35. 搜索插入位置：从边界语义理解二分查找

题目

给定一个排序数组 nums 和目标值 target，在数组中找到目标值并返回其索引。如果目标值不存在，返回它按顺序插入数组的位置。

要求使用 O(log n) 的算法。

例如：

nums = [1, 3, 5, 6]
target = 5 -> 2
target = 2 -> 1
target = 7 -> 4
target = 0 -> 0

核心转化：寻找第一个 >= target 的位置

如果数组中存在 target，第一个 >= target 的位置就是它的索引；如果不存在，这个位置正好是插入点。因此，本题可以统一成一个边界问题：

在有序数组中，寻找第一个满足 nums[i] >= target 的下标。

定义答案为 r 后，二分过程中维护：

下标在 l 左侧的元素都 < target
下标从 r 开始的元素都 >= target

当左右边界相邻时，r 就是第一个 >= target 的位置。特别地，r 可能等于 nums.length，表示 target 大于数组中的所有元素。

写法一：半开半闭区间 [left, right)

半开区间表示检查范围包含 left，但不包含 right。初始化为 [0, n)，因此 right = n 是合法的边界，即使数组最后一个元素也小于 target。

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length;

        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] >= target) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
}

循环不变量是：答案始终位于 [left, right) 中。若 nums[mid] >= target，mid 可能就是答案，所以保留它并令 right = mid；若 nums[mid] < target，mid 不可能是答案，令 left = mid + 1。循环结束时 left == right，这个位置就是答案。

写法二：闭区间 [left, right]

闭区间的两端都包含在待检查范围内，初始化为 [0, n - 1]。由于答案可能位于数组末尾之后，使用 answer 保存当前找到的最左候选位置，初始值为 n。

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        int answer = nums.length;

        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] >= target) {
                answer = mid;
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return answer;
    }
}

当 nums[mid] >= target 时，mid 是一个候选答案，但左侧可能还有更早的位置，因此记录 mid 后继续搜索左半边；当 nums[mid] < target 时，只能搜索右半边。这里 right = mid - 1 和 left = mid + 1 是闭区间写法的关键：mid 已经处理过，下一轮不能再次保留它。

写法三：开区间哨兵写法

原笔记采用的是开区间思路：left = -1、right = n，把两端看作两个虚拟哨兵，并维护：

nums[left] < target，nums[right] >= target

其中 left = -1 或 right = n 时不访问对应元素。循环条件为 right > left + 1，每次只把 mid 归入左侧或右侧，最终 right == left + 1，返回 right。

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int left = -1;
        int right = nums.length;

        while (right > left + 1) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] >= target) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid;
            }
        }
        return right;
    }
}

这种写法不需要额外的 answer 变量，但必须严格维护哨兵含义，并确保 mid 始终落在真实数组下标内。

三种区间写法如何选择

二分查找最容易出错的地方不是中点公式，而是区间定义不统一。写代码前先明确三件事：

1. 区间两端是否包含。
2. 循环结束条件是什么。
3. mid 已经处理后，边界应该移动到 mid，还是移动到 mid + 1 / mid - 1。

本题推荐半开半闭区间 [left, right)：它直接支持答案为 n 的情况，且代码短、边界统一。无论选择哪种写法，都应检查空数组、单元素数组、目标值小于全部元素、目标值大于全部元素，以及目标值等于边界元素等情况。

复杂度

每次循环将候选区间缩小约一半，因此时间复杂度为 O(log n)；只使用常量级变量，空间复杂度为 O(1)。