GESP2026年9月认证C++八级( 第一部分选择题（1~7题）精讲

🏰 第1题：数字城堡------数一数有多少个三位数

题目：

用数字 0、1、2、3 、4 、5组成没有重复数字的三位数，并且这个三位数能被 3 整除，共有多少个？

本题答案是 B、40。

这道题真正考的是：

⭐ "枚举 + 数位限制 + 整除规律"

① 什么叫"三位数"？

比如：

复制代码

123
245
907

都是三位数。

但是：

复制代码

不算三位数。

因为它实际上就是：

复制代码

所以百位不能是 0。

② "不能重复"是什么意思？

假如数字是：

复制代码

1 2 3 4 5

那么：

复制代码

可以。

但是：

复制代码

不可以。

因为 1 出现了两次。

所以我们可以把三个位置想象成三个房间：

复制代码

百位     十位     个位
 ↓        ↓        ↓
[  ]     [  ]     [  ]

每个房间放一个数字，而且不能重复。

③ 计算过程：

🌟 第一步：先记住"三位数"的规则

三位数的百位不能是 0。

例如：

123 ✅ 是三位数
305 ✅ 是三位数
012 ❌ 不是三位数

而且题目要求没有重复数字。

🌟 第二步：判断一个数能不能被 3 整除

有一个非常重要的口诀：

一个数能被 3 整除 ⇔ 各个数字的和能被 3 整除。

例如：

123

因为：

1+2+3=6

6 能被 3 整除，所以 123 能被 3 整除。

再比如：

405

4+0+5=9

9 能被 3 整除，所以 405 也能被 3 整除。

🌟 第三步：先挑出3个数字

我们从：

0,1,2,3,4,5

中选择 3个不同的数字。

按照数字对 3 的余数分类：

数字	除以3的余数
0、3	0
1、4	1
2、5	2

三个数字的和要能被3整除，有三种情况：

情况①：0 + 0 + 0

只能选择：

{0,3}

但只有两个数字，不够选3个。

所以 0种。

情况②：0 + 1 + 2

每一类各选一个：

余数0：0、3 → 2种
余数1：1、4 → 2种
余数2：2、5 → 2种

所以：

2 × 2 × 2 = 8

得到 8组数字。

情况③：1 + 1 + 1

从 1、4 中选3个，不可能。

所以 0种。

情况④：2 + 2 + 2

从 2、5 中选3个，也不可能。

所以 0种。

因此，我们真正需要考虑的，就是 8组数字：

{0,1,2} {0,1,5} {0,4,2} {0,4,5} {3,1,2} {3,1,5} {3,4,2} {3,4,5}

🌟 第四步：每组数字能组成几个三位数？

这里是本题最容易"粗心翻车"的地方！

如果没有 0，3个数字可以随便排列：

3!=3×2×1=6

例如 {1,2,5}：

125、152、215、251、512、521

一共6个。

但是！含有0的组不一样！

例如 {0,1,2}。

三个数字一共有：

3! = 6

种排列：

012、021、102、120、201、210

但是：

012 ❌
021 ❌

因为它们不是三位数。

所以只有：

102、120、201、210

一共 4个。

🌟 第五步：8组里面有几组含0？

前面的8组中：

含0的：4组
不含0的：4组

所以总数：

4×4 + 4×6 =16+24 = 40

🎉 答案就是 B：40个！

🧠 本题"解题三连"

遇到这道题，不要一个一个数字瞎试，可以按照下面的方法：

① 先看"能不能被3整除"

看数字之和，不用真的算整个三位数！

② 再看"有没有0"

有0，排列时要扣掉百位为0的情况。

③ 最后排列

没有0： 3个数字 → 3! = 6个
有0： 3个数字 → 6-2=4个

所以本题：

4×4+4×6 = 40

🧠 记忆口诀

三位数先看百位，不能重复看三位，最后分开来检查整除，最后结果合起来。

🎡 第2题：围成一圈坐------圆排列来了！

题目大意：

6个人围成一圈坐，座位没有区分，但区分时针方向，而且甲、乙两人必须相邻。共有多少种不同坐法？

第2题答案是 C、48。

有的同学，这题第一次看容易懵：

"座位没有区分"是什么意思？

1、🎠 普通排队 vs 围成一圈

假设有：

复制代码

A B C D

排成一排：

复制代码

A B C D

和：

复制代码

B C D A

是不同的。

但是围成圆圈以后：

复制代码

  A
D   B
  C

如果整体转一下：

复制代码

  B
A   C
  D

其实大家的相对位置没有改变。

所以：

圆桌排列不能把"整体旋转"当成新的排列。

2、🧩 甲乙必须相邻怎么办？

这是本题最重要的技巧。

假设：

复制代码

甲 乙

必须挨在一起。

我们可以把他们看成一个"超级小队"：

复制代码

[甲乙]

于是原来：

复制代码

甲、乙、丙、丁、戊......

就变成：

复制代码

[甲乙]、丙、丁、戊......

问题瞬间简单很多！

3、⚠️ 但是还有一个坑

甲乙可以：

复制代码

甲乙

也可以：

复制代码

乙甲

所以最后还要考虑：

复制代码

2种

🌟 这就是一个非常重要的排列组合技巧

以后看到：

"A、B必须相邻"

马上想到：

捆绑法！

把：

复制代码

A B

捆成：

复制代码

[AB]

然后再排列。

4、⭐ 先安排这5个"对象"

现在有：

[甲乙]
丙
丁
戊
己

一共5个对象。

5个不同的人（或对象）围成圆桌：

(5−1)!

所以：

4! = 24

种。

5、⭐ 别忘了甲乙内部还有两种顺序！

甲乙绑在一起，并不意味着：

复制代码

甲乙

只有这一种。

还可以：

复制代码

乙甲

因为题目只说：

甲、乙必须相邻

并没有规定谁坐谁左边。

所以：

种。

6、🎯 最终答案

因此：

4! × 2 = 24 × 2 = 48

所以答案：

✅ C、48种

7、🧠 给同学们一个特别好记的口诀

遇到：

"几个人围成一圈 + 某两个人必须相邻"

可以马上想到：

第一步：绑起来

甲+乙 → [甲乙]

第二步：算圆排列

原来6个人，绑成一个后变成5个：

(5−1)!

第三步：考虑内部顺序

甲乙有：

种。

所以：

(6−1−1)! × 2!

也就是：

4!×2！=48

🚨 容易犯的两个错误

❌ 错误1：直接算 `6!`

这是把圆桌当成排队了。

圆桌整体旋转后应该算同一种，所以不能直接 6!。

❌ 错误2：算 `4!` 后忘记乘2

有人会想：

"甲乙绑起来，剩下5个，圆排列就是4!=24。"

但是漏掉了：

复制代码

甲乙
乙甲

这两种是不同的。

🌟 最终记忆

圆桌先消旋转，

相邻先把人绑，

绑完再算圆排列，

内部顺序别忘光！

这道题真正考的是，能不能识别出两个核心思想：

① 圆排列：(n-1)!

② 相邻问题：捆绑法。

🪨 第3题：合并石子------不要乱合，要找最优方案！

题目：

有4堆石子，数量分别为1、2 、 3、 4。每次可以合并相邻两堆，合并代价是两堆石子的数量之和。最终把所有石子合成一堆，求最小总代价。

本题答案是：

B、19

这道题非常重要，因为它开始进入：

⭐ 贪心思想

🪨 为什么合并顺序很重要？

比如有：

复制代码

1  2  3  4

如果先合：

复制代码

1 + 2 = 3

花费：

复制代码

现在：

复制代码

3 3 4

再合：

复制代码

3 + 3 = 6

花费：

复制代码

最后：

复制代码

6 + 4 = 10

花费：

复制代码

总花费：

复制代码

3 + 6 + 10 = 19

但是如果换一种合并顺序，结果可能不同。

所以：

不是"能合就合"，而是要想办法让总成本最小。

🧠 为什么小的数字应该尽量早合？

这是这类题最重要的直觉。

假设有：

复制代码

1 2 100

如果先把：

复制代码

1 + 2

合起来：

复制代码

只花：

复制代码

而如果让 100 很早参加合并，它后面可能还会被重复计算。

因为：

复制代码

越早合并的石子
↓
会参与更多次后续合并
↓
所以越应该让"小的东西"早出现

这就是一种非常经典的：

让小成本尽早发生。

🌟 这题还埋了一个重要知识点

题目特别强调：

只能合并相邻两堆。

这意味着它和普通的"随便合并"问题不完全一样。

如果不限制相邻，可以使用：

复制代码

优先队列 priority_queue

每次找最小的两堆。

但这里有：

复制代码

相邻

这个限制。

所以做题的时候一定要仔细看题目的限制条件。

可以使用区间DP来解决这个问题

如果石子数量变多，例如：

4 5 9 2 7 3 8

可以使用区间动态规划。

设：

sum $i$ $j$

表示第 i 堆到第 j 堆石子的总数量。

设：

dp $i$ $j$

表示将第 i 堆到第 j 堆合并成一堆的最小总代价。

状态转移：

这里的 k 表示最后一次合并时，左边和右边的分界位置。

这道题就成为一个区间DP问题。

🌳 第4题：二叉树遍历------根据先序+中序还原树

题目给出：

先序：

复制代码

A B D E C F G

中序：

复制代码

D B E A F C G

问：

后序遍历是什么？

答案是：

A 选项：D E B F G C A。

🌳 第一步：先搞懂三个遍历

先序

顺序：

复制代码

根 → 左 → 右

口诀：

根左右

中序

顺序：

复制代码

左 → 根 → 右

口诀：

左根右

后序

顺序：

复制代码

左 → 右 → 根

口诀：

左右根

🧙 第二步：找到根节点

先序：

复制代码

A B D E C F G
↑
第一个就是根

所以：

复制代码

是整棵树的根。

🔍 第三步：在中序中寻找 A

中序：

复制代码

D B E A F C G
      ↑
      A

所以：

复制代码

左边：
D B E

右边：
F C G

于是树的大概形状：

复制代码

        A
       / \
      ?   ?

🌳 第四步：分析左子树

左边有：

复制代码

D B E

先序中 A 后面的部分是：

复制代码

B D E

所以左子树的根是：

复制代码

中序：

复制代码

D B E
  ↑
  B

因此：

复制代码

    B
   / \
  D   E

🌳 第五步：分析右子树

右边：

复制代码

F C G

对应先序：

复制代码

C F G

所以右子树根是：

复制代码

中序：

复制代码

F C G
  ↑
  C

因此：

复制代码

    C
   / \
  F   G

🎯 整棵树出来了！

复制代码

        A
       / \
      B   C
     / \ / \
    D  E F  G

现在求：

后序 = 左 → 右 → 根

左子树 B：

复制代码

D E B

右子树 C：

复制代码

F G C

最后根 A：

复制代码

合起来：

复制代码

D E B F G C A

所以答案：

✅ A

🌟 二叉树遍历"万能口诀"

一定要让孩子背下来：

复制代码

先序：根 左 右
中序：左 根 右
后序：左 右 根

真正考试时：

先序找根，中序分左右，递归拆下去。

这句话非常重要。

⚡ 第5题：快速幂------指数很大怎么办？

本题考的是：

快速幂算法的正确认识。

本题答案是：

B。题目选项中 B 的核心意思是：快速幂把指数进行二进制拆分，把普通乘幂的乘法次数从线性级别优化到对数级别。

🐢 普通方法

比如：

复制代码

2^10

我们可以：

复制代码

2×2×2×2×2×2×2×2×2×2

需要很多次乘法。

如果：

复制代码

2^1000000000

那就惨了。

电脑：

"你让我乘十亿次？"

😱

🚀 快速幂的魔法

快速幂发现一个秘密：

复制代码

2^10

可以写成：

复制代码

2^10
= 2^5 × 2^5

而：

复制代码

2^5 = 2 × 2^4

更重要的是：

复制代码

2^10 = (2^5)^2

不断"平方"，就可以快速得到结果。

🔢 为什么和二进制有关？

比如：

复制代码

二进制是：

复制代码

也就是：

复制代码

13 = 8 + 4 + 1

所以：

复制代码

a^13
= a^8 × a^4 × a

而：

复制代码

a^2
a^4
a^8

都可以通过不断平方得到：

复制代码

a
↓ 平方
a²
↓ 平方
a⁴
↓ 平方
a⁸

是不是一下子快了很多？

⭐ 复杂度变化

普通乘法：

复制代码

O(n)

快速幂：

复制代码

O(log n)

这是非常重要的优化。

❌ 其他说法为什么错？

A：可以处理任意负指数

普通整数快速幂并不能直接这样说。

例如：

复制代码

2^-3

结果是：

复制代码

1/8

这已经不是普通整数幂运算的范畴了。

C：只能模质数时使用

错误。

快速幂本身并不要求模数必须是质数。

例如：

复制代码

long long quickpow(long long a, long long n, long long mod)

mod 不一定是质数。

D：空间复杂度通常很大

也不对。

普通快速幂只需要几个变量。

所以空间复杂度通常是：

复制代码

O(1)

🍀 第6题：杨辉三角------数字藏着组合数学的秘密

题目：

杨辉三角中，第 7 行第 _3 个数，行、列均从0开始计数，是多少？

答案：

B、 35。

这题最关键的是：

⚠️ 一定看清楚"从几开始计数"！

🔺 杨辉三角长什么样？

复制代码

        1
       1 1
      1 2 1
     1 3 3 1
    1 4 6 4 1
   1 5 10 10 5 1

规律：

两边永远是：

复制代码

中间的数：

上面左边 + 上面右边

例如：

复制代码

      1   3   3   1
       ↓   ↓
       3 + 3 = 6

下一行就是：

复制代码

1 4 6 4 1

🎯 杨辉三角其实就是组合数

如果采用从 0 开始编号：

复制代码

第 n 行第 k 个

就是：

C(n,k)

本题为：

复制代码

第7行

实际上就是：

cpp 复制代码

C(7,0)
C(7,1)
C(7,2)
C(7,3)
C(7,4)
C(7,5)
C(7,6)
C(7,7)

也就是：

复制代码

1 7 21 35 35 21 7 1

🧠 同学们一定注意

题目如果说：

"从 0 开始计数"

和：

"从 1 开始计数"

结果会完全不同。

例如：

复制代码

从0开始：

第0行：1
第1行：1 1
第2行：1 2 1

所以看到杨辉三角题，第一件事：

🚨 先看编号从 0 还是从 1 开始！

这是非常典型的考试陷阱。

📐 第7题：长方形------把文字变成数学式子

题目：

一个长方形的长是宽的若干倍，周长为若干，求面积。

本题答案：

C 、108

虽然题目中的具体数字在文件文本提取时丢失了，但解题方法非常明确。

🧩 第一步：设宽

假设：

复制代码

宽 = x

题目说：

长是宽的 k 倍

所以：

cpp 复制代码

长 = k * x

📏 第二步：使用周长公式

长方形周长：

cpp 复制代码

周长 = 2 * (长 + 宽)

所以：

cpp 复制代码

P = 2 * (k*x + x)

提取 x：

cpp 复制代码

P = 2 * (k + 1) * x

因此：

cpp 复制代码

x = P / [2*(k+1)]

宽 = 48 / [2 * ( 3+1 ) ] = 6

🎯 第三步：求面积

面积：

复制代码

S = 长 × 宽

所以：

cpp 复制代码

S = kx²

把刚刚求出来的 x 代进去即可。

cpp 复制代码

S = kx²

S = 3 * 6 * 6 = 108

🌟 同学们看到"长是宽的几倍"

马上可以这样写：

复制代码

宽 = x
长 = kx

看到"周长"：

复制代码

2 × (长 + 宽)

看到"面积"：

复制代码

长 × 宽

这就是一道非常标准的：

文字 → 数学模型 → 公式计算

题。

🏆 前7题知识点

把这7道题放在一起，其实是在考一整套"算法大脑"：

题号	核心知识	小朋友记忆法
1	枚举、整除、数字排列	三位数，别重复，再查整除
2	圆排列、捆绑法	相邻就捆起来
3	合并石子、最优策略	合并顺序影响总成本
4	二叉树遍历	先序找根，中序分左右
5	快速幂	指数二进制，平方往前冲
6	杨辉三角、组合数	先看从0还是从1数
7	数学建模	先设宽，再求长

🧠 "七关冒险口诀"

复制代码

第一关：数字城堡------枚举不能乱！

第二关：圆桌宴会------相邻先捆绑！

第三关：石子合并------顺序很重要！

第四关：二叉森林------先序找根，
        中序分左右，后序左右根！

第五关：快速魔法------二进制 + 不断平方！

第六关：杨辉宝塔------先看编号从哪里开始！

第七关：长方形王国------文字条件变公式！

GESP2026年9月认证C++八级( 第一部分选择题（1~7题）精讲

🏰 第1题：数字城堡------数一数有多少个三位数

⭐ "枚举 + 数位限制 + 整除规律"

① 什么叫"三位数"？

② "不能重复"是什么意思？

③ 计算过程：

🌟 第一步：先记住"三位数"的规则

🌟 第二步：判断一个数能不能被 3 整除

🌟 第三步：先挑出3个数字

情况①：0 + 0 + 0

情况②：0 + 1 + 2

情况③：1 + 1 + 1

情况④：2 + 2 + 2

🌟 第四步：每组数字能组成几个三位数？

但是！含有0的组不一样！

🌟 第五步：8组里面有几组含0？

🧠 本题"解题三连"

① 先看"能不能被3整除"

② 再看"有没有0"

③ 最后排列

🧠 记忆口诀

🎡 第2题：围成一圈坐------圆排列来了！

1、🎠 普通排队 vs 围成一圈

2、🧩 甲乙必须相邻怎么办？

3、⚠️ 但是还有一个坑

🌟 这就是一个非常重要的排列组合技巧

4、⭐ 先安排这5个"对象"

5、⭐ 别忘了甲乙内部还有两种顺序！

6、🎯 最终答案

✅ C、48种

7、🧠 给同学们一个特别好记的口诀

第一步：绑起来

第二步：算圆排列

第三步：考虑内部顺序

🚨 容易犯的两个错误

❌ 错误1：直接算 6!

❌ 错误2：算 4! 后忘记乘2

🌟 最终记忆

🪨 第3题：合并石子------不要乱合，要找最优方案！

⭐ 贪心思想

🪨 为什么合并顺序很重要？

🧠 为什么小的数字应该尽量早合？

🌟 这题还埋了一个重要知识点

🌳 第4题：二叉树遍历------根据先序+中序还原树

先序：

中序：

🌳 第一步：先搞懂三个遍历

先序

中序

后序

🧙 第二步：找到根节点

🔍 第三步：在中序中寻找 A

🌳 第四步：分析左子树

🌳 第五步：分析右子树

🎯 整棵树出来了！

后序 = 左 → 右 → 根

✅ A

🌟 二叉树遍历"万能口诀"

⚡ 第5题：快速幂------指数很大怎么办？

🐢 普通方法

🚀 快速幂的魔法

🔢 为什么和二进制有关？

⭐ 复杂度变化

❌ 其他说法为什么错？

A：可以处理任意负指数

C：只能模质数时使用

D：空间复杂度通常很大

🍀 第6题：杨辉三角------数字藏着组合数学的秘密

⚠️ 一定看清楚"从几开始计数"！

🔺 杨辉三角长什么样？

🎯 杨辉三角其实就是组合数

🧠 同学们一定注意

🚨 先看编号从 0 还是从 1 开始！

📐 第7题：长方形------把文字变成数学式子

🧩 第一步：设宽

📏 第二步：使用周长公式

🎯 第三步：求面积

🌟 同学们看到"长是宽的几倍"

🏆 前7题知识点

🧠 "七关冒险口诀"

❌ 错误1：直接算 `6!`

❌ 错误2：算 `4!` 后忘记乘2