算法札记：二叉树前序、中序、后序遍历及对应序列重要性质

一、三种遍历的定义

二叉树遍历是一个递归过程：先处理根节点，再分别处理左、右子树。根据"根节点"被访问的位置不同，有三种深度优先遍历3：

• 前序遍历 ：根 → 左子树 → 右子树

  先访问根节点，再前序遍历左子树，最后前序遍历右子树。

• 中序遍历 ：左子树 → 根 → 右子树

  先中序遍历左子树，再访问根节点，最后中序遍历右子树。

• 后序遍历 ：左子树 → 右子树 → 根

  先后序遍历左子树，再后序遍历右子树，最后访问根节点。

递归和非递归实现得到的序列完全一致，非递归只是用显式栈模拟递归过程。

二、示例

例如二叉树：

text

      1
     / \
    2   3
   / \   \
  4   5   6

• 前序序列：1,2,4,5,3,61,2,4,5,3,6

• 中序序列：4,2,5,1,3,64,2,5,1,3,6

• 后序序列：4,5,2,6,3,14,5,2,6,3,1

三、遍历序列的重要性质

1. 子树在序列中是连续区间

以任意节点为根的子树，在三种序列中都对应一个连续区间。并且在这个区间内：

• 前序序列中，根节点在区间最前面；

• 中序序列中，根节点在左子树区间和右子树区间之间；

• 后序序列中，根节点在区间最后面。

这是"由遍历序列还原二叉树"的核心基础。

2. 根节点的定位

• 前序序列的第一个元素一定是整棵树的根节点。

• 后序序列的最后一个元素一定是整棵树的根节点。

• 中序序列中，根节点左边的元素全部来自左子树，右边的元素全部来自右子树。

因此，只要有了"中序 + 前序"或"中序 + 后序"，就能确定根，并区分左右子树。

3. 二叉树还原的唯一性

• 前序序列 + 中序序列：能唯一确定一棵二叉树。

• 后序序列 + 中序序列：能唯一确定一棵二叉树。

• 前序序列 + 后序序列：一般不能唯一确定二叉树。

反例：树 A 是根节点 1 只有左孩子 2；树 B 是根节点 1 只有右孩子 2。

树 A 和树 B 的前序序列都是 1,21,2，后序序列都是 2,12,1，但它们是两棵不同的二叉树。

所以，已知前序和中序可以唯一推出后序；已知后序和中序可以唯一推出前序；但只知道前序和后序，无法唯一确定中序遍历序列。

若额外限制为严格二叉树 （每个内部节点都有左右两个孩子），则前序 + 后序可以唯一还原二叉树1。

4. 与二叉搜索树的关系

对于二叉搜索树（BST）：

• 中序遍历序列一定按关键字递增排列；

• 因为中序序列隐含已知，所以仅凭前序序列或后序序列也能唯一重建这棵 BST。

5. 表达式树中的应用

表达式树的前序、中序、后序遍历分别对应：

• 前序序列：前缀表达式；

• 中序序列：中缀表达式；

• 后序序列：后缀表达式，也就是逆波兰式，用栈求值非常方便。

6. 其他性质

• 三种深度优先遍历中，叶子节点的从左到右相对顺序相同。

• 三种遍历的时间复杂度都是 O(n)O(n)，其中 nn 是节点数；递归栈空间为 O(h)O(h)，hh 是树高，最坏情况下为 O(n)O(n)。

四、由序列还原二叉树的方法

前序 + 中序还原：

1. 前序序列的第一个元素是根节点；

2. 在中序序列中找到根节点，根左侧长度为 LL；

3. 前序序列中，根节点之后的前 LL 个元素属于左子树，剩余元素属于右子树；

4. 递归处理左右子树即可1 2。

后序 + 中序还原：

1. 后序序列的最后一个元素是根节点；

2. 在中序序列中找到根节点，根左侧长度为 LL；

3. 后序序列中，前 LL 个元素属于左子树，接下来若干元素属于右子树，最后是根节点；

4. 递归处理左右子树即可1 2。