行列式杂题第二弹

文章目录

• 前言
• 题目梗概
• • • • 1000题
• 参考解析
• • 1.1
  • 1.2
  • 1.3
  • 2.1
  • 2.2
  • 2.3
  • 2.4
• 后话

前言

中档题

题目梗概

1. 行列式1.1 行列式多项式x³项系数求解

   设四阶行列式

   f ( x ) = ∣ x x 1 2 x 1 x 2 − 1 2 1 x 1 2 − 1 1 x ∣ f(x) = \begin{vmatrix} x & x & 1 & 2x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x \end{vmatrix} f(x)= x122xx1−112x12x−11x

   求 f ( x ) f(x) f(x)中 x 3 x^3 x3项的系数。

2. 行列式1.2 四阶三对角行列式行变换化上三角

   计算四阶行列式

   D 4 = ∣ 1 a 0 0 − 1 2 − a b 0 0 − 2 3 − b c 0 0 − 3 4 − c ∣ D_4 = \begin{vmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ -1 & 2-a & b & 0 \\ 0 & -2 & 3-b & c \\ 0 & 0 & -3 & 4-c \end{vmatrix} D4= 1−100a2−a−200b3−b−300c4−c

3. 行列式1.3 矩阵线性变换求行列式

   已知 α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 α1,α2,α3是三维线性无关列向量， A \boldsymbol{A} A是3阶矩阵，满足

   { A α 1 = α 2 − 2 α 3 A α 2 = α 1 − α 2 + 2 α 3 A α 3 = 2 α 1 + α 2 \begin{cases} \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1 = \boldsymbol{\alpha}_2 - 2\boldsymbol{\alpha}_3 \\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1 - \boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3 \\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_3 = 2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧Aα1=α2−2α3Aα2=α1−α2+2α3Aα3=2α1+α2

   求 ∣ A ∣ |\boldsymbol{A}| ∣A∣。

1000题

1. 行列式2.1 三阶行列式函数零点个数判定

   设 a i , b i , c i a_i,b_i,c_i ai,bi,ci为常数， f ( x ) f(x) f(x)不恒为0，讨论函数

   f ( x ) = ∣ a 1 + x b 1 + x c 1 + x a 2 + x b 2 + x c 2 + x a 3 + x b 3 + x c 3 + x ∣ f(x) = \begin{vmatrix} a_1+x & b_1+x & c_1+x \\ a_2+x & b_2+x & c_2+x \\ a_3+x & b_3+x & c_3+x \end{vmatrix} f(x)= a1+xa2+xa3+xb1+xb2+xb3+xc1+xc2+xc3+x

   的零点个数。

2. 行列式2.2 n阶三对角行列式递推计算

   计算n阶三对角行列式

   D n = ∣ 2 1 0 ⋯ 0 1 2 1 ⋯ 0 0 1 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 2 ∣ D_n = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \end{vmatrix} Dn= 210⋮0121⋮0012⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮2

3. 行列式2.3 两个同结构行列式的差

   设

   D 1 = ∣ 2 1 0 − 1 − 1 2 − 5 3 3 0 a b 1 − 3 5 0 ∣ , D 2 = ∣ 2 1 0 − 1 − 1 2 − 5 3 3 0 a b 1 − 1 1 0 ∣ D_1 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -3 & 5 & 0 \end{vmatrix}, \quad D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} D1= 2−131120−30−5a5−13b0 ,D2= 2−131120−10−5a1−13b0

   求 D 1 − D 2 D_1 - D_2 D1−D2。

4. 行列式2.4 向量组线性变换求矩阵行列式（双解法）

   设 A \boldsymbol{A} A是3阶矩阵， α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 α1,α2,α3是三维线性无关列向量，且满足

   { A α 1 = α 1 + 2 α 2 + α 3 A α 2 = 2 α 1 + α 2 + α 3 A α 3 = α 1 + α 2 + 2 α 3 \begin{cases} \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3 \\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2 = 2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3 \\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧Aα1=α1+2α2+α3Aα2=2α1+α2+α3Aα3=α1+α2+2α3

   求 ∣ A ∣ |\boldsymbol{A}| ∣A∣。

参考解析

1.1

考察点：行列式按行展开、多项式次数与系数分析

题目 ：设四阶行列式

f ( x ) = ∣ x x 1 2 x 1 x 2 − 1 2 1 x 1 2 − 1 1 x ∣ f(x) = \begin{vmatrix} x & x & 1 & 2x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x \end{vmatrix} f(x)= x122xx1−112x12x−11x

求 f ( x ) f(x) f(x)中 x 3 x^3 x3项的系数。

解 ：

将 f ( x ) f(x) f(x)按第1行展开，得四项：

f ( x ) = x ⋅ A 11 + x ⋅ A 12 + 1 ⋅ A 13 + 2 x ⋅ A 14 f(x) = x\cdot A_{11} + x\cdot A_{12} + 1\cdot A_{13} + 2x\cdot A_{14} f(x)=x⋅A11+x⋅A12+1⋅A13+2x⋅A14

其中 A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} Aij=(−1)i+jMij为代数余子式，逐项分析 x 3 x^3 x3项的贡献：

1. 第1项 x ⋅ A 11 x\cdot A_{11} x⋅A11

   M 11 M_{11} M11为去掉第1行第1列的三阶行列式：

   M 11 = ∣ x 2 − 1 1 x 1 − 1 1 x ∣ = x 3 − 4 x − 3 M_{11} = \begin{vmatrix}x & 2 & -1 \\ 1 & x & 1 \\ -1 & 1 & x\end{vmatrix} = x^3 - 4x - 3 M11= x1−12x1−11x =x3−4x−3

   最高次为 x 3 x^3 x3，乘以 x x x后最高次为 x 4 x^4 x4，无 x 3 x^3 x3项贡献。

2. 第2项 x ⋅ A 12 x\cdot A_{12} x⋅A12

   M 12 M_{12} M12为去掉第1行第2列的三阶行列式：

   M 12 = ∣ 1 2 − 1 2 x 1 2 1 x ∣ = x 2 − 2 x + 1 M_{12} = \begin{vmatrix}1 & 2 & -1 \\ 2 & x & 1 \\ 2 & 1 & x\end{vmatrix} = x^2 - 2x + 1 M12= 1222x1−11x =x2−2x+1

   A 12 = − M 12 A_{12} = -M_{12} A12=−M12，乘以 x x x后得 − x 3 + 2 x 2 − x -x^3 + 2x^2 - x −x3+2x2−x， x 3 x^3 x3项系数为 − 1 -1 −1。

3. 第3项 1 ⋅ A 13 1\cdot A_{13} 1⋅A13

   M 13 M_{13} M13为去掉第1行第3列的三阶行列式，最高次为 x 2 x^2 x2，乘以常数1后无 x 3 x^3 x3项贡献。

4. 第4项 2 x ⋅ A 14 2x\cdot A_{14} 2x⋅A14

   M 14 M_{14} M14为去掉第1行第4列的三阶行列式：

   M 14 = ∣ 1 x 2 2 1 x 2 − 1 1 ∣ = 2 x 2 − x − 7 M_{14} = \begin{vmatrix}1 & x & 2 \\ 2 & 1 & x \\ 2 & -1 & 1\end{vmatrix} = 2x^2 - x - 7 M14= 122x1−12x1 =2x2−x−7

   A 14 = − M 14 A_{14} = -M_{14} A14=−M14，乘以 2 x 2x 2x后得 − 4 x 3 + 2 x 2 + 14 x -4x^3 + 2x^2 + 14x −4x3+2x2+14x， x 3 x^3 x3项系数为 − 4 -4 −4。

合并所有 x 3 x^3 x3项系数： − 1 + ( − 4 ) = − 5 -1 + (-4) = -5 −1+(−4)=−5。

x 3 项的系数为 − 5 \boxed{x^3项的系数为 -5} x3项的系数为−5

1.2

考察点：行列式初等行变换、上三角行列式计算

题目 ：计算四阶行列式

D 4 = ∣ 1 a 0 0 − 1 2 − a b 0 0 − 2 3 − b c 0 0 − 3 4 − c ∣ D_4 = \begin{vmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ -1 & 2-a & b & 0 \\ 0 & -2 & 3-b & c \\ 0 & 0 & -3 & 4-c \end{vmatrix} D4= 1−100a2−a−200b3−b−300c4−c

解 ：

依次做行变换消去下三角元素：

• 第2行加上第1行： r 2 = r 2 + r 1 r_2 = r_2 + r_1 r2=r2+r1
• 第3行加上新的第2行： r 3 = r 3 + r 2 r_3 = r_3 + r_2 r3=r3+r2
• 第4行加上新的第3行： r 4 = r 4 + r 3 r_4 = r_4 + r_3 r4=r4+r3

化简后得到上三角行列式：

D 4 = ∣ 1 a 0 0 0 2 b 0 0 0 3 c 0 0 0 4 ∣ D_4 = \begin{vmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 2 & b & 0 \\ 0 & 0 & 3 & c \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} D4= 1000a2000b3000c4

主对角线元素相乘得结果：

D 4 = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 D_4 = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 D4=1×2×3×4=24

D 4 = 24 \boxed{D_4 = 24} D4=24

1.3

考察点：相似矩阵行列式、向量组线性无关性、矩阵乘法

题目 ：已知 α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 α1,α2,α3是三维线性无关列向量， A \boldsymbol{A} A是3阶矩阵，满足

{ A α 1 = α 2 − 2 α 3 A α 2 = α 1 − α 2 + 2 α 3 A α 3 = 2 α 1 + α 2 \begin{cases} \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1 = \boldsymbol{\alpha}_2 - 2\boldsymbol{\alpha}_3 \\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1 - \boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3 \\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_3 = 2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧Aα1=α2−2α3Aα2=α1−α2+2α3Aα3=2α1+α2

求 ∣ A ∣ |\boldsymbol{A}| ∣A∣。

解 ：

将三个式子合并为矩阵乘法形式：

A α 1 , α 2 , α 3 = α 1 , α 2 , α 3 ( 0 1 2 1 − 1 1 − 2 2 0 ) \boldsymbol{A}\\boldsymbol{\\alpha}_1,\\boldsymbol{\\alpha}_2,\\boldsymbol{\\alpha}_3 = \\boldsymbol{\\alpha}_1,\\boldsymbol{\\alpha}_2,\\boldsymbol{\\alpha}_3 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \end{pmatrix} Aα1,α2,α3=α1,α2,α3 01−21−12210

记 P = α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{P} = \\boldsymbol{\\alpha}_1,\\boldsymbol{\\alpha}_2,\\boldsymbol{\\alpha}_3 P=α1,α2,α3，由 α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 α1,α2,α3线性无关知 ∣ P ∣ ≠ 0 |\boldsymbol{P}| \neq 0 ∣P∣=0。

两边取行列式并约去 ∣ P ∣ |\boldsymbol{P}| ∣P∣，计算系数矩阵行列式：

∣ 0 1 2 1 − 1 1 − 2 2 0 ∣ = 0 − 1 × ( 0 + 2 ) + 2 × ( 2 − 2 ) = − 2 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1\times(0+2) + 2\times(2-2) = -2 01−21−12210 =0−1×(0+2)+2×(2−2)=−2

∣ A ∣ = − 2 \boxed{|\boldsymbol{A}| = -2} ∣A∣=−2

2.1

考察点：行列式初等列变换、行列式可拆性、多项式次数

题目 ：设 a i , b i , c i a_i,b_i,c_i ai,bi,ci为常数， f ( x ) f(x) f(x)不恒为0，讨论函数

f ( x ) = ∣ a 1 + x b 1 + x c 1 + x a 2 + x b 2 + x c 2 + x a 3 + x b 3 + x c 3 + x ∣ f(x) = \begin{vmatrix} a_1+x & b_1+x & c_1+x \\ a_2+x & b_2+x & c_2+x \\ a_3+x & b_3+x & c_3+x \end{vmatrix} f(x)= a1+xa2+xa3+xb1+xb2+xb3+xc1+xc2+xc3+x

的零点个数。

解 ：

将第2、3列分别减去第1列，行列式值不变：

f ( x ) = ∣ a 1 + x b 1 − a 1 c 1 − a 1 a 2 + x b 2 − a 2 c 2 − a 2 a 3 + x b 3 − a 3 c 3 − a 3 ∣ f(x) = \begin{vmatrix} a_1+x & b_1-a_1 & c_1-a_1 \\ a_2+x & b_2-a_2 & c_2-a_2 \\ a_3+x & b_3-a_3 & c_3-a_3 \end{vmatrix} f(x)= a1+xa2+xa3+xb1−a1b2−a2b3−a3c1−a1c2−a2c3−a3

利用行列式列可拆性，将第1列拆分为 a i + x a_i + x ai+x：

f(x) = \\begin{vmatrix} a_1 \& b_1-a_1 \& c_1-a_1 \\ a_2 \& b_2-a_2 \& c_2-a_2 \\ a_3 \& b_3-a_3 \& c_3-a_3 \\end{vmatrix} * x \\begin{vmatrix} 1 \& b_1-a_1 \& c_1-a_1 \\ 1 \& b_2-a_2 \& c_2-a_2 \\ 1 \& b_3-a_3 \& c_3-a_3 \\end{vmatrix}

即 f ( x ) = C + D x f(x) = C + Dx f(x)=C+Dx，其中 C , D C,D C,D为常数。

• 若 D ≠ 0 D \neq 0 D=0，则 f ( x ) f(x) f(x)为一次函数，零点个数为1；
• 若 D = 0 D = 0 D=0且 C ≠ 0 C \neq 0 C=0，则 f ( x ) f(x) f(x)为非零常数，零点个数为0。

零点个数为 0 或 1 \boxed{零点个数为0或1} 零点个数为0或1

2.2

考察点：行列式按行展开、递推关系、等差数列判定

题目 ：计算n阶三对角行列式

D n = ∣ 2 1 0 ⋯ 0 1 2 1 ⋯ 0 0 1 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 2 ∣ D_n = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \end{vmatrix} Dn= 210⋮0121⋮0012⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮2

解 ：

将 D n D_n Dn按第一行展开，得递推关系：

D n = 2 D n − 1 − D n − 2 D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2} Dn=2Dn−1−Dn−2

整理得：

D n − D n − 1 = D n − 1 − D n − 2 D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2} Dn−Dn−1=Dn−1−Dn−2

即数列 { D n − D n − 1 } \{D_n - D_{n-1}\} {Dn−Dn−1}为常数列， { D n } \{D_n\} {Dn}为等差数列。

计算初值：

D 1 = ∣ 2 ∣ = 2 D_1 = |2| = 2 D1=∣2∣=2， D 2 = ∣ 2 1 1 2 ∣ = 3 D_2 = \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{vmatrix} = 3 D2= 2112 =3，公差 d = D 2 − D 1 = 1 d = D_2 - D_1 = 1 d=D2−D1=1。

因此通项为：

D n = D 1 + ( n − 1 ) d = 2 + ( n − 1 ) × 1 = n + 1 D_n = D_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)\times1 = n+1 Dn=D1+(n−1)d=2+(n−1)×1=n+1

D n = n + 1 \boxed{D_n = n+1} Dn=n+1

2.3

考察点：行列式行可加性、行列式按行展开

题目 ：设

D 1 = ∣ 2 1 0 − 1 − 1 2 − 5 3 3 0 a b 1 − 3 5 0 ∣ , D 2 = ∣ 2 1 0 − 1 − 1 2 − 5 3 3 0 a b 1 − 1 1 0 ∣ D_1 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -3 & 5 & 0 \end{vmatrix}, \quad D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} D1= 2−131120−30−5a5−13b0 ,D2= 2−131120−10−5a1−13b0

求 D 1 − D 2 D_1 - D_2 D1−D2。

解 ：

两个行列式仅第4行不同，其余行完全相同，由行列式行可加性：

D 1 − D 2 = ∣ 2 1 0 − 1 − 1 2 − 5 3 3 0 a b 0 − 2 4 0 ∣ D_1 - D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 0 & -2 & 4 & 0 \end{vmatrix} D1−D2= 2−130120−20−5a4−13b0

按第4行展开计算：

D 1 − D 2 = ( − 2 ) ⋅ ( − 1 ) 4 + 2 ⋅ ∣ 2 0 − 1 − 1 − 5 3 3 a b ∣ + 4 ⋅ ( − 1 ) 4 + 3 ⋅ ∣ 2 1 − 1 − 1 2 3 3 0 b ∣ = − 2 ( − 10 b − 5 a − 15 ) − 4 ( 5 b + 15 ) = 20 b + 10 a + 30 − 20 b − 60 = 10 ( a − 3 ) \begin{align*} D_1 - D_2 &= (-2)\cdot(-1)^{4+2}\cdot\begin{vmatrix}2 & 0 & -1 \\ -1 & -5 & 3 \\ 3 & a & b\end{vmatrix} +4\cdot(-1)^{4+3}\cdot\begin{vmatrix}2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & b\end{vmatrix} \\ &= -2(-10b-5a-15) - 4(5b+15) \\ &= 20b + 10a + 30 - 20b - 60 \\ &= 10(a-3) \end{align*} D1−D2=(−2)⋅(−1)4+2⋅ 2−130−5a−13b +4⋅(−1)4+3⋅ 2−13120−13b =−2(−10b−5a−15)−4(5b+15)=20b+10a+30−20b−60=10(a−3)

D 1 − D 2 = 10 ( a − 3 ) \boxed{D_1 - D_2 = 10(a-3)} D1−D2=10(a−3)

2.4

考察点：行列式乘法定理、相似矩阵性质、线性无关向量组

题目 ：设 A \boldsymbol{A} A是3阶矩阵， α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 α1,α2,α3是三维线性无关列向量，且满足

{ A α 1 = α 1 + 2 α 2 + α 3 A α 2 = 2 α 1 + α 2 + α 3 A α 3 = α 1 + α 2 + 2 α 3 \begin{cases} \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3 \\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2 = 2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3 \\ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧Aα1=α1+2α2+α3Aα2=2α1+α2+α3Aα3=α1+α2+2α3

求 ∣ A ∣ |\boldsymbol{A}| ∣A∣。

解 ：

法一：两边取行列式

将线性关系写成矩阵乘法形式：

A α 1 , α 2 , α 3 = α 1 , α 2 , α 3 ( 1 2 1 2 1 1 1 1 2 ) \boldsymbol{A}\\boldsymbol{\\alpha}_1,\\boldsymbol{\\alpha}_2,\\boldsymbol{\\alpha}_3 = \\boldsymbol{\\alpha}_1,\\boldsymbol{\\alpha}_2,\\boldsymbol{\\alpha}_3 \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} Aα1,α2,α3=α1,α2,α3 121211112

由 α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 α1,α2,α3线性无关， ∣ α 1 , α 2 , α 3 ∣ ≠ 0 |\\boldsymbol{\\alpha}_1,\\boldsymbol{\\alpha}_2,\\boldsymbol{\\alpha}_3| \neq 0 ∣α1,α2,α3∣=0，两边取行列式后约去该因子，得：

∣ A ∣ = ∣ 1 2 1 2 1 1 1 1 2 ∣ = 1 × ( 2 − 1 ) − 2 × ( 4 − 1 ) + 1 × ( 2 − 1 ) = − 4 |\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1\times(2-1) - 2\times(4-1) + 1\times(2-1) = -4 ∣A∣= 121211112 =1×(2−1)−2×(4−1)+1×(2−1)=−4

法二：相似矩阵法

设 P = α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{P} = \\boldsymbol{\\alpha}_1,\\boldsymbol{\\alpha}_2,\\boldsymbol{\\alpha}_3 P=α1,α2,α3，由线性无关知 P \boldsymbol{P} P可逆，则：

P − 1 A P = ( 1 2 1 2 1 1 1 1 2 ) \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} P−1AP= 121211112

相似矩阵行列式相等，故：

∣ A ∣ = ∣ P − 1 A P ∣ = − 4 |\boldsymbol{A}| = |\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}| = -4 ∣A∣=∣P−1AP∣=−4

∣ A ∣ = − 4 \boxed{|\boldsymbol{A}| = -4} ∣A∣=−4

后话

基本功