HDU 4348 详细题解

HDU 4348 To the moon

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题目太长我就不过多赘述了，请读者自己看题，这里提供一份形式化的题意。

形式化题意

题目描述

给定一个长度为 n n n 的整数序列 a $1 ... n$ a $1 \\dots n$ a $1...n$ ，初始时间戳为 0 0 0。需要支持以下四种操作：

C l r d：将区间 $l , r$ $l, r$ $l,r$ 内的所有元素 a $i$ a $i$ a $i$ 加上 d d d，同时时间戳增加 1 1 1。
Q l r：查询在当前时间戳下，区间 $l , r$ $l, r$ $l,r$ 内所有元素的和。
H l r t：查询在历史时间戳 t t t 下，区间 $l , r$ $l, r$ $l,r$ 内所有元素的和。
B t：将时间戳回退到 t t t，之后的所有操作将在时间戳 t t t 的基础上进行。

数据范围

1 ≤ n , m ≤ 10 5 1 \le n, m \le 10^5 1≤n,m≤105
− 10 9 ≤ A i , d ≤ 10 9 -10^9 \le A_i, d \le 10^9 −109≤Ai,d≤109
1 ≤ l ≤ r ≤ n 1 \le l \le r \le n 1≤l≤r≤n

分析

因为需要查询历史版本，所以使用主席树（可持久化线段树）。

由于是区间修改，所以要用懒标记线段树。

如果没有 t t t 这个限制，可以直接用普通的懒标记线段树，题目退化为线段树 1。

以前的题目都是关于单点修改的主席树，可现在时代变了，题目还问你区间修改的主席树。

关于区间修改，人类的智慧是懒标记，可是在主席树里面照常使用懒标记会污染以前版本的数据。

为什么用懒标记会污染？

举个例子：假设初始序列为 $1 , 2 , 3$ $1, 2, 3$ $1,2,3$ ，时间戳为 0 0 0。

执行 C 1 3 1，把整个区间加上 1 1 1，序列变为 $2 , 3 , 4$ $2, 3, 4$ $2,3,4$ ，时间戳变为 1 1 1。
此时若在根节点上打一个懒标记 +1，表示「整个区间都加了 1 1 1」，那么查询历史版本 t = 0 t=0 t=0 时，根节点会带着这个懒标记并下传，而孩子节点是共享的，导致 $1 , 2 , 3$ $1, 2, 3$ $1,2,3$ 被错误地算成 $2 , 3 , 4$ $2, 3, 4$ $2,3,4$ 。

这就是污染：懒标记本应只作用于当前版本，却顺着共享的节点结构泄漏到了旧版本里。因此区间修改的主席树不能简单沿用普通懒标记线段树的写法，需要额外处理。
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版本 t=0（历史，应保持 $1, 2, 3$ ）
共享节点
共享节点
共享节点
懒标记 +1 泄漏到旧版本
懒标记 +1 泄漏到旧版本
错误：sum 被算成 3+2=5
根节点 sum=6
左节点 sum=3
右节点 sum=3
根节点 sum=9
左节点 sum=3，懒标记 +1
右节点 sum=3，懒标记 +1
查询 t=0 得到 $2, 3, 4$
结论：懒标记打在共享的叶子节点上会污染历史版本

一共有两种解决方式，分别是 标记永久化 和 新建节点时复制并下传标记，这里详细介绍第一种，因为第二种容易 MLE。

一、标记永久化

懒标记的目的是优化时间复杂度，把修改暂存在那里。

由于建主席树的时候只把与原先不同的点重新创建一份，节点自从创建就必须不能改动了，否则会影响到后面共享这个节点的线段树。

那么这个懒标记就只能留在这里了，后面不能改动，也不能下传下传懒标记。

在统计答案的时候从根节点往下走把沿途经过的懒标记累加起来即可。

这样的话既能保护节点不受污染又能正常使用懒标记，也不用再去开新的"私有节点"存自己的处理懒标记了的节点。

二、新建节点时复制并下传懒标记

我个人不推荐这种写法，因为要新开节点，如果操作的节点数量特别大，可能因为多开太多节点导致 MLE。

可供读者自行研究，因为这个方法比较简单。

代码

可以参考其他博客，暂时没来得及写。

我觉得讲的还算详细，有不懂的可以私信我或者留言，我会定期查看，记得点个赞再走哦～