前言
前两篇分别介绍了机器学习的基本流程和 Python 环境。接下来要认识机器学习代码里最常见的数据结构：数组和矩阵。
我们看到的原始数据形式差别很大。照片由像素组成，文本可以被转换为词频或向量，Excel 表格包含一行行记录。进入模型之前，它们通常都要变成数字，并按照一定形状排列成数组。模型训练时所做的大量工作，本质上是在这些数字上进行加法、乘法、求平均值和矩阵运算。
Python 自带的列表可以存放数字，但机器学习需要处理成千上万甚至更多的数据。NumPy 提供的数组更适合这类任务。本文不会把 NumPy 写成函数手册，而是围绕一个问题展开：如何把 100 名学生的三项特征组织成模型能够使用的矩阵，并完成一次简单计算。
为什么机器学习需要 NumPy
Python 原生 list 很灵活，同一个列表可以同时保存整数、字符串和其他对象。这种灵活性适合普通程序，却不是大规模数值计算的最佳选择。
首先，列表里的元素通常是独立的 Python 对象。对大量数字逐个计算时，解释器需要不断读取对象并执行循环，额外开销比较明显。其次，列表没有直接定义逐元素乘法、按列平均值或矩阵乘法等数值语义。二维列表也只是"列表中再放列表"，行长度甚至可以不一致。
NumPy（Numerical Python，数值 Python）通过 ndarray 提供多维数组。数组中的元素通常使用统一的数据类型，并以更紧凑、规则的方式存储。许多数值运算在底层实现，避免我们在 Python 层手写大量循环。
例如，给 10000 个数同时加 1，NumPy 可以直接写成 arr + 1。这种一次描述整组计算的写法叫向量化计算（Vectorized Computation）。它不仅代码更短，也更接近"对整列特征进行处理"的机器学习思路。
不过，NumPy 不是让任何代码自动变快的魔法。数组类型、形状和内存布局仍会影响结果与性能。入门阶段最重要的是养成两个习惯：计算前先看 shape，计算后检查结果形状。
NumPy 是什么
NumPy 是 Python 科学计算生态中的基础库，核心对象是 ndarray，名称可以理解为"N 维数组"。这里的"维"不是数据有几个元素，而是需要几个索引才能定位一个元素。
- 一维数组像一排数字，例如三名学生的分数；
- 二维数组像一张表，有行和列；
- 三维及更高维数组可以表示多层数据，例如多张彩色图片。
在机器学习中，二维特征数组最常见。通常每一行代表一个样本，每一列代表一个特征。如果收集 100 名学生的学习时间、练习次数和睡眠时间，就可以得到形状为 (100, 3) 的数组：100 是样本数量，3 是每个样本的特征数量。
许多机器学习库把这个特征矩阵记为大写 X，把希望预测的目标记为 y。看到错误信息里出现 (100, 3) 或 (3, 1) 时，不必害怕，它们只是在说明数据有多少行、多少列。
创建第一个 NumPy 数组
通常先导入 NumPy，并使用约定俗成的别名 np：
import numpy as np一维数组可以这样创建：
scores = np.array([1, 2, 3])
print(scores)二维数组需要在外层列表中放入多行数据：
matrix = np.array([
[1, 2],
[3, 4],
])np.array() 会根据输入推断数据类型和形状。上面的 scores 是一维数组，matrix 是两行两列的二维数组。可以用四个属性观察它们：
print(matrix.shape) # (2, 2)
print(matrix.ndim) # 2
print(matrix.dtype) # 具体结果取决于平台和输入
print(matrix.size) # 4这些属性不执行复杂计算，却是排查机器学习数据问题时最先应该看的信息。
数组的基本属性
shape：数组的形状
shape 返回一个元组，依次记录每个轴的长度。形状 (100, 5) 表示 100 行、5 列。在常见的特征矩阵中，它通常对应"100 个样本、每个样本 5 个特征"。
顺序不能交换。(100, 5) 与 (5, 100) 包含相同数量的元素，但前者通常表示 100 个样本，后者更像把特征放到了行上。模型期待前一种形式时，传入后一种就会报错或产生错误含义。
ndim：数组维度
ndim 表示数组有几个轴。一维数组的 ndim 是 1，二维矩阵是 2。需要注意，np.array([1, 2, 3]) 的形状是 (3,)，不是 (3, 1)。前者是一维数组，后者是三行一列的二维数组。
dtype：元素的数据类型
dtype 表示数组中元素的统一类型，例如 int64 或 float64。机器学习计算经常使用浮点数。整数数组参与除法时通常会产生浮点结果，但把浮点结果写回整数数组可能截断小数或报错，因此修改数据前要留意类型。
size：元素总数
size 是所有轴长度的乘积。形状为 (100, 3) 的数组共有 300 个元素。它与 len(arr) 不同：len() 只返回第一轴长度，也就是这里的 100。
NumPy 中的索引和切片
索引用来获取某个位置的元素。对一维数组，arr[0] 表示第一个元素；Python 从 0 开始计数。
arr = np.array([10, 20, 30])
print(arr[0]) # 10二维数组可以同时写行索引和列索引：
data = np.array([
[2.0, 10],
[3.5, 18],
[5.0, 25],
])
print(data[0, 1]) # 第 1 行、第 2 列切片用于选择一段数据。冒号 : 表示该轴上的全部元素：
first_feature = data[:, 0]
first_two_students = data[:2, :]data[:, 0] 选择所有行的第 1 列。在机器学习代码中常见的 X[:, 0] 也是这个意思：取出所有样本的第一项特征。X[:, 1:3] 则保留第 2 列到第 3 列，右边界 3 不包含在结果中。
切片通常返回原数组的视图，而不是完全独立的副本。修改切片可能同时改变原数组。需要独立数据时，可以显式调用 .copy()。
常用数组操作
创建特殊数组
np.zeros() 可以创建全 0 数组，常用于初始化结果；np.ones() 创建全 1 数组；np.arange() 按给定步长生成连续数值。
zeros = np.zeros((2, 3))
ones = np.ones((2, 3))
numbers = np.arange(0, 10, 2)传给 zeros 和 ones 的 (2, 3) 是目标形状。np.arange(0, 10, 2) 从 0 开始、到 10 之前结束，步长为 2，结果是 [0, 2, 4, 6, 8]。
数学计算
NumPy 的算术运算通常逐元素进行：
values = np.array([2.0, 4.0, 6.0])
print(values + 1) # 每个元素加 1
print(values * 2) # 每个元素乘 2
print(values.mean()) # 平均值
print(values.max()) # 最大值
print(values.min()) # 最小值对二维数组使用 mean(axis=0)，可以分别计算每一列的平均值；mean(axis=1) 则计算每一行的平均值。机器学习预处理经常需要按列统计，因为一列通常对应同一种特征。
这些写法并不是"永远禁止 for 循环"。当每个样本需要复杂条件逻辑时，循环仍然有价值。但能用清晰数组运算表达的批量数值计算，优先向量化通常更简洁，也能利用 NumPy 的底层实现。
怎样理解 axis
axis 是初学 NumPy 时很容易混淆的参数。可以把二维数组想成一张表：axis=0 表示沿着行的方向把多行压缩掉，最后每一列留下一个统计值；axis=1 表示沿着列的方向把多列压缩掉，最后每一行留下一个统计值。
students = np.array([
[2.0, 10, 7.0],
[4.0, 20, 8.0],
])
column_means = students.mean(axis=0)
row_means = students.mean(axis=1)column_means 的形状是 (3,)，分别对应三项特征的平均值；row_means 的形状是 (2,)，分别对应两个样本各自三列数字的平均值。后者虽然可以计算，但"学习小时、练习次数和睡眠小时"的单位不同，直接求行平均值通常没有实际意义。这也提醒我们：NumPy 只负责按照指令计算，不会判断统计方式是否符合业务含义。
如果暂时分不清轴，先用一个两行三列的小数组实验，再观察输入和输出的 shape。不要只背"0 是列、1 是行"这样的口诀，因为在三维数组中会更容易混乱。更可靠的理解是：指定哪个轴，就压缩哪个轴；没有被压缩的轴决定结果中还剩多少个数。
矩阵运算与机器学习
机器学习模型经常要把每个样本的多个特征按不同权重组合起来。假设特征矩阵 X 有 100 行、3 列，权重矩阵 W 有 3 行、1 列，那么：
result = X @ W运算符 @ 表示矩阵乘法。结果形状是 (100, 1)：每个样本得到一个数。直观上，每一行的三个特征分别乘以三个权重，再把结果相加。
线性模型常写成：
y = XW + b其中 X 是输入特征，W 是权重，b 是偏置，y 是输出。这里不需要展开数学推导，先记住形状关系即可：X 的列数必须等于 W 的行数，否则矩阵乘法无法进行。
真实训练会根据数据不断调整权重，而不是手工指定。本文实践中的权重只用于演示 X @ W 如何把三列特征转换为一列结果，不能解释为真实的成绩规律。
第一个 NumPy 实践案例
我们用固定随机种子构造 100 个模拟学生样本，每个样本有三项特征：学习时间、练习次数和睡眠时间。代码先用 np.column_stack() 把三组一维数据按列合并为 X，再沿 axis=0 计算各列的平均值、最高值和最低值。
随后创建形状为 (3, 1) 的权重矩阵，执行 XW + b，得到 (100, 1) 的模拟预测结果。
完整可运行代码
将下面代码保存为 03_numpy_demo.py：
"""NumPy 入门示例：构造学生特征矩阵并完成简单矩阵计算。"""
from __future__ import annotations
import sys
def load_numpy():
"""导入 NumPy；缺少或损坏时给出清晰的错误信息。"""
try:
import numpy as np
except ModuleNotFoundError as exc:
raise RuntimeError(
"当前 Python 环境缺少 NumPy，请先确认解释器和 Conda 环境。"
) from exc
except Exception as exc:
raise RuntimeError(f"NumPy 已被找到，但导入失败：{exc}") from exc
return np
def main() -> None:
"""生成 100 个模拟样本，统计特征并执行 X @ W。"""
if sys.version_info < (3, 8):
raise RuntimeError("本示例需要 Python 3.8 或更高版本。")
np = load_numpy()
rng = np.random.default_rng(42)
# 三列分别表示学习时间、练习次数和睡眠时间。
study_hours = rng.uniform(1.0, 10.0, size=100).round(1)
practice_counts = rng.integers(0, 51, size=100)
sleep_hours = np.clip(
rng.normal(loc=7.0, scale=0.8, size=100), 4.5, 9.5
).round(1)
x = np.column_stack((study_hours, practice_counts, sleep_hours))
if x.shape != (100, 3) or not np.isfinite(x).all():
raise ValueError("特征矩阵必须是 100 行 3 列，并且不能包含无效数值。")
feature_names = ("学习时间（小时）", "练习次数（次）", "睡眠时间（小时）")
means = x.mean(axis=0)
maximums = x.max(axis=0)
minimums = x.min(axis=0)
# 这里的权重只用于演示矩阵乘法，不是从真实成绩数据中训练得到的。
weights = np.array([[5.0], [0.4], [1.5]], dtype=float)
bias = 5.0
predicted_scores = x @ weights + bias
if predicted_scores.shape != (100, 1):
raise ValueError("矩阵计算结果的形状不是预期的 (100, 1)。")
print(f"NumPy: {np.__version__}")
print(f"特征矩阵 shape: {x.shape}")
print(f"特征矩阵 ndim: {x.ndim}")
print(f"特征矩阵 dtype: {x.dtype}")
print(f"特征矩阵 size: {x.size}")
print("\n三列特征的统计结果：")
for name, mean, maximum, minimum in zip(
feature_names, means, maximums, minimums
):
print(
f"{name}: 平均值={mean:.2f}, 最高值={maximum:.2f}, "
f"最低值={minimum:.2f}"
)
print(f"\n权重矩阵 shape: {weights.shape}")
print(f"预测结果 shape: {predicted_scores.shape}")
print(
"前 5 个预测结果: "
+ np.array2string(predicted_scores[:5, 0], precision=2, separator=", ")
)
if __name__ == "__main__":
try:
main()
except (RuntimeError, ValueError) as exc:
print(f"程序无法继续：{exc}", file=sys.stderr)
sys.exit(1)在项目根目录运行：
python 03_numpy_demo.py本示例已在 Conda base 环境中实际运行，使用 Python 3.11.4 和 NumPy 1.24.3，程序正常结束。固定种子 42 得到的输出如下：
NumPy: 1.24.3
特征矩阵 shape: (100, 3)
特征矩阵 ndim: 2
特征矩阵 dtype: float64
特征矩阵 size: 300
三列特征的统计结果：
学习时间（小时）: 平均值=5.38, 最高值=9.80, 最低值=1.10
练习次数（次）: 平均值=23.97, 最高值=50.00, 最低值=0.00
睡眠时间（小时）: 平均值=6.96, 最高值=9.00, 最低值=5.30
权重矩阵 shape: (3, 1)
预测结果 shape: (100, 1)
前 5 个预测结果: [64.05, 58.55, 68.85, 64.8 , 31.75]三列数据合并后都变为 float64，因为同一个 NumPy 数组通常使用统一类型；练习次数虽然由整数生成，进入特征矩阵后也被转换成了浮点数。size 为 300，正好等于 100 个样本乘以 3 个特征。
NumPy 常见错误
1. ValueError: operands could not be broadcast together
广播（Broadcasting）是 NumPy 让不同形状数组参与逐元素运算的规则。例如形状 (100, 3) 的矩阵可以与形状 (3,) 的数组相加，因为后者能对应到三列。但 (100, 3) 与 (2,) 无法按规则对齐，便会出现广播错误。解决时不要盲目 reshape，先打印双方 shape，明确希望按行还是按列计算。
2. 矩阵乘法的 shape 不匹配
A @ B 要求 A 的列数等于 B 的行数。(100, 3) @ (3, 1) 可以得到 (100, 1)，而 (100, 3) @ (2, 1) 无法计算。错误信息里的维度数字通常已经指出冲突位置。
3. 整数和浮点类型问题
整数数组不能无损保存小数。如果标准化后的结果需要写回原整数数组，可能发生截断或类型转换错误。可以在创建时写 dtype=float，或使用 arr.astype(float) 得到浮点副本。转换前还要考虑内存占用和是否真的需要复制。
4. 一维数组和二维数组混淆
形状 (3,)、(1, 3) 和 (3, 1) 含义不同。机器学习模型往往要求二维输入，即使只有一个特征，也常写成 (样本数, 1)。可以用 reshape(-1, 1) 把一维特征转换为一列；-1 表示让 NumPy 根据元素总数自动推断行数。
NumPy 与后续机器学习库的关系
NumPy 负责底层数组和数值计算，是许多 Python 数据工具的共同基础。Pandas 在它之上提供带行列标签的表格结构，适合读取、清洗和分析数据；scikit-learn 提供数据预处理、模型训练和评估接口，常接收 NumPy 数组作为输入；PyTorch 使用"张量"进行深度学习计算，张量的形状、索引和广播思想与 NumPy 很接近，并增加了 GPU 与自动求导能力。
学习 NumPy 的目的不是记住所有函数，而是能读懂数据形状、选择需要的行列，并判断一次运算的输入与输出。掌握这些内容后，后续遇到 Pandas、scikit-learn 和 PyTorch 时，会发现许多概念是相通的。
总结
本文认识了 NumPy 的核心对象 ndarray，理解了 shape、ndim、dtype 和 size，并练习了索引、切片、按轴统计和矩阵乘法。实践案例把 100 个样本、3 个特征组织成 (100, 3) 的矩阵，再通过 X @ W + b 得到一列模拟结果。
后续处理任何机器学习数据时，都可以先问三个问题：每一行代表什么，每一列代表什么，当前数组的 shape 是否符合计算要求。这比死记函数名称更有用，也是继续学习 Pandas、机器学习算法和深度学习的重要基础。
下一篇预告
下一篇是《Pandas 入门：机器学习中的数据读取与清洗》。我们会学习如何读取表格数据、处理缺失值、筛选行列，并把清洗后的数据交给后续模型。