概率论：事件之间的关系与运算！

概率论里事件的关系与运算是打地基的部分，我给你梳理成一张"关系地图"，配上直观例子，方便你一次吃透 👇

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一、事件的包含与相等

1️⃣ 包含（子集）

• 记法：A ⊂ B

• 含义：A 发生 ⇒ B 一定发生

• 例子：

  A = "掷出 2 点"

  B = "掷出偶数点"

  ⇒ A ⊂ B

2️⃣ 相等

• 记法：A = B

• 含义：A ⊂ B 且 B ⊂ A

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二、事件的和（并）

• 记法：A ∪ B

• 含义：A 与 B 至少有一个发生

• 例子：

  A = "语文及格"

  B = "数学及格"

  A ∪ B = "至少一门及格"

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三、事件的积（交）

• 记法：A ∩ B（也常写作 AB）

• 含义：A 与 B 同时发生

• 例子：

  A = "下雨"

  B = "带伞"

  A ∩ B = "下雨且带伞"

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四、事件的差

• 记法：A − B（也写作 A\B）

• 含义：A 发生，但 B 不发生

• 例子：

  A = "考试通过"

  B = "补考"

  A − B = "一次通过，不用补考"

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五、互不相容事件（互斥）

• 含义：A ∩ B = ∅

• 即：A 与 B 不能同时发生

• 例子：

  掷一次骰子，A = "奇数点"，B = "偶数点"

  ⇒ A ∩ B = ∅

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六、对立事件（逆事件）

• 记法：Ā（或 Aᶜ）

• 含义：A 不发生的事件

• 性质：

  • A ∪ Ā = Ω（必然事件）

  • A ∩ Ā = ∅

• 例子：

  A = "中奖"

  Ā = "没中奖"

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七、完备事件组（划分）

• 一组事件 A₁, A₂, ..., Aₙ 满足：

  1. 两两互斥：Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅

  2. 并集为全集：∪Aᵢ = Ω

• 含义：把样本空间"不重不漏"地分完

• 例子：

  掷骰子：

  A₁ = "1点"，A₂ = "2点"，... ，A₆ = "6点"

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八、事件的运算律（重点）

运算律	公式
交换律	A ∪ B = B ∪ A，AB = BA
结合律	(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
分配律	A(B ∪ C) = AB ∪ AC
德摩根律	(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ

德摩根律是高频考点，口诀：

"并的补 = 补的交，交的补 = 补的并"

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九、一张对照表帮你记忆

事件语言	集合语言
必然事件	Ω
不可能事件	∅
A 发生	A
A 不发生	Ā
A 且 B	A ∩ B
A 或 B	A ∪ B
A 但非 B	A − B

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