这道题，很多同学第一次看到这道题都会想到：
DFS？
动态规划？
递归搜索？
实际上，这些方向都会越想越复杂。
这道题真正考察的是：
组合数学（隔板法 / 组合数）+ 数学转化。
第三部分 第二题《堆石子》
------石子王国里的神奇变身术
第一幕：石子王国
1、石子王国举行了一场比赛。
国王拿来了很多石子。
他说：
"今天，你们要把石子堆成很多堆。"
2、但是有要求：
① 第1堆固定有 n 个石子。
② 后面的每一堆都必须比前一堆少。
例如：
7
5
3
1可以。
因为：
7>5>3>1但是：
7
6
6
2不行。
因为：
6=6不是严格递减。
3、题目问：
一共有多少种合法方案？
第二幕：先不要急着写程序
1、有的同学第一反应：
"枚举所有方案！"
2、例如：
6
↓
5
↓
4
↓
...不停DFS。
但是你会发现：
数据范围非常大。
DFS根本不可能。
3、找一找：
看看有没有数学规律。
第三幕：观察样例
1、例如：
第一堆固定：
5要求：
一共三堆。
2、那么：
后面还能怎么放？
例如：
5
4
3可以。
还可以：
5
4
2也可以。
还可以：
5
3
2......
规律是啥呢？
第四幕：换一种思考方式
1、这道题神奇的一步。
（1）第一堆已经固定：
a1 = n例如：
第一堆 = 7那后面的石子数还能是多少？
（2）只能是：
1
2
3
4
5
6是不是？
（3）也就是说：
后面其实就是从
1 ~ n-1里面挑数字。
2、还需要考虑数字顺序吗？
（1）整道题最关键的一句话。
例如我们选了：
2
5
6题目要求：
严格递减（2）所以它最后一定会变成：
7
6
5
2（3）注意！
我们根本没有选择顺序。
因为：
一旦数字选出来，顺序就唯一确定了。
这一点非常重要。
（4）因此：
不用排列，只需要组合。
第五幕：方案数是C(n-1,m-1)
1、现在问题已经变得非常简单了。
（1）第一堆固定：
n（2）后面还有：
m-1堆。
（3）那么：
只需要从：
1 ~ n-1里面选择：
m-1个不同数字。
（4）因此：
方案数就是：
第六幕：参考程序
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
// 模数（题目要求结果对 1000000007 取模）
const int MOD = (int)1e9 + 7;
///////////////////////////////////////////////////////
// 快速幂
//
// 功能：计算
//
// base^exp % MOD
//
// 时间复杂度：O(log exp)
//
// 这里不仅计算乘方，后面还会用它求模逆元。
///////////////////////////////////////////////////////
int qpow(int base, int exp)
{
// 指数等于0
// 根据数学规定：
//
// a^0 = 1
if (!exp)
return 1;
// 如果指数是奇数
//
// 例如：
//
// 3^13
//
// =3×(3²)^6
//
// 需要多乘一个base
if (exp & 1)
{
return (long long)base *
qpow((long long)base * base % MOD, exp >> 1)
% MOD;
}
// 如果指数是偶数
//
// 例如：
//
// 3^12
//
// =(3²)^6
//
// 不需要额外乘base
return qpow((long long)base * base % MOD,
exp >> 1);
}
///////////////////////////////////////////////////////
// 计算组合数
//
// 返回：C(n,m)
//
// 使用乘法公式
//
// n(n-1)...(n-m+1)
// C(n,m)=--------------------
// m!
//
// 由于有MOD
//
// 不能直接除法
//
// 所以使用模逆元。
///////////////////////////////////////////////////////
int comb(int n, int m)
{
// 如果选择数量比总数还多
// 显然没有方案
if (m > n)
return 0;
// 保存答案
int ans = 1;
////////////////////////////////////////////////////
// 逐步计算组合数
////////////////////////////////////////////////////
for (int i = 0; i < m; ++i)
{
//////////////////////////////////////////////////
// 乘分子
//
// 第一次：
// n
//
// 第二次：
// n-1
//
// 第三次：
// n-2
//////////////////////////////////////////////////
ans = (long long)ans * (n - i) % MOD;
//////////////////////////////////////////////////
// 再除以
//
// i+1
//
// 但是：
//
// 模运算不能直接除法
//
// 所以：
//
// ×逆元
//
// 根据费马小定理：
//
// x^(MOD-2)
//
// 就是：
//
// x 的逆元
//////////////////////////////////////////////////
ans = (long long)ans *
qpow(i + 1, MOD - 2)
% MOD;
}
return ans;
}
///////////////////////////////////////////////////////
// 主函数
///////////////////////////////////////////////////////
int main()
{
// m：一共多少堆
// n：第一堆有多少石子
int m, n;
cin >> m >> n;
////////////////////////////////////////////////////
// 第一堆固定是 n
//
// 后面还需要 m-1 堆
//
// 每一堆必须严格递减
//
// 等价于：
//
// 从
//
// 1~n-1
//
// 中选择
//
// m-1
//
// 个不同数字
//
// 顺序自动确定
//
// 所以答案就是：
//
// C(n-1,m-1)
////////////////////////////////////////////////////
cout << comb(n - 1, m - 1) << endl;
return 0;
}程序里面用到了竞赛的"压缩写法"，例如：
-
快速幂递归写法
-
费马小定理
-
模逆元
-
边循环乘法计算组合数。
第七幕：快速幂到底在干什么？
1、暴力乘法
假设老师问大家：
请计算：
2¹⁰最普通的方法就是：
int ans = 1;
for(int i = 1; i <= 10; i++)
ans *= 2;乘了：
10 次没有问题。
2、如果老师问：
2¹⁰⁰就要乘：
100 次还是可以。
3、如果老师问：
2¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁰怎么办？
是不是要乘：
100000000 次显然不可能。
所以：
一定有更快的方法。
4、观察规律
我们把指数写出来：
2¹
2²
2⁴
2⁸
2¹⁶其实就是：
不断平方。
所以：
2²
=(2¹)²
2⁴
=(2²)²
2⁸
=(2⁴)²5、快速幂最核心的一句话：
指数减半，底数平方。
请同学们一定把这句话记住。
6、那指数是奇数怎么办？
奇数：
先乘一个base
剩下指数减半继续算。7、看代码：
cpp
///////////////////////////////////////////////////////
// 快速幂
//
// 功能：计算
//
// base^exp % MOD
//
// 时间复杂度：O(log exp)
//
// 这里不仅计算乘方，后面还会用它求模逆元。
///////////////////////////////////////////////////////
int qpow(int base, int exp)
{
// 指数等于0
// 根据数学规定：
//
// a^0 = 1
if (!exp)
return 1;
// 如果指数是奇数
//
// 例如：
//
// 3^13
//
// =3×(3²)^6
//
// 需要多乘一个base
if (exp & 1)
{
return (long long)base *
qpow((long long)base * base % MOD, exp >> 1)
% MOD;
}
// 如果指数是偶数
//
// 例如：
//
// 3^12
//
// =(3²)^6
//
// 不需要额外乘base
return qpow((long long)base * base % MOD,
exp >> 1);
}时间复杂度从 O(n) 变成了 O(log n)。
第八幕：逆元到底在干什么？
1、我们有新同学，会有这样的疑问！
逆元是什么？费马小定理是什么？为什么是 MOD-2？
2、先回答一个最简单的问题：
为什么需要逆元？
然后再讲：
逆元是什么？
最后我再讲：
为什么用
MOD-2？
这样学生们就能真正理解。
一、首先： 为什么需要逆元？
1、假设我们要求：
2、数学公式：
3、程序如果没有取模。
直接写：
ans*=5;
ans*=4;
ans/=2;
ans/=1;是不是一点问题都没有？
答案：
没有。
4、我们的比赛里面。
题目会写：
答案对1000000007取模于是：
我们每一步都会写：
ans%=MOD;但是：
模运算里面不能直接做除法。
这一条必须记住。
二、 那怎么办？
数学家想到：
1、除法转乘法
例如：
20÷5其实就是：
20×(1/5)是不是？
2、所以：
如果我们能找到：
1/5就不用除法了。
全部变乘法。
3、于是：
数学家给它起了名字：
逆元（Inverse）
就是说：
逆元就是模意义下的"倒数"。
这一句话非常重要。
三、 什么叫倒数？
1、我们小学生已经学过。
例如：
2倒数：
1/2为什么？
因为：
2×1/2=1例如：
5倒数：
1/5因为：
5×1/5=1是不是？
2、所以，逆元其实就是：
模运算里的倒数。
四、 可是在模里面没有小数呀！
1、终于问到重点了。
例如：
模7。
我们找：
2的逆元。
2、意思就是：
找一个数：
x满足：
cpp
2 * x
≡1(mod7)试试看。
2×1=2不是。
2×2=4不是。
2×3=6不是。
2×4=8模7：
1成功！
4、所以：
cpp
2的逆元 = 4因为：
2×4
≡1(mod7)5、再试3
3×5=15模7：
1所以：
cpp
3的逆元 = 5是不是很神奇？
五、 费马小定理
1、如果MOD：
1000000007一个一个试。
要试：
十亿次。
当然不行。
2、数学家证明了：
（1）如果MOD是质数。
那么：
根据：
费马小定理
有：
（2）两边同时乘：
得到：
（3）也就是说：
a 的逆元 = a^(MOD-2)
（4）所以：
程序：
qpow(a,MOD-2)其实就是：
求：
1/a是不是同学们一下就清楚了？
六、 回到comb()
1、我们已经能看懂这一句了。
ans*=qpow(i+1,MOD-2);2、例如：
第一次：
÷1变成：
×1第二次：
÷2变成：
×2的逆元第三次：
÷3变成：
×3的逆元3、于是：
整个组合数：
程序实际上写成了：
×
1的逆元
×
2的逆元
×
3的逆元
...完全没有除法。
4、所以：
再模运算下，使用逆元来算组合数。
七、循环怎么写？
1、例如：
求：
数学：
2、程序：
第一次：
×6
÷1第二次：
×5
÷2第三次：
×4
÷3是不是：
正好得到：
6×5×4
---------
1×2×3所以：
整个循环就是：
一边乘分子，一边乘分母的逆元。
八、再看下代码：
cpp
///////////////////////////////////////////////////////
// 计算组合数
//
// 返回：C(n,m)
//
// 使用乘法公式
//
// n(n-1)...(n-m+1)
// C(n,m)=--------------------
// m!
//
// 由于有MOD
//
// 不能直接除法
//
// 所以使用模逆元。
///////////////////////////////////////////////////////
int comb(int n, int m)
{
// 如果选择数量比总数还多
// 显然没有方案
if (m > n)
return 0;
// 保存答案
int ans = 1;
////////////////////////////////////////////////////
// 逐步计算组合数
////////////////////////////////////////////////////
for (int i = 0; i < m; ++i)
{
//////////////////////////////////////////////////
// 乘分子
//
// 第一次：
// n
//
// 第二次：
// n-1
//
// 第三次：
// n-2
//////////////////////////////////////////////////
ans = (long long)ans * (n - i) % MOD;
//////////////////////////////////////////////////
// 再除以
//
// i+1
//
// 但是：
//
// 模运算不能直接除法
//
// 所以：
//
// ×逆元
//
// 根据费马小定理：
//
// x^(MOD-2)
//
// 就是：
//
// x 的逆元
//////////////////////////////////////////////////
ans = (long long)ans *
qpow(i + 1, MOD - 2)
% MOD;
}
return ans;
}送给新同学一句最好记的话
⭐⭐⭐⭐⭐ 不要把逆元想得太神秘。
只要记住：
普通数学里：
除以 5
=
乘 ( 1/5)
而在模运算里，没有真正的小数，所以：
除以 5
=
乘 5 的逆元
至于 5 的逆元怎么求？
如果模数是质数（像本题的 1000000007），可以直接使用快速幂：
qpow(5, MOD - 2)即可。
第九幕：整道程序其实最后只有三步
1、我们画流程图。
就是：
输入
↓
第一堆固定
↓
后面需要选 m-1 个数字
↓
答案=C(n-1,m-1)
↓
计算组合数
↓
输出2、你现在会发现：
真正难的不是程序，而是知道答案为什么是 C(n-1,m-1)。
程序真正干的事情只有两件：
-
计算组合数
C(n-1,m-1)； -
由于结果需要对
10^9+7取模，因此使用快速幂求模逆元，避免直接做除法。
第十幕：这道题考察了哪些知识？
| 知识点 | 是否重点 | 本题作用 |
|---|---|---|
| 数学建模 | ⭐⭐⭐⭐⭐ | 将石子问题转化组合问题 |
| 正整数拆分 | ⭐⭐⭐⭐⭐ | 理解为什么使用组合数 |
| 组合数计算 | ⭐⭐⭐⭐⭐ | 求 (C(n-1,m-1)) |
| 快速幂 | ⭐⭐⭐⭐ | 求模逆元 |
| 费马小定理 | ⭐⭐⭐⭐ | 模意义下实现除法 |
总结：
这道题是一道综合题，写代码前，需要同学们先要，完成数学转化。