csp信奥赛C++高频考点专项训练：【二分答案】案例5：进击的奶牛

csp信奥赛C++高频考点专项训练：【二分答案】案例5：进击的奶牛

题目描述

Farmer John 建造了一个有 N N N（ 2 ≤ N ≤ 10 5 2 \leq N \leq 10 ^ 5 2≤N≤105) 个隔间的牛棚，这些隔间分布在一条直线上，坐标是 x 1 , x 2 , ⋯   , x N x _ 1, x _ 2, \cdots, x _ N x1,x2,⋯,xN（ 0 ≤ x i ≤ 10 9 0 \leq x _ i \leq 10 ^ 9 0≤xi≤109）。

他的 C C C（ 2 ≤ C ≤ N 2 \leq C \leq N 2≤C≤N）头牛不满于隔间的位置分布，它们为牛棚里其他的牛的存在而愤怒。为了防止牛之间的互相打斗，Farmer John 想把这些牛安置在指定的隔间，所有牛中相邻两头的最近距离越大越好。那么，这个最大的最近距离是多少呢？

输入格式

第 1 1 1 行：两个用空格隔开的数字 N N N 和 C C C。

第 2 ∼ N + 1 2 \sim N+1 2∼N+1 行：每行一个整数，表示每个隔间的坐标。

输出格式

输出只有一行，即相邻两头牛最大的最近距离。

输入输出样例 1

输入 1

5 3
1
2
8
4
9

输出 1

3

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;  // 最大牛栏数量
int n, c, a[N], ma, ans; // n:牛栏总数，c:牛的数量，a[]:牛栏位置数组，ma:最大允许跳过的牛栏数，ans:最终答案

// 检查是否可以将c头牛以最小间隔x放置
bool check(int x) {
    int now = a[1];         // 记录已放牛的位置
	int cnt = 1;          // 已放奶牛数 
	
    for (int i = 2; i <= n; i++) {   // 遍历后续牛栏
        if (a[i] >= now+x) {          // 当前牛棚可以放奶牛 
            cnt++;
            now=a[i]; // 更新now的位置 
        } 
    }
    return cnt>=c;         // 返回是否能放得下c头牛 
}

int main() {
    cin >> n >> c;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    sort(a + 1, a + n + 1);          // 按位置排序牛栏
    
    // 二分查找最大可行解
    int l = 1;                        // 最小可能间隔
    int r = a[n] - a[1];              // 最大可能间隔（首尾距离）
    
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) {   // 当前mid可行，尝试更大的值
            ans = mid;
            l = mid + 1;
        } else {            // 当前mid不可行，减小最大值
            r = mid - 1;
        }
    }
    
    cout << ans;            // 输出答案
    return 0;
}

功能分析

1. 问题目标

   在n个有序牛栏中放置c头牛，使得相邻牛之间的最小间隔最大化 。这是典型的二分答案问题。

2. 核心逻辑

   • 排序预处理：将牛栏位置排序，便于计算间隔。
   • 二分框架 ：在可能的最小间隔范围[1, 最大首尾距离]内二分搜索。
   • 验证函数check(x) ：判断是否能以最小间隔x放置c头牛。
     • now变量：记录已放牛的位置。
     • cnt变量：统计以x为最小间隔，最多能放几头牛。
     • 判断条件：如果cnt>=c，则放得下；否则放不下。
     • 终止条件 ：跳过的栏数超过ma（ma = n - c，即最多允许跳过的栏数）时返回false。

3. 复杂度

   • 时间复杂度 ：排序复杂度为O(n log n)，二分过程为O(log D)（D为最大间隔），每次check为O(n)，总复杂度为O(n log n + n log D)，适用于n ≤ 1e5。
   • 空间复杂度 ：O(n)，存储牛栏位置。

4. 关键点

   • 边界处理：首栏必须放置，保证至少放置一头牛。

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· 文末祝福 ·

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
	cout<<"    成就更好的自己！       ";
	cout<<"  csp信奥赛一等奖属于你!   ";
	return 0;
}