随机变量的相互独立性
一、二维随机变量的相互独立性
定义 设 F(x,y)F(x,y)F(x,y) 及 FX(x),FY(y)F_X(x), F_Y(y)FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.若对所有的x,yx,yx,y有
P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}⋅P{Y≤y} P\{X \le x, Y \le y\} = P\{X \le x\}\cdot P\{Y \le y\} P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}⋅P{Y≤y}
即 F(x,y)=FX(x)⋅FY(y)F(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)F(x,y)=FX(x)⋅FY(y)
则称随机变量XXX 和 YYY是 相互独立的
设 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 是连续型随机变量，f(x,y)f(x, y)f(x,y)、fX(x)f_X(x)fX(x)、fY(y)f_Y(y)fY(y) 分别为 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 的概率密度和边缘概率密度，若
f(x,y)=fX(x)fY(y) f(x, y) = f_X(x) f_Y(y) f(x,y)=fX(x)fY(y)
则 XXX 和 YYY 相互独立的
当 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 是离散型随机变量时，XXX 和 YYY 相互独立的条件式等价于：对于 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 的所有可能取的值 (xi,yj)(x_i, y_j)(xi,yj) 有
P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj} P\{X = x_i, Y = y_j\} = P\{X = x_i\} P\{Y = y_j\} P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}
二、n维随机变量的相互独立性
定义 设nnn维随机变量 (X1,X2,⋯ ,Xn)(X_1, X_2, \cdots, X_n)(X1,X2,⋯,Xn) 的分布函数为
F(x1,x2,⋯ ,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,⋯ ,Xn≤xn}, F(x_1, x_2, \cdots, x_n) = P\{X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2, \cdots, X_n \leq x_n\}, F(x1,x2,⋯,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,⋯,Xn≤xn},
其中 x1,x2,⋯ ,xnx_1, x_2, \cdots, x_nx1,x2,⋯,xn 为任意实数。
若对于所有的 x1,x2,⋯ ,xnx_1, x_2, \cdots, x_nx1,x2,⋯,xn 有
F(x1,x2,⋯ ,xn)=FX1(x1)FX2(x2)⋯FXn(xn) F(x_1, x_2, \cdots, x_n) = F_{X_1}(x_1) F_{X_2}(x_2) \cdots F_{X_n}(x_n) F(x1,x2,⋯,xn)=FX1(x1)FX2(x2)⋯FXn(xn)
则称 X1,X2,⋯ ,XnX_1, X_2, \cdots, X_nX1,X2,⋯,Xn 是相互独立的。
若对于所有的 x1,x2,⋯ ,xm,y1,y2,⋯ ,ynx_1, x_2, \cdots, x_m, y_1, y_2, \cdots, y_nx1,x2,⋯,xm,y1,y2,⋯,yn 有
F(x1,x2,⋯ ,xm,y1,y2,⋯ ,yn)=FX(x1,x2,⋯ ,xm)FY(y1,y2,⋯ ,yn) F(x_1, x_2, \cdots, x_m, y_1, y_2, \cdots, y_n) = F_{X}(x_1, x_2, \cdots, x_m) F_{Y}(y_1, y_2, \cdots, y_n) F(x1,x2,⋯,xm,y1,y2,⋯,yn)=FX(x1,x2,⋯,xm)FY(y1,y2,⋯,yn)
其中 FX,FYF_{X}, F_{Y}FX,FY 为随机变量 (X1,X2,⋯ ,Xm)(X_1, X_2, \cdots, X_m)(X1,X2,⋯,Xm) 和 (Y1,Y2,⋯ ,Yn)(Y_1, Y_2, \cdots, Y_n)(Y1,Y2,⋯,Yn) 的分布函数，则称随机变量 (X1,X2,⋯ ,Xm)(X_1, X_2, \cdots, X_m)(X1,X2,⋯,Xm) 和 (Y1,Y2,⋯ ,Yn)(Y_1, Y_2, \cdots, Y_n)(Y1,Y2,⋯,Yn) 是相互独立的。
定理 设 (X1,X2,⋯ ,Xm)(X_1, X_2, \cdots, X_m)(X1,X2,⋯,Xm) 和 (Y1,Y2,⋯ ,Yn)(Y_1, Y_2, \cdots, Y_n)(Y1,Y2,⋯,Yn) 相互独立，则 Xi (i=1,2,⋯ ,m)X_i \, (i = 1, 2, \cdots, m)Xi(i=1,2,⋯,m) 和 Yj (j=1,2,⋯ ,n)Y_j \, (j = 1, 2, \cdots, n)Yj(j=1,2,⋯,n) 相互独立。又若 h,gh, gh,g 是连续函数，则 h(X1,X2,⋯ ,Xm)h(X_1, X_2, \cdots, X_m)h(X1,X2,⋯,Xm) 和 g(Y1,Y2,⋯ ,Yn)g(Y_1, Y_2, \cdots, Y_n)g(Y1,Y2,⋯,Yn) 相互独立。