在计算机视觉中，相机模型通常涉及到的坐标系有世界、相机、归一化平面、像素坐标系等。然而，在图形学里面，在NeRF、3D Gaussian Splatting等三维重建方法，在OpenGL中，会遇到一个NDC（Normalized Device Coordinates，归一化设备坐标）坐标系。这里，将仔细地讲解各个坐标系，以及推导公式。
1、世界坐标系
这个坐标系不做过多的介绍，可前往针孔相机模型推导这里学习。在世界坐标系中，假设一个任意的点为：，这里用齐次坐标进行表达。
2、相机坐标系
这个坐标系也不做过多的介绍， 可前往针孔相机模型推导这里学习。在相机坐标系中，任意一个点为：。从世界坐标系转换到相机坐标系，需要一个外参矩阵，也就是旋转矩阵R和平移矩阵T。用公式表达为：
需要注意的是，在上式中用的不是齐次表达。
3、裁剪和NDC坐标系
这两个坐标系可以一起讲，只相差了一个齐次的除法。例如，在裁剪坐标系下，一个点为，其中
为齐次坐标表达的第4维，即齐次尺度因子，作为透视除法的分母，控制近大远小。通常，
的大小为深度值，也即
。
从裁剪坐标系转到NDC坐标系，非常的简单，公式如下：
则NDC坐标系下一个点的齐次表达为 。
从上述表达可以看到，裁剪坐标系和NDC坐标系其实是一回事，就差了一个透视除法。
3.1 相机到裁剪坐标系推导
接下来，最为重要的是，我怎么将相机坐标系转换到裁剪坐标系。两个坐标系之间的变换，通常是使用一个投影矩阵P，也就是：
核心问题，就在于，如何推导获得这个P矩阵（4*4的矩阵）。在图1中，用AI生成了一个图，详细地表达了上面我推导的公式和关系。
图1：相机坐标系到裁剪坐标系的变换示意图（AI生成）
在裁剪坐标系中，有两个很重要的概念，就是近平面和远平面。相机理论上可以看到从相机前方一直延伸到无穷远的区域，但是图形渲染必须要明确，视椎体中哪些点保留，哪些点丢弃。因此，定义了一个近平面和远平面，只有处于这两个平面之间的区域，才会保留并投影。
定义近平面深度值为，远平面深度值为
。将
投影到近平面上，根据相似三角形，公式为：
在近平面上，为了将坐标值归一化到-1,1之间，需要除以近平面投影面的宽度和高度
。
相机的视场角大小fovX和fovY是已知的，则可以根据相机视场角大小推导出和
的大小，推导的过程如下图所示（AI生成）：
在获得和
之后，对
和
的值做一个归一化，就可得到ndc坐标系中的坐标值，公式如下：
如果，我们令，那么上式表达就可以转为一个矩阵表达P，并用齐次坐标进行表达，整理后如下：
上式中，左边是裁剪坐标系，只需要都除以一个就变成了NDC坐标系。在上式中，投影矩阵P中还存在两个未知数，就是A和B。接下来，推到获取A和B。
除以，就可以得到NDC坐标，因为
的，因此公式如下：
当近平面的点代入的时候，；远平面的点代入的时候，
，根据这个约束，可得到方程：
通过上面两个方程，就可以直接解出A和B的值，分别为：
到这里，就获得了完成的投影矩阵P，通过该矩阵，可以先将相机坐标系转到裁剪坐标系，再除以一个齐次因子，就转到了NDC坐标系。