模逆元计算方法详解：扩展欧几里得算法与费马小定理

1. 模逆元简介

在模运算中，对于整数 a 和模数 M，如果存在整数 x 使得 a × x ≡ 1 (mod M)，则称 x 为 a 在模 M 下的逆元，记作 a⁻¹ 或 inv(a)。模逆元在密码学、组合数学和算法竞赛中有着广泛应用。

2. 方法一：扩展欧几里得算法（通用方法）

扩展欧几里得算法适用于 M 和 a 互质（即 gcd(a, M) = 1）的情况。该算法不仅能求出最大公约数，还能求出贝祖等式 ax + by = gcd(a, b) 的一组整数解。

2.1 算法实现

以下是扩展欧几里得算法的 C++ 实现：

cpp 复制代码

// 扩展欧几里得算法：求 ax + by = gcd(a,b) 的解
long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    long long x1, y1;
    long long d = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - (a / b) * y1;
    return d;
}

// 求 a 在模 M 下的逆元
long long mod_inv(long long a, long long M) {
    long long x, y;
    long long d = exgcd(a, M, x, y);
    if (d != 1) return -1;  // 不存在逆元
    return (x % M + M) % M;  // 保证结果为正
}



//简洁点的
//long long inv_exgcd(long long a, long long b){  //	long long b=MOD;
//	int u=1, v=0;
//	while(b) {
//		long long t=a/b;
//		a-=t*b;
//		swap(a,b);
//		u-=t*v;
//		swap(u,v);
//	}
//	return (u%MOD+MOD)%MOD;
//}

2.2 算法原理

当 gcd(a, M) = 1 时，扩展欧几里得算法求出的 x 满足 ax + My = 1。对等式两边取模 M，得到 ax ≡ 1 (mod M)，因此 x 就是 a 在模 M 下的逆元。

2.3 示例

求 2 在模 7 下的逆元：

text 复制代码

2 × 4 = 8 ≡ 1 (mod 7)
所以 2⁻¹ = 4

使用上述代码计算：mod_inv(2, 7) 返回 4。

3. 方法二：费马小定理（适用于质数模数）

当模数 M 是质数时，根据费马小定理：

text 复制代码

a^(M-1) ≡ 1 (mod M)

因此：

text 复制代码

a⁻¹ = a^(M-2) mod M

3.1 快速幂实现

以下是使用快速幂计算模逆元的 C++ 实现：

cpp 复制代码

long long mod_pow(long long a, long long b, long long mod) {
    long long res = 1;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

// 求 a 在质数模 M 下的逆元
long long mod_inv_prime(long long a, long long M) {
    return mod_pow(a, M - 2, M);
}

3.2 时间复杂度

快速幂的时间复杂度为 O(log M)，当 M 很大时（如 10⁹+7），这种方法比扩展欧几里得算法稍慢，但代码更简洁。

4. 方法对比与选择建议

方法	适用条件	时间复杂度	优点	缺点
扩展欧几里得	`gcd(a, M) = 1`	O(log min(a, M))	通用性强，可判断逆元是否存在	代码稍复杂
费马小定理	`M` 为质数	O(log M)	代码简洁，易于实现	仅适用于质数模数

5. 实际应用场景

组合数取模 ：计算 C(n, k) mod p（p 为质数）时，需要用到阶乘的逆元。
线性同余方程 ：求解 ax ≡ b (mod M) 时，若 gcd(a, M) = 1，则 x ≡ b × a⁻¹ (mod M)。
密码学：RSA 算法中私钥的计算涉及模逆元。

6. 注意事项

使用扩展欧几里得算法时，务必检查 gcd(a, M) = 1，否则逆元不存在。
费马小定理方法仅当 M 为质数时成立，使用时需确保模数是质数。
计算结果可能为负数，需要通过 (x % M + M) % M 转换为正数。
对于大数运算，注意使用 long long 类型，避免溢出。

7.完整模板代码

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const long long MOD = 998244353;

// 方法1：快速幂求逆元（模数为质数）
long long inv_fermat(long long a) {
    long long res = 1, base = a, exp = MOD - 2;
    while (exp > 0) {
        if (exp & 1) res = res * base % MOD;
        base = base * base % MOD;
        exp >>= 1;
    }
    return res;
}

// 方法2：扩展欧几里得求逆元（通用）
long long inv_exgcd(long long a) {
    long long b = MOD, u = 1, v = 0;
    while (b) {
        long long t = a / b;
        a -= t * b; swap(a, b);
        u -= t * v; swap(u, v);
    }
    return (u % MOD + MOD) % MOD;
}

int main() {
    // 计算 15/2
    long long inv2 = inv_fermat(2);
    cout << 15 * inv2 % MOD << endl;  // 499122184
    
    // 计算 5/3
    long long inv3 = inv_fermat(3);
    cout << 5 * inv3 % MOD << endl;
    
    return 0;
}