题目描述
给你一个长度为 N 的正整数序列 A 。
有一个加权完整无向图，其顶点为 N 。
顶点编号为 1,2,\\dots,N 。
对于满足 1 \\leq i \\lt j \\leq N 的 i 和 j ，连接顶点 i 和 j 的边的权重是 A_i 和 A_j 的最大公约数。
求该图生成树中各条边的权重之和的最大可能值。
数据范围
- 2 \\leq N \\leq 2 \\times 10\^5
- 1 \\leq A_1 \\lt A_2 \\lt \\dots \\lt A_N \\leq 10\^6
- 所有输入值均为整数。
输入样例1
3
4 6 12输出样例1
10样例1解释
完整的图形有以下三条边。
- 连接顶点 1 和 2 的边，权重为 2 。
- 连接顶点 1 和 3 的边，权重为 4 。
- 连接顶点 2 和 3 的边，权重为 6 。
选择第二条和第三条边，权重总和为 10 ，这是可能的最大值。
解题思路
1. 最大生成树 Kruskal 思想
Kruskal 求最大生成树策略：从大到小依次选取边，若两个点不在同一连通块就选用这条边，累加权值。
常规做法：把所有边按权从大到小排序依次尝试合并。 本题边权是 \(\gcd\)，无法枚举全部边，因此变换枚举对象 ：不枚举点对，直接从大到小枚举公约数 d。
- 我们认为：存在一条权值为 d 的边，连接任意两个是 d 的倍数的数字对应的顶点；
- 从大到小遍历 d，优先使用权值更大的 d 合并连通块，完美契合最大生成树贪心。
2. 如何快速找到所有是 d 倍数的数
题目保证所有 \(A_i\) 互不相同。开设数组 \(\boldsymbol{pos\[\]}\)： pos \[v\] = 值为 v 的顶点编号；不存在则为 0。
对于当前枚举的 d，遍历所有倍数 \(k=d,2d,3d\dots \le 10^6\)： 若 \(posk\neq0\)，说明存在顶点对应数值 k，收集这个顶点。
3. 连通块合并（并查集 DSU）
用 pre 保存上一个找到的属于 d 倍数的顶点。 不断取出新顶点 cur，尝试用权值 d 的边合并 pre 与 cur：
- 合并成功：答案累加 d；
- 合并失败：两点已经连通，舍弃这条边。
原理：同一批 d 的倍数点之间，只要依次两两相连，就能用权值 d 尽可能连通所有点，等价于在这批点之间添加若干权值 d 的边。
算法整体流程
- 输入序列，用
pos数组记录每个数值对应的顶点编号，初始化并查集； - 从大到小枚举公约数
d（视作边权），优先尝试大权值的边； - 遍历所有
d的倍数，收集存在的顶点，依次尝试用权值d合并相邻顶点； - 每次成功合并连通块，将
d累加入答案； - 枚举结束后输出总和，即为最大生成树权值和。
完整代码
#include<bits/stdc++.h>
#define fr1(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);++(i))
#define fr2(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)>=(b);--(i))
#define fv(i,p) for(auto (i):(p))
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define _1st first
#define _2nd second
#define y1 yy1
#define elif else if
#define debug cout<<endl<<"-------------------------------------------------------------"<<endl
using namespace std;
const int MAXN=2e5+5;
const int MAXA=1e6;
int pos[MAXA+5],fa[MAXN],a[MAXN],n;
int find(int x){
if(fa[x]!=x)fa[x]=find(fa[x]);
return fa[x];
}
bool unite(int x,int y){
x=find(x),y=find(y);
if(x==y)return 0;
fa[y]=x;
return 1;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);
cin>>n;
fr1(i,1,n){
cin>>a[i];
pos[a[i]]=i;
fa[i]=i;
}
ll ans=0;
fr2(d,MAXA,1){
int pre=0;
for(int k=d;k<=MAXA;k+=d){
if(pos[k]==0)continue;
int cur=pos[k];
if(pre==0){
pre=cur;
}else{
if(unite(pre,cur)){
ans+=d;
}
pre=cur;
}
}
}
cout<<ans;
return 0;
}