（18）LeetCode 73. 矩阵置零

LeetCode 73. 矩阵置零

题目描述

给定一个 m x n 的矩阵，如果一个元素为 0 ，则将其所在行和列的所有元素都设为 0 。请使用 原地 算法。

示例 1：

输入：matrix = [[1,1,1],[1,0,1],[1,1,1]]
输出：[[1,0,1],[0,0,0],[1,0,1]]

示例 2：

输入：matrix = [[0,1,2,0],[3,4,5,2],[1,3,1,5]]
输出：[[0,0,0,0],[0,4,5,0],[0,3,1,0]]

进阶：

• 一个直接的解决方案是使用 O(mn) 的额外空间，但这并不是一个好的解法。
• 一个简单的改进方案是使用 O(m+n) 的额外空间，但这仍然不是最优的。
• 你能想出一个仅使用常数额外空间的解决方案吗？

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解题思路

本题要求原地 修改矩阵，即不能额外申请一个同样大小的矩阵来存储结果。我们可以利用矩阵的第一行 和第一列作为标记数组，来记录哪些行和列需要被置零。

核心思想

1. 预处理：先判断第一行和第一列本身是否含有 0，并记录下这两个布尔值（因为之后第一行和第一列会被用作标记，原始信息会被覆盖）。
2. 扫描内部 ：遍历除第一行和第一列外的所有元素，如果发现某个元素为 0，则将该元素所在行的行首 （第一列对应位置）和所在列的列顶（第一行对应位置）也置为 0。这样，第一行和第一列就充当了"标记数组"。
3. 置零内部：再次遍历内部元素，如果它所在行的行首或所在列的列顶为 0，则将该元素置为 0。
4. 处理第一行和第一列：根据之前记录的布尔值，决定是否将第一行或第一列全部置零。

这样做只需要两个额外的布尔变量，空间复杂度为 O(1)。

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算法步骤（结合代码）

1. 获取矩阵的行数 m 和列数 n。
2. 用 r0 记录第一行是否原本包含 0，用 c0 记录第一列是否原本包含 0。
3. 遍历 i 从 1 到 m-1，j 从 1 到 n-1：
   • 如果 matrix[i][j] == 0，则设置 matrix[i][0] = 0 和 matrix[0][j] = 0。
4. 再次遍历内部元素（i>=1, j>=1）：
   • 如果 matrix[i][0] == 0 或 matrix[0][j] == 0，则 matrix[i][j] = 0。
5. 如果 c0 为真，则将第一列所有元素置零。
6. 如果 r0 为真，则将第一行所有元素置零。

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代码实现（C++）

class Solution {
public:
    void setZeroes(vector<vector<int>>& matrix) {
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
        
        // 记录第一行和第一列是否原本有 0
        bool r0 = ranges::contains(matrix[0], 0);
        bool c0 = ranges::any_of(matrix, [](auto& row){ return row[0] == 0; });
        
        // 使用第一行和第一列作为标记
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (matrix[i][j] == 0) {
                    matrix[i][0] = 0;   // 标记第 i 行
                    matrix[0][j] = 0;   // 标记第 j 列
                }
            }
        }
        
        // 根据标记将内部元素置零
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (matrix[i][0] == 0 || matrix[0][j] == 0) {
                    matrix[i][j] = 0;
                }
            }
        }
        
        // 如果第一列原本有 0，则整列置零
        if (c0) {
            for (auto& row : matrix) {
                row[0] = 0;
            }
        }
        
        // 如果第一行原本有 0，则整行置零
        if (r0) {
            ranges::fill(matrix[0], 0);
        }
    }
};

代码说明

• ranges::contains(matrix[0], 0) 和 ranges::any_of 是 C++20 提供的范围算法，用于检查第一行和第一列是否包含 0。如果编译器不支持 C++20，可以用传统的 std::find 和 std::any_of 替代。
• 标记过程只遍历内部元素（i>=1, j>=1），避免干扰第一行和第一列原本的信息（但我们已经提前备份了）。
• 最后分别处理第一列和第一行，确保不会漏掉或错误置零。

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复杂度分析

• 时间复杂度 ：O(m * n)，遍历了矩阵三次（标记、置零内部、处理第一列），常数倍，因此整体为线性。
• 空间复杂度 ：O(1)，只使用了两个布尔变量，符合原地算法的要求。

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总结

• 本题的关键在于用矩阵自身的第一行和第一列作为标记数组，从而避免开辟额外空间。
• 注意要提前记录第一行和第一列是否原本有 0，否则标记过程会覆盖掉这些原始信息，导致无法正确处理第一行和第一列本身。
• 这种"原地标记"的技巧在矩阵类问题中经常出现，值得熟练掌握。
  扩展思考 ：如果要求不能修改第一行和第一列本身，则必须使用 O(m+n) 的额外标记数组，但本题允许，所以上述解法是最优的。