约瑟夫环问题

一、介绍

约瑟夫环（Josephus Problem） 是一个著名的数学和计算机科学问题，大致意思是：N个人围成一圈，从第一个人开始报数，报到第M个人就将其淘汰出圈，然后从下一个人重新开始报数，如此循环，直到剩下最后一个人。求这个幸存者的初始位置。

题目链接：孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)

二、解决方案

1. 模拟

该方法是最直观的，就是开辟一个数组记录哪些人被淘汰，一直遍历下去直至只剩下一个人。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        vector<bool> check(n, true);

        int cnt = 0, idx = 0, alive = n;
        while(alive > 1)
        {
            if(check[idx])
            {
                cnt++;
                if(cnt == m)
                {
                    cnt = 0;
                    alive--;
                    check[idx] = false;
                }
            }
                
            if(++idx == n) idx = 0;
        }

        for(int i = 0; i < n; i++)
            if(check[i])
                return i;

        return -1;
    }
};

2. 递归

上述的方法确实可以解决问题，但是时间复杂度会有点高，下面介绍一下很巧妙的方法。它的核心是假设一共有 n 个人，在淘汰了一个之后就只剩下了 n - 1 个人，那么我们是不是可以将 n - 1 个人看作一个新的约瑟夫环问题。这个思想就是递归的核心！

上面我们在了解了思想后来想几个关键问题。当人数从 n 变成 n - 1 的时候，下一次淘汰人需要从这一次淘汰人的后一位开始计数，这时会发现好像下一个人的编号不一定是从 0 开始的呀！所以这里需要做一下映射。我们假设 k 是这一次淘汰的编号（ k = (m - 1) % n ），那么下一次开始的位置就是 k + 1，它对应的新编号是 0、以此类推 k + 2 -> 1、k + 3 -> 2...。具体可以看下面 n=5, m=3 的例子：

黑色那一圈是初始 n 人旧编号，淘汰下标 k 之后，蓝色是剩下 n−1 人的新编号。所以可以推出：旧编号 = 新编号 + k + 1，但这对吗？很明显在上图中 k+3 已经超过原来的范围了所以实际是出：旧编号 = (新编号 + k + 1) % n 。这样看是不是就成了比原来更小一层的问题了。这里可以将 k = (m - 1) % n 公式合并到那个公式中，可以得到：旧编号 = (新编号 + m) % n。

想一个边界情况，如果 n 等于 1 呢？这时其实就可以直接返回因为只有一个人，而幸存者编号就是 0。所以递推公式如下（ f(x)表示人数为 x 时幸存者的编号）：

递归实现：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n == 1)
            return 0;

        return (LastRemaining_Solution(n - 1, m) + m) % n;
    }
};

dp实现：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        vector<int> dp(n + 1);
        for(int i = 2; i <= n; i++)
            dp[i] = (dp[i - 1] + m) % i;

        return dp[n];
    }
};