高等代数试题

记号和假设

所有向量空间均假定在 F=R\mathbb F=\mathbb RF=R 或 C\mathbb CC 上。
V′V'V′ 是向量空间 VVV 的对偶空间；L(V)\mathcal L(V)L(V) 是 VVV 上所有线性算子的空间。
Mn(F)M_n(\mathbb F)Mn(F) 是 F\mathbb FF 上所有 n×nn\times nn×n 矩阵组成的空间。
Pn(F)P_n(\mathbb F)Pn(F) 是次数 ≤n\le n≤n 且系数在F\mathbb FF的多项式空间；P(F)=⋃n=0∞Pn(F)P(\mathbb F)=\bigcup_{n=0}^{\infty}P_n(\mathbb F)P(F)=⋃n=0∞Pn(F)。
σ(A)\sigma(A)σ(A) 是 AAA 的谱；pAp_ApA 是 AAA 的特征多项式。

1.（10分）

记 V=M2(C)V=M_2(\mathbb C)V=M2(C)，而

B:V×V→C,(X,Y)↦tr⁡(XY). B:V\times V\to\mathbb C,\qquad (X,Y)\mapsto \operatorname{tr}(XY). B:V×V→C,(X,Y)↦tr(XY).

定义 BBB 诱导的线性变换T:V→V′T:V\to V'T:V→V′如下

v↦Bv,其中Bv:V→C,w↦B(v,w). v\mapsto B_v,其中 B_v:V\to\mathbb C,\qquad w\mapsto B(v,w). v↦Bv,其中Bv:V→C,w↦B(v,w).

证明 TTT 是同构映射。

2.（10分）

设 M,LM,LM,L 是线性空间 VVV 的子空间（维数可能无限），证明

(M+L)/M≅L/(M∩L). (M+L)/M \cong L/(M\cap L). (M+L)/M≅L/(M∩L).

3.（12分）

给定 P(R)P(\mathbb R)P(R) 上的二元函数

(f,g)=∫0+∞e−xf(x)g(x) dx. (f,g)=\int_0^{+\infty}e^{-x}f(x)g(x)\,dx. (f,g)=∫0+∞e−xf(x)g(x)dx.

验证 P(R)P(\mathbb R)P(R) 关于该二元函数构成内积空间。
计算子空间 Span⁡(1,x,x2)\operatorname{Span}(1,x,x^2)Span(1,x,x2) 的一组标准正交基。

4.（12分）

设 A,B∈L(V)A,B\in\mathcal L(V)A,B∈L(V)。

证明 ABABAB 不可逆当且仅当 BABABA 不可逆。
设 λ∈F,λ≠0,λ∉σ(BA)\lambda\in\mathbb F,\lambda\ne0,\lambda\notin\sigma(BA)λ∈F,λ=0,λ∈/σ(BA)，计算

(A(BA−λI)−1B−I)(AB−λI). \left(A(BA-\lambda I)^{-1}B-I\right)(AB-\lambda I). (A(BA−λI)−1B−I)(AB−λI).

证明 ABABAB 和 BABABA 有相同的谱。

5.（10分）

找一个多项式 ppp 满足

p(T)=A, p(T)=A, p(T)=A,

其中

T= $010000000000002100000210000020000003$ ,A= $000000000000001010000100000010000000$ . T= \left $\\begin{array}{cc\|ccc\|c} 0 \& 1 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ \\hline 0 \& 0 \& 2 \& 1 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 2 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 2 \& 0 \\\\ \\hline 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 3 \\end{array} \\right$ , \qquad A= \left $\\begin{array}{cc\|ccc\|c} 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ \\hline 0 \& 0 \& 1 \& 0 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1 \& 0 \\\\ \\hline 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{array} \\right$ . T= 000000100000002000001200000120000003 ,A= 000000000000001000000100001010000000 .

6.（10分）

设 p+q>np+q>np+q>n，而 p×qp\times qp×q 复矩阵 VVV 是 nnn 阶酉矩阵 UUU 的子矩阵，确定 ∥V∥\|V\|∥V∥ 的取值范围。

7.（10分）

给定 F\mathbb FF 上的 nnn 维线性空间 VVV 及其上线性变换 AAA，b∈Vb\in Vb∈V。

证明：若存在 b∈Vb\in Vb∈V 使得

V={p(A)b∣p∈F $x$ }, V=\{p(A)b\mid p\in\mathbb F $x$ \}, V={p(A)b∣p∈F $x$ },

则对基域中任意指定的 nnn 个可重复的数，都存在 f∈V′f\in V'f∈V′，使得

A+bf:x↦Ax+bf(x) A+bf:x\mapsto Ax+bf(x) A+bf:x↦Ax+bf(x)

以指定数为特征值。

8.（10分）

设 dim⁡V=n\dim V=ndimV=n，T∈L(V)T\in\mathcal L(V)T∈L(V)。

定义

L∈L(L(V)),L(A)=TA,A∈L(V). L\in\mathcal L(\mathcal L(V)),\qquad L(A)=TA,\quad A\in\mathcal L(V). L∈L(L(V)),L(A)=TA,A∈L(V).

请用 pTp_TpT 表示 pLp_LpL。

9.（16分）

令 A∈Mn(C)A\in M_n(\mathbb C)A∈Mn(C)。

定义Mn(C)的两个子空间：M_n(\mathbb C)的两个子空间：Mn(C)的两个子空间：

Y(A)=Span⁡{I,A,A2,A3,... }, Y(A)=\operatorname{Span}\{I,A,A^2,A^3,\dots\}, Y(A)=Span{I,A,A2,A3,...},

Z(A)={X∈Mn(C)∣XA=AX}. Z(A)=\{X\in M_n(\mathbb C)\mid XA=AX\}. Z(A)={X∈Mn(C)∣XA=AX}.

当 AAA 为一个 nnn 阶 Jordan 块时，计算 Y(A)Y(A)Y(A) 与 Z(A)Z(A)Z(A)。
证明任意 A∈Mn(C)A\in M_n(\mathbb C)A∈Mn(C) 满足 dim⁡Y(A)≤n\dim Y(A)\le ndimY(A)≤n。
证明任意 A∈Mn(C)A\in M_n(\mathbb C)A∈Mn(C) 满足 dim⁡Z(A)≥n\dim Z(A)\ge ndimZ(A)≥n。
确定满足 dim⁡Y(A)=dim⁡Z(A)\dim Y(A)=\dim Z(A)dimY(A)=dimZ(A) 的 AAA 的所有可能 Jordan 标准形。

附加题（最多加100分）

10.（10分）

设 VVV 是有限维向量空间，N∈L(V)N\in\mathcal L(V)N∈L(V) 幂零。

证明存在唯一的子空间上升序列

⋯⊂W−1⊂W0⊂W1⊂⋯ \cdots\subset W_{-1}\subset W_0\subset W_1\subset\cdots ⋯⊂W−1⊂W0⊂W1⊂⋯

满足：

当 iii 足够小时，Wi=0W_i=0Wi=0；当 iii 足够大时，Wi=VW_i=VWi=V；
N(Wi)⊂Wi−2N(W_i)\subset W_{i-2}N(Wi)⊂Wi−2；
商空间上的诱导映射

N′:Wi/Wi−1⟶Wi−1/Wi−2 N':W_i/W_{i-1}\longrightarrow W_{i-1}/W_{i-2} N′:Wi/Wi−1⟶Wi−1/Wi−2

是同构。