数据结构 | 二叉搜索树

海清河晏1112026-07-08 18:05

一、二叉搜索树定义

1. 标准定义

二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST ）是在普通二叉树基础上增加有序约束的特殊二叉树，由 n（n≥0）个节点构成。空BST 无任何节点；非空BST所有节点关键字不允许重复，且必须遵守全局有序规则。

2. 核心性质

整棵树统一有序判定规则：任意节点，其左子树 内所有节点关键字 < 当前节点关键字 < 其右子树内所有节点关键字。

补充考点：对二叉搜索树进行中序 遍历，输出序列一定是升序 ；该特征是区分普通二叉树与BST最直观判定依据，考试高频出题点。

3. 专业基础名词：直接前驱、直接后继

直接前驱 指中序遍历序列里，当前节点的前一个节点，分三类查找情况：

  • 情况 1：当前节点左子树不为空，前驱为左子树中数值最大的节点，持续向右遍历左子树末端即可
  • 情况 2：当前节点左子树 为空，向上回溯父节点，若回溯节点关键字小于当前节点，继续向上回溯；若回溯节点关键字大于当前节点，该节点即为前驱
  • 情况 3：持续回溯直至父节点为 NULL，代表该节点无直接前驱（序列第一个元素）

直接后继 指中序遍历序列里，当前节点的下一个节点，分三类查找情况：

  • 情况 1：当前节点右子树不为空，后继为右子树中数值最小的节点，持续向左遍历右子树末端即可
  • 情况 2：当前节点右子树 为空，向上回溯父节点，若回溯节点关键字小于当前节点，继续向上回溯；若回溯节点关键字大于当前节点，该节点即为后继
  • 情况 3：持续回溯直至父节点为 NULL，代表该节点无直接后继（序列最后一个元素）

二、BST 存储结构

1. 存储设计思路

普通二叉树二叉链表仅存储左右孩子指针，无法向上回溯祖先节点，获取前驱、后继逻辑繁琐。本文采用三叉链表 存储结构，在原有左、右孩子指针基础上新增parent父节点指针，支持双向查找，大幅简化删除、前驱后继查询逻辑。

2. 结构体定义

分为两层结构体：BSTNode 为单个节点单元，BSTree封装根节点指针统一管理整棵树。

cpp 复制代码 
// 保持原样使用前置声明
typedef int ELEMTYPE; // 假设元素类型为int

struct BSTNode {
    ELEMTYPE data;
    BSTNode* leftchild;
    BSTNode* rightchild;
    BSTNode* parent;
};

struct BSTree {
    BSTNode* root;
};

3. 三叉链表优缺点

优点：支持向上回溯父节点，快速获取前驱、后继；删除双分支节点逻辑简化，无需递归遍历查找父节点。

缺点：每个节点多存储一根父指针 ，内存开销更大；增删节点时需同步维护parent指针，操作不当极易出现野指针、指针指向错乱。

适配范围：频繁执行删除、查找前驱 / 后继的业务场景；仅做单纯查找、遍历场景推荐使用二叉链表节省内存。

三、底层工具函数

工具函数为业务操作提供底层支撑，仅由普通对外函数内部调用，不对外提供使用。

1. BuyNode 创建新节点

实现思路：动态分配节点内存，使用 C++ new 创建节点，构造函数自动初始化左右孩子、父指针全部置空，返回新节点地址。

代码实现

cpp 复制代码 
// 申请新节点
BSTNode* BuyNode()
{
	BSTNode* pnewnode = new BSTNode;
	return pnewnode;
}

2. Get_PreNode 获取当前节点直接前驱

实现思路： 断言校验节点非空；分两大分支处理，左子树 存在取左子树最大值；左子树 不存在则向上回溯父节点匹配前驱规则。

代码实现

cpp 复制代码 
BSTNode* Get_PreNode(BSTNode* node) {
	assert(node != nullptr);

	BSTNode* p = node;
	//当前节点左子树不为空，找左子树最大值
	if (node->leftchild != nullptr) {
		p = p->leftchild;
	  	while (p->rightchild != nullptr)
			p = p->rightchild;
	}
	//当前节点左子树为空，向上回溯父节点
	else {
		p = p->parent;
		while (p != nullptr && p->data > node->data) {
			p = p->parent;
		}
		//循环退出两种情况：找到前驱 / 回溯至nullptr无先驱
	}
	return p;
}

3. Get_NextNode 获取当前节点直接后继

实现思路： 断言校验节点非空；分两大分支处理，右子树 存在取右子树最小值；右子树 不存在则向上回溯父节点匹配后继规则。

代码实现

cpp 复制代码 
BSTNode* Get_NextNode(BSTNode* node) {
	assert(node != nullptr);

	BSTNode* p = node;
	//当前节点右子树不为空，找右子树最小值
	if (node->rightchild != nullptr) {
		p = p->rightchild;
		while (p->leftchild != nullptr)
			p = p->leftchild;
	}
	//当前节点右子树为空，向上回溯父节点
	else {
		p = p->parent;
		while (p!= nullptr&&p->data<node->data) {
			p = p->parent;
		}
		//循环退出两种情况：找到后继 / 回溯至nullptr无后继
	}
	return p;
}

四、BST 五大基础操作

1. Init_BST 初始化二叉搜索树

实现思路： 断言校验树结构体指针合法；将根指针置空，代表空树。

代码实现

cpp 复制代码 
BSTNode* Init_BST(BSTree* pTree) {
	assert(pTree != nullptr);
	pTree->root = nullptr;

	return pTree->root;
}

2. Insert_BST 插入节点

实现思路

  • 断言校验树指针，单独处理空树场景，直接新建节点作为根节点
  • 双指针遍历：p 遍历查找插入位置，pp 记录 p 的父节点
  • 遍历过程匹配有序规则：待插入值小于当前节点往左走，大于则往右走
  • 若循环找到等值节点，BST不允许重复值，直接返回
  • 创建新节点，根据大小关系挂载至父节点左 / 右分支，绑定父子指针

代码实现

cpp 复制代码 
bool Insert_BST(BSTree* pTree, ELEMTYPE val) {
	assert(pTree != nullptr);
	//空树直接创建根节点
	if (pTree->root == nullptr) {
		BSTNode* pnewnode = BuyNode();
		pnewnode->data = val;

		pTree->root = pnewnode;
		pnewnode->parent = nullptr;
		return true;
	}
	//双指针遍历寻找插入位置
	BSTNode* p=pTree->root;
	BSTNode* pp=nullptr;
	while (p!=nullptr&&p->data!=val) {
		pp = p;
		if (p->data > val) 
			p = p->leftchild;
		else 
			p = p->rightchild;
	}
	//存在重复节点，插入失败
	if (p != nullptr && p->data == val)
		return false;

	BSTNode* pnewnode = BuyNode();
	pnewnode->data = val;
	//挂载到父节点对应分支，绑定父指针
	if (pnewnode->data>pp->data) 
		pp->rightchild = pnewnode;
	else
		pp->leftchild = pnewnode;
	pnewnode->parent = pp;

	return true;
}

3. Search_BST 循环查找节点

实现思路

  • 断言校验根节点非空，指针 p 从根节点开始遍历
  • 循环判定：当前指针不为空且关键字不匹配，按大小规则向左 / 右子树查找
  • 循环退出两种分支：p 为 nullptr 代表查找失败；p 不为 nullptr 代表找到目标节点

代码实现

cpp 复制代码 
BSTNode* Search_BST(BSTNode* root,ELEMTYPE val) {
	assert(root!=nullptr);
	BSTNode* p = root;
	while (p!=nullptr&&p->data!=val) {
		if (val < p->data) {
			p = p->leftchild;
		}
		else {
			p = p->rightchild;
		}
	}
	return p;
}

4. Delete_BST 删除节点

（1）三类删除场景对比

  • 零孩子（叶子节点）：直接断开父指针，释放当前节点，逻辑最简单
  • 单孩子（仅左 / 右子树）：唯一子节点直接顶替当前节点位置，更新父指针
  • 双孩子（左右子树均存在）：无法直接替换子树，采用狸猫换太子方案，转换为前两种场景

（2）狸猫换太子核心原理

直接前驱、直接后继节点的固有特性：二者最多只存在单侧子树，不存在同时拥有左右两个孩子的情况。将后继节点数据覆盖到待删节点，删除逻辑转移至后继节点，规避复杂双分支替换操作，大幅降低代码复杂度。

补充考点：前驱、后继均可替换，二者效果完全一致，工程中常用后继实现。

5. Show_InOrder_BST 中序遍历打印

实现思路： 利用栈模拟递归流程，BST 中序遍历输出严格升序 ；tag 标记控制左子树 持续入栈逻辑，弹出节点打印后处理右子树。

代码实现

cpp 复制代码 
void Show_InOrder_BST(BSTNode* root) {
	assert(root != nullptr);
	std::stack<BSTNode*> st;
	st.push(root);

	bool tag = true;
	while (!st.empty()) {
		while (tag&&st.top()->leftchild != nullptr) {
			st.push(st.top()->leftchild);
		}
		BSTNode* tmp = st.top();
		st.pop();
		printf("%d ", tmp->data);

		if (tmp->rightchild != nullptr) {
			st.push(tmp->rightchild);
			tag = true;
		}
		else {
			tag = false;
		}
	}
}

五、BST 删除逻辑专项解析

1. Delete_BST0：仅处理 0 个子节点

实现思路： 先查找目标节点，存在且无左右孩子；断开父节点对应分支指针，释放目标节点内存。

代码实现

cpp 复制代码 
bool Delete_BST0(BSTree* pTree, ELEMTYPE val) {
	assert(pTree != nullptr);
	BSTNode* p = Search_BST(pTree->root, val);
	if (p == nullptr)
		return false;
	//仅处理叶子节点
	if (p->leftchild != nullptr || p->rightchild != nullptr)
		return false;
	
	BSTNode* father = p->parent;
	if (father == nullptr)
		pTree->root = nullptr;
	else {
		if (p->data<father->data)
			father->leftchild = nullptr;
		else
			father->rightchild = nullptr;
	}
	delete p;
	p = nullptr;
	return true;
}

2. Delete_BST1：处理 0/1 个子节点

实现思路： 查找目标节点，判定至多只有单侧子节点；取出唯一子节点，直接顶替待删节点位置，同步修改父指针后释放内存。

代码实现

cpp 复制代码 
bool Delete_BST1(BSTree* pTree, ELEMTYPE val) {
	assert(pTree != nullptr);
	BSTNode* p = Search_BST(pTree->root, val);
	if (p == nullptr)
		return false;
	//存在两个子节点不处理
	if(p->leftchild != nullptr && p->rightchild != nullptr)
		return false;

	BSTNode* father = p->parent;
	//取出唯一存在的子节点
	BSTNode* child = p->leftchild != nullptr ? p->leftchild : p->rightchild;
	if (father == nullptr)
		pTree->root = child;
	else {
		if (p->data < father->data) {
			father->leftchild = child;
		}
		else {
			father->rightchild = child;
		}
	}

	delete p; 
	p = nullptr;
	return true;
}

3. Delete_BST：整合全场景删除

实现思路

  • 查找待删除节点，无节点直接返回
  • 场景 1：零 / 单分支直接复用单分支删除逻辑
  • 场景 2：存在左右双孩子，执行**狸猫换太子，**获取当前节点直接后继，用后继关键字覆盖待删节点数据
  • 将删除目标转移至后继节点，后继最多仅单分支，复用单分支删除逻辑完成释放

代码实现

cpp 复制代码 
bool Delete_BST(BSTree* pTree, ELEMTYPE val) {
	assert(pTree != nullptr);
	BSTNode* p = Search_BST(pTree->root, val);
	if (p == nullptr)
		return false;
	//零分支直接释放
	if (p->leftchild == nullptr && p->rightchild == nullptr)
	{
		Delete_BST0(pTree, val);
		return true;
	}
	//双分支节点：狸猫换太子
	if (p->leftchild != nullptr && p->rightchild != nullptr) {
		BSTNode* cat = Get_NextNode(p);
		p->data = cat->data;
		p = cat;
	}
	//统一处理单分支/转换后的单分支节点
	BSTNode* father = p->parent;
	BSTNode* child = p->leftchild != nullptr ? p->leftchild : p->rightchild;
	if (father == nullptr)
		pTree->root = child;
	else {
		if (p->data < father->data) {
			father->leftchild = child;
		}
		else {
			father->rightchild = child;
		}
	}

	delete p;
	p = nullptr;
	return true;
}

六、总结

1. 结构本质区别

普通二叉树无数值约束 ，仅限制节点度≤2；BST 强制全局有序 、数值唯一，左小右大，是带排序规则的特殊二叉树。

2. 遍历特性区别

普通二叉树所有遍历无序 ；BST 独有中序升序 特性，可快速完成有序输出，先 / 后序遍历不具备有序效果。

3. 性能与工程选型

理想平衡BST 增删查为 O(logn) ，斜树退化 O(n) ； 三叉链表适配高频删改、取前驱后继场景，普通刷题、简单遍历优先用二叉链表，减少指针维护 bug。

| 对比维度 | 普通二叉树 | 二叉搜索树（BST） |
| 节点规则 | 仅限制度≤2，无数值大小约束 | 左小右大 、数值不重复、全局有序 |
| 中序遍历 | 序列无序 | 严格升序（标志性特征） |
| 查找效率 | O(n) | 平衡 O (logn)、斜树 O (n) |

核心用途 层级存储、遍历 排序、检索、动态增删
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