤如下：（1）初始化模型参数的值，如随机初始化 ；（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式：

，

其中，代表小批量 中包含的样本，计算其数量后用于进行平均，代表学习率，可以简单理解为没有迭代更新所探索的步长。

在实际问题分析中，线性回归问题一般需要考虑噪声，特别的，在正态噪声（高斯噪声）下的线性回归模型便会变为：

其中，噪声服从正态分布，在后续文章中我们将详细推导在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。

基于上述的简单介绍，我们已经大概了解了线性回归的基本思路，就是在寻找最小化损失函数的道路上，利用小批量梯度随机下降法去寻找自变量与因变量之间的线性关系。

2.线性回归的实现

本小节将按照"生成数据集→读取数据集→初始化模型参数→定义模型→定义损失函数→定义优化算法→训练"的基本逻辑框架进行展开，逐部分拆解线性回归问题的实现。

2.1生成数据集

python 复制代码

# 生成数据集

def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save
    """生成y=Xw+b+噪声"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
    y = torch.matmul(X, w) + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
    return X, y.reshape((-1, 1))

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

代码解读：

①本数据集中共基于标准正态分布生成了1000组随机样本；

②本次模拟中的权重真值为2与-3.4，偏置真值为4.2；

③本次模拟中的噪声为服从期望为0，方差为0.01的高斯分布的高斯噪声。

2.2读取数据集

python 复制代码

#读取数据集

def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(
            indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

代码解读：

①数据读取过程中采用随机读取，并无特定顺序；

②遍历过程中选择按批次遍历，每一批次中的样本数量提前预设好；

③代码中还运用了"边界保护"，以解决样本总数无法被整除问题。

2.3初始化模型参数

python 复制代码

#初始化模型参数

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

代码解读：

①模型参数首先进行初始化，相当于寻找一个模型进行迭代的起点；

②此处参数的设置是来自于期望为0，方差为0.01的正态分布，而参数则设置为0。

2.4定义模型

python 复制代码

#定义模型

def linreg(X, w, b):  #@save
    """线性回归模型"""
    return torch.matmul(X, w) + b

代码解读：

采用矩阵-向量乘法构建线性回归模型。

2.5定义损失函数

python 复制代码

#定义损失函数

def squared_loss(y_hat, y):  #@save
    """均方损失"""
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

代码解读：

采用均方误差函数作为损失函数。

2.6定义优化算法

python 复制代码

#定义优化算法

def sgd(params, lr, batch_size):  #@save
    """小批量随机梯度下降"""
    with torch.no_grad():
        for param in params:
            param -= lr * param.grad / batch_size
            param.grad.zero_()

代码解读：

采用小批量随机梯度下降法作为优化迭代算法。

2.7训练

python 复制代码

#训练

lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss

for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失
        # 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起，
        # 并以此计算关于[w,b]的梯度
        l.sum().backward()
        sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

代码解读：

①设置学习率与迭代轮次之后便可以开始计算与寻找，不断更新参数后便可以得到最终结果；

②代码中可以自动更新梯度；

③最后输出每一轮次的损失函数的函数值，可以观察得到，函数值在不断变小。

3.小结

经过上述的介绍，本文便完成了对于线性回归的介绍，本专栏系列文章均参考李沐老师的《动手学深度学习（PyTorch版）》，线性回归模型逻辑清晰，是作为开始学习深度学习的入门课程。